Η αναζήτηση βρήκε 535 εγγραφές

από harrisp
Σάβ Αύγ 12, 2017 1:23 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 954

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής. 1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων $(a,b,c)$ που ικανοποιούν την εξίσωση $a^3+b^3-3ab=2017^c+1$ Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Είναι $a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow$ Καλ...
από harrisp
Πέμ Αύγ 10, 2017 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 941

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

α. Έστω $\displaystyle m \equiv \lfloor \sqrt{n} \rfloor$. Για $0 \leqslant k \leqslant m$ ισχύουν $\displaystyle \sqrt{m^2 + 2k} \leqslant m + \frac{k}{m} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k + 1}$ $\displaystyle \sqrt{m^2 + 2k - 1} \leqslant m + \frac{k}{m+1} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k}$ που μας δίνουν τα επιθ...
από harrisp
Τρί Αύγ 08, 2017 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 941

Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

(a) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $n$ υπάρχει κλάσμα $\dfrac {a}{b}$ όπου $a,b$ ακέραιοι ώστε: $0\leq b\leq \sqrt n +1$ και $\sqrt n \leq \dfrac {a}{b} \leq \sqrt {n+1}$ (b) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι $n$ ώστε να μην υπάρχει κλάσμα $\dfrac {a}{b}$ όπου $a,b$ ακέρ...
από harrisp
Κυρ Αύγ 06, 2017 12:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 705

Re: Διπλάσια γωνία

Λίγο διαφορετικά για το αρχικό ζητούμενο: διπλάσια γωνία.png Φέρνουμε την $I_aC$ και έστω πως η $AD$ την τέμνει στο σημείο $F$. Λόγω του ότι οι $AF, CK$ τέμνονται πάνω στη διάμεσο, έχουμε πως $KF//AC$. Όπως ανέφερε παραπάνω στην λύση του ο min## έχουμε πως $KF//AC//ID$. Ακόμη, λόγω του ότι το τρίγω...
από harrisp
Κυρ Αύγ 06, 2017 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 705

Re: Διπλάσια γωνία

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και το παράκεντρο $I_a$. Έστω $M$ το μέσο του $AC$ και έστω ότι η $I_aM$ τέμνει την $BC$ στο $D$. Αν $BA=BD$ να αποδείξετε ότι $\angle BAC=2\angle ACB$. Ισχύει το αντίστροφο; Έστω $K$ η τομή της διχοτόμου της $A$ με την $BC$ και $A'$ με τον κύκλο. Αρχικά αποδεικνύω ότι $ID//AC...
από harrisp
Σάβ Αύγ 05, 2017 5:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 705

Διπλάσια γωνία

Δίνεται τρίγωνο ABC και το παράκεντρο I_a. Έστω M το μέσο του AC και έστω ότι η I_aM τέμνει την BC στο D. Αν BA=BD να αποδείξετε ότι \angle BAC=2\angle ACB.

Ισχύει το αντίστροφο;
από harrisp
Τρί Αύγ 01, 2017 4:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ανακατωσούρα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 398

Re: Ανακατωσούρα

Γράφουμε τον κύκλο $(M,MA)$ που προφανώς περιέχει τα $D,C$. Όπως απέδειξε και ο κ. Νίκος ισχύει $3BD=BC$. Επομένως: $AB^2=BD\cdot BC$ από όπου εύκολα παίρνουμε ότι $\sin \angle {BAD}=\dfrac {\sqrt{3}}{3}$. Ομως από χορδής-εφαπτομένης (η $AB$ εφάπτεται στον κύκλο στο $A$ )είναι $\angle BAD=\angle BAC...
από harrisp
Σάβ Ιούλ 29, 2017 5:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 960

Re: Ανισότητα

Αν $a,b,c,d\in (0,+\infty)$ με $a\geq b$ και $c\geq d$ να αποδείξετε ότι $\sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}$ Μια προσπάθεια :) Και τα δυο μελη ειναι θετικά οπότε με ύψωση στο τετράγωνο λαμβάνουμε: $ac-bd\geq \sqrt {(a^2-b^2)(c^2-d^2)}$. Από την εκφώνηση έχουμε ότι το αριστερό...
από harrisp
Πέμ Ιούλ 27, 2017 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1352

Re: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Επαναφορά! Το μόνο που έχω βρει (και δεν ξέρω αν είναι σωστό και οδηγεί στην λύση) είναι ότι: $\displaystyle\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}=\displaystyle \sum_{k=1}^{2^{100}} \dfrac {\pi(k)-\pi(k-1)}{k}$. Θα προσπαθήσω να ακολουθήσω τα βήματα της λύσης του κ. Δημήτρη (http://mathematica.gr/forum/v...
από harrisp
Τρί Ιούλ 25, 2017 12:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σχεδόν όλες μιγαδικές
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1243

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

gbaloglou έγραψε:Να δειχθεί ότι, για περιττό n, το πολυώνυμο (x-1)^n(x^n+1)+(x+1)^n δεν έχει πραγματικές ρίζες πέραν των x=0 και x=-1.
Επαναφορά!
από harrisp
Κυρ Ιούλ 23, 2017 12:31 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τρίγωνο από 3 σημεία
Απαντήσεις: 102
Προβολές: 4396

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Άσκηση 24 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία τα ύψη του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Φέρνουμε τον κύκλο που περνά απο τα σημεία αυτά που προφανώς θα είναι και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Τα μέσα των τόξων που ορίζουν τα δοθέντα σημεία είναι οι κορυφές του τριγώνου....
από harrisp
Τετ Ιούλ 19, 2017 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 2901

Re: IMO 2017

Πρόβλημα 4 Έστω $R$ και $S$ διαφορετικά σημεία ενός κύκλου $\Omega$ τέτοια, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $RS$ να μην είναι διάμετρός του. Έστω$\ell$ η εφαπτομένη του κύκλου $\Omega$ στο σημείο $R$. Σημείο $T$ είναι τέτοιο, ώστε το$S$ να είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος $RT$. Στο μικρότερο τόξο $...
από harrisp
Τετ Ιούλ 19, 2017 12:21 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 2901

Re: IMO 2017

Η απάντηση στο πρόβλημα 1 είναι: $a_0\equiv 0(\mod 3)$. Θα ανεβάσω την λύση μου σε λίγο. Να σε βγάλω από τον κόπο ( :mrgreen: ) να γράψεις την εύκολη περίπτωση του $a_0\equiv 2 \mod 3$ αφού δεν έχω ολοκληρωμένη λύση παρά μόνο μερικά πορίσματα. Η άσκηση ουσιαστικά ξετυλίγεται μέσα από τις απλές δοκι...
από harrisp
Δευ Ιούλ 17, 2017 4:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τρίγωνο από 3 σημεία
Απαντήσεις: 102
Προβολές: 4396

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Για λόγους πληρότητας βάζω $4$ πολύ απλές ασκήσεις. Ας τις αφήσουμε $24$ ώρες για τους μικρούς μας μαθητές. Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο $ABC$ σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία α) $B,C$ και $H$, β) $B,C$ και $G$, γ) $B,C$ και $I$. Τέλος, τι συμβαίνε...
από harrisp
Παρ Ιούλ 14, 2017 4:51 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 1204

Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Πρόβλημα 4 Ο μικρός Θανάσης μαζί με άλλους $2n-1$ φίλους του παίζουν το εξής παιχνίδι. Αρχικά κάθονται σε έναν κύκλο, με τον Θανάση να έχει πρώτος την μπάλα. Από τους $2n$ παίκτες στο σύνολο, οι $n$ από αυτούς είναι δυνατοί και οι $n$ αδύναμοι. Σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει την μ...
από harrisp
Τετ Ιούλ 12, 2017 4:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2016 (2/2)
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 2331

Re: JBMO Shortlist 2016 (2/2)

G1 Δίνεται ένα οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με περίκεντρο $O$ και έστω $D,E,F$ σημεία των πλευρών $BC,CA,AB$. Ο κύκλος $(c_1)$ με ακτίνα $FA$ και κέντρο $F$, τέμνει την $OA$ στο $A'$ και τον περιγεγραμμένο κύκλο $(c)$ του $ABC$ στο $K$. Όμοια ορίζονται κύκλοι $(c_2)$, $(c_3)$ και τα σημεία $B',C'$ και $L...
από harrisp
Δευ Ιούλ 10, 2017 3:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Δύσκολη (;) Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1178

Re: Δύσκολη (;) Συναρτησιακή!

Eπαναφορά!
από harrisp
Σάβ Ιούλ 08, 2017 4:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Δύσκολη (;) Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1178

Re: Δύσκολη (;) Συναρτησιακή!

Και εγώ αυτήν βρίσκω αλλά εχει πολλά κενα η απόδειξη μου.
από harrisp
Σάβ Ιούλ 08, 2017 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Δύσκολη (;) Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1178

Δύσκολη (;) Συναρτησιακή!

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:Q^+->Q^+ ώστε:

a) f(x)+f(\dfrac {1}{x})=1 για κάθε x\in Q^+

b) f(1+2x)=\dfrac {1}{2}f(x) για κάθε x\in Q^+



Άνευ λύσης

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση