Η αναζήτηση βρήκε 545 εγγραφές

από harrisp
Τρί Οκτ 03, 2017 6:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 941

Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Είναι $80=5.2^{4}$ οπότε $79 =4.2^{4}+1+....+1$ με $15$ άσσους. Προφανώς το $79$ είναι ο ζητούμενος αριθμός. Να σημειώσω ότι στο βιβλίο που ανέφερα παραπάνω έχει σαν άσκηση. Να αποδειχθεί ότι κάθε φυσικός γράφετε σαν άθροισμα $53$ τετάρτων δυνάμεων ακεραίων. Βέβαια είναι το c) της άσκησης και τα δύ...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 9:20 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 809

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου Πρόβλημα 3 Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: $(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)=6x^3$. Ωραίο! Εύκολες πραξούλες (εννοείται δεν τις κάνουμε όλες αλλά εφαρμόζουμε ταυτότητες και έξυπνα την επιμεριστική ;) ) $x^6+2x^4-6x^3+2x^2+1=0$ Βλέπουμε μία ρίζα η $x=1$ κά...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 8:56 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 809

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου Πρόβλημα 4 Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $n$ για τους οποίους ισχύει ότι ο αριθμός: $A=n^4+2n^3-n^2+2n+1$ είναι πρώτος. $A=(n^2 - n + 1) (n^2 + 3 n + 1)$ ¹ άρα $n^2-n+1=1$ (το δεύτερο έχει square-free διακρίνουσα) οπότε $n=1$ δεκτή αφού $A=5$ ______...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 8:10 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 809

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Πρόβλημα 1 α) Να διατάξετε τους αριθμούς $A_1, A_2, ..., A_{10}$ σε αύξουσα σειρά εάν $\displaystyle{A_n=\frac{13na+12}{na+1}}$ όπου $a$ θετικός πραγματικός αριθμός. β) Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος $n$ και θετικός πραγματικός $a$ έτσι ώστε μεταξύ των $A_1$ και $A_n$ να υπάρχει ακέραιος αριθμός; Γ...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 3:40 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ίσες γωνίες (Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 466

Re: Ίσες γωνίες (Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Αρκεί να αποδείξουμε ότι το STCB είναι εγγράψιμο. Από την παραλληλία είναι \widehat {SAD}=\widehat {CST}, όμως από το εγγράψιμο ABCD είναι \widehat {SAD}=\widehat {CBT} άρα \widehat {CST}=\widehat {CBT}, οεδ.
από harrisp
Σάβ Σεπ 16, 2017 6:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2015 (9 τάξη)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 690

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2015 (9 τάξη)

Πρόβλημα 2. Σε κύκλο με κάποια σειρά είναι τοποθετημένοι όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το 1 έως το 1000 με τέτοιο τρόπο, ώστε οποιοσδήποτε από τους αριθμούς να είναι διαιρέτης του αθροίσματος των δυο γειτονικών του. Είναι γνωστό, ότι δίπλα στον αριθμό $ k $ βρίσκονται δυο περιττοί αριθμοί. Τι μπορεί ...
από harrisp
Πέμ Αύγ 24, 2017 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μία ορθή ακόμη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 412

Re: Μία ορθή ακόμη

Ευτυχώς απαντήθηκε νωρίς από τον Ορέστη... :lol:
από harrisp
Τρί Αύγ 22, 2017 9:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2014/B1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 958

Re: Putnam 2014/B1

Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση $10$ ενός θετικού ακεραίου $N$ είναι μια παράσταση του $N$ στην μορφή $\displaystyle{ N = d_k 10^k + d_{k-1}10^{k-1} + \cdots + d_0 10^0}$ με $d_i \in \{0,1,2,\ldots,10\}$ για κάθε $i$, και $d_k \neq 0$. Π.χ. ο $N=10$ έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το $10=10 \c...
από harrisp
Παρ Αύγ 18, 2017 6:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2013/A2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 998

Re: Putnam 2013/A2

Καλησπέρα! Θεωρούμε δύο γινόμενα (της μορφής που περιγράφει η εκφώνηση) με ισο τον τελευταίο όρο (που είναι ο ελάχιστος ώστε να ειναι το γινόμενο τέλειο τετράγωνο). Έστω $A,B$ τα δυο γινόμενα με $m>n$ τους πρώτους όρους τους. Τότε το $AB$ είναι τέλειο τετράγωνο. Στα δύο αυτά γινόμενα εκτός από τους ...
από harrisp
Τετ Αύγ 16, 2017 9:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αλλές 3 ασκήσεις για διαγωνισμούς.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1009

Re: Αλλές 3 ασκήσεις για διαγωνισμούς.

Όλες οι ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής 2)Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν τριψηφοί θετικοί ακέραιοι $\overline{abc}$ έτσι ώστε $\overline{abc}=ab+bc+ca$ με $abc \neq 0$ Καλησπέρα! Ελπίζω να είμαι σωστός... Αν $a>2$ τότε θα πρέπει $\overline {3bc}\geq 311$ να είναι μικρότερο ή ίσο με το $ab+bc+ca\leq...
από harrisp
Σάβ Αύγ 12, 2017 1:23 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 965

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής. 1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων $(a,b,c)$ που ικανοποιούν την εξίσωση $a^3+b^3-3ab=2017^c+1$ Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Είναι $a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow$ Καλ...
από harrisp
Πέμ Αύγ 10, 2017 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 957

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

α. Έστω $\displaystyle m \equiv \lfloor \sqrt{n} \rfloor$. Για $0 \leqslant k \leqslant m$ ισχύουν $\displaystyle \sqrt{m^2 + 2k} \leqslant m + \frac{k}{m} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k + 1}$ $\displaystyle \sqrt{m^2 + 2k - 1} \leqslant m + \frac{k}{m+1} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k}$ που μας δίνουν τα επιθ...
από harrisp
Τρί Αύγ 08, 2017 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 957

Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

(a) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $n$ υπάρχει κλάσμα $\dfrac {a}{b}$ όπου $a,b$ ακέραιοι ώστε: $0\leq b\leq \sqrt n +1$ και $\sqrt n \leq \dfrac {a}{b} \leq \sqrt {n+1}$ (b) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι $n$ ώστε να μην υπάρχει κλάσμα $\dfrac {a}{b}$ όπου $a,b$ ακέρ...
από harrisp
Κυρ Αύγ 06, 2017 12:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 713

Re: Διπλάσια γωνία

Λίγο διαφορετικά για το αρχικό ζητούμενο: διπλάσια γωνία.png Φέρνουμε την $I_aC$ και έστω πως η $AD$ την τέμνει στο σημείο $F$. Λόγω του ότι οι $AF, CK$ τέμνονται πάνω στη διάμεσο, έχουμε πως $KF//AC$. Όπως ανέφερε παραπάνω στην λύση του ο min## έχουμε πως $KF//AC//ID$. Ακόμη, λόγω του ότι το τρίγω...
από harrisp
Κυρ Αύγ 06, 2017 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 713

Re: Διπλάσια γωνία

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και το παράκεντρο $I_a$. Έστω $M$ το μέσο του $AC$ και έστω ότι η $I_aM$ τέμνει την $BC$ στο $D$. Αν $BA=BD$ να αποδείξετε ότι $\angle BAC=2\angle ACB$. Ισχύει το αντίστροφο; Έστω $K$ η τομή της διχοτόμου της $A$ με την $BC$ και $A'$ με τον κύκλο. Αρχικά αποδεικνύω ότι $ID//AC...
από harrisp
Σάβ Αύγ 05, 2017 5:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 713

Διπλάσια γωνία

Δίνεται τρίγωνο ABC και το παράκεντρο I_a. Έστω M το μέσο του AC και έστω ότι η I_aM τέμνει την BC στο D. Αν BA=BD να αποδείξετε ότι \angle BAC=2\angle ACB.

Ισχύει το αντίστροφο;
από harrisp
Τρί Αύγ 01, 2017 4:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ανακατωσούρα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 400

Re: Ανακατωσούρα

Γράφουμε τον κύκλο $(M,MA)$ που προφανώς περιέχει τα $D,C$. Όπως απέδειξε και ο κ. Νίκος ισχύει $3BD=BC$. Επομένως: $AB^2=BD\cdot BC$ από όπου εύκολα παίρνουμε ότι $\sin \angle {BAD}=\dfrac {\sqrt{3}}{3}$. Ομως από χορδής-εφαπτομένης (η $AB$ εφάπτεται στον κύκλο στο $A$ )είναι $\angle BAD=\angle BAC...
από harrisp
Σάβ Ιούλ 29, 2017 5:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 973

Re: Ανισότητα

Αν $a,b,c,d\in (0,+\infty)$ με $a\geq b$ και $c\geq d$ να αποδείξετε ότι $\sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}$ Μια προσπάθεια :) Και τα δυο μελη ειναι θετικά οπότε με ύψωση στο τετράγωνο λαμβάνουμε: $ac-bd\geq \sqrt {(a^2-b^2)(c^2-d^2)}$. Από την εκφώνηση έχουμε ότι το αριστερό...
από harrisp
Πέμ Ιούλ 27, 2017 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1434

Re: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Επαναφορά! Το μόνο που έχω βρει (και δεν ξέρω αν είναι σωστό και οδηγεί στην λύση) είναι ότι: $\displaystyle\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}=\displaystyle \sum_{k=1}^{2^{100}} \dfrac {\pi(k)-\pi(k-1)}{k}$. Θα προσπαθήσω να ακολουθήσω τα βήματα της λύσης του κ. Δημήτρη (http://mathematica.gr/forum/v...
από harrisp
Τρί Ιούλ 25, 2017 12:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σχεδόν όλες μιγαδικές
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1251

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

gbaloglou έγραψε:Να δειχθεί ότι, για περιττό n, το πολυώνυμο (x-1)^n(x^n+1)+(x+1)^n δεν έχει πραγματικές ρίζες πέραν των x=0 και x=-1.
Επαναφορά!

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση