Η αναζήτηση βρήκε 535 εγγραφές

από harrisp
Δευ Νοέμ 13, 2017 7:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2017
Απαντήσεις: 167
Προβολές: 21283

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Οι επίσημες λύσεις:

http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... lution.pdf
από harrisp
Σάβ Νοέμ 11, 2017 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2017
Απαντήσεις: 167
Προβολές: 21283

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Τι έχετε να πείτε για το γεγονός ότι χτες το βράδυ είχαν αναρτηθεί κάπως τα θέματα;; Τα βρήκα ψάχνοντας σήμερα τις λύσεις και βρήκα ένα δημοσίευμα χτεσινό που είχε τα θέματα Κατά την γνώμη μου τραγικό και απολύτως άδικο http://lisari.blogspot.gr/2017/11/2018.html?m=1 Τα θέματα αναρτήθηκαν σήμερα κα...
από harrisp
Τρί Νοέμ 07, 2017 11:13 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μερικές εξισώσεις για τον Θαλή
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 1581

Re: Μερικές εξισώσεις για τον Θαλή

Μερικές εξισώσεις για τον "Θαλή". 1. $\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}} + \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+5}}+ \cdots +\dfrac{1}{\sqrt{x+2015}+\sqrt{x+2017}} = 1$ Κάνουμε ρητούς τους πανομαστές και έχουμε: $\dfrac {\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}}{2}+\dfrac {\sqrt{x+5}-\sqrt{x+3}}{2}+...+\dfrac {\sqrt{x+2017}-\s...
από harrisp
Δευ Νοέμ 06, 2017 7:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Δύσκολη Ρητοποίηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 667

Re: Δύσκολη Ρητοποίηση

Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον αριθμό $\displaystyle{X=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{15}-\sqrt[3]{10}}$ οπότε από την ταυτότητα $\displaystyle{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(a+b+c)=a^3+b^3+c^3-3abc}$ το κλάσμα γράφεται $\displaystyle{\frac{X}{2+3+5-3\sqrt[3]{30...
από harrisp
Δευ Νοέμ 06, 2017 6:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Δύσκολη Ρητοποίηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 667

Δύσκολη Ρητοποίηση

Να μετατραπεί το κλάσμα \displaystyle {\dfrac {1}{2^\frac{1}{3}+3^\frac{1}{3}+5^\frac{1}{3}}} σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.
από harrisp
Σάβ Οκτ 28, 2017 8:53 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Αναποδογύρισμα κέικ
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 782

Re: Αναποδογύρισμα κέικ

Να ευχηθώ και εγώ με την σειρά μου Χρόνια Πολλά σε όλους του εορτάζοντες και ιδιαιτερα στον κύριο Δημήτρη Ιωάννου, τον κύριο Δημήτη Χριστοφίδη και στον κύριο Δημήτρη Σκουτέρη.

Να κάνω και εγώ μια τελευταιά μαντεψιά, βασισμένη σε μια παρατήρηση πάνω στο πρόβλημα.
από harrisp
Πέμ Οκτ 26, 2017 8:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 973

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ

Αν n θετικός ακέραιος και x,y>0 με x^{2n}+y^{2n}=1 τότε:

x^{3n}+y^{3n}\geq \sqrt {2} x^ny^n
από harrisp
Πέμ Οκτ 26, 2017 8:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 973

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

Σήμερα σας προτείνω το θέμα 146 από το αρχείο του Θάνου.Το έλυσα την Τρίτη το πρωί σε ένα κενό στο σχολείο... Αν $x,y> 0$ με $x^{2}+y^{2}=1$ , αποδείξτε ότι $x^{3}+y^{3}\geq \sqrt{2}xy.$ Καλησπέρα σας! Είναι $LHS = (x+y)(x^2+y^2-xy)=(x+y)(1-xy)=x+y-x^2y-xy^2$. Αρα αρκεί μετά από παραγοντοποίηση $\d...
από harrisp
Τετ Οκτ 25, 2017 3:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εφάπτονται!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 448

Re: Εφάπτονται!

Ακριβώς! :clap:
από harrisp
Τρί Οκτ 24, 2017 7:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εφάπτονται!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 448

Εφάπτονται!

Μια προσωπική κατασκευή...

Δίνεται κύκλος C(A,AB) και κύκλος (B,BD) που τέμνει τον C στα D,E. Οι εφαπτομένες του C στα σημεία αυτά τέμνουν τον (B,BD) στα H,Z. Να αποδείξετε οτι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου BHZ και ο C εφάπτονται στο Β.
από harrisp
Τρί Οκτ 03, 2017 6:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 930

Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Είναι $80=5.2^{4}$ οπότε $79 =4.2^{4}+1+....+1$ με $15$ άσσους. Προφανώς το $79$ είναι ο ζητούμενος αριθμός. Να σημειώσω ότι στο βιβλίο που ανέφερα παραπάνω έχει σαν άσκηση. Να αποδειχθεί ότι κάθε φυσικός γράφετε σαν άθροισμα $53$ τετάρτων δυνάμεων ακεραίων. Βέβαια είναι το c) της άσκησης και τα δύ...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 9:20 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 799

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου Πρόβλημα 3 Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: $(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)=6x^3$. Ωραίο! Εύκολες πραξούλες (εννοείται δεν τις κάνουμε όλες αλλά εφαρμόζουμε ταυτότητες και έξυπνα την επιμεριστική ;) ) $x^6+2x^4-6x^3+2x^2+1=0$ Βλέπουμε μία ρίζα η $x=1$ κά...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 8:56 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 799

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου Πρόβλημα 4 Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $n$ για τους οποίους ισχύει ότι ο αριθμός: $A=n^4+2n^3-n^2+2n+1$ είναι πρώτος. $A=(n^2 - n + 1) (n^2 + 3 n + 1)$ ¹ άρα $n^2-n+1=1$ (το δεύτερο έχει square-free διακρίνουσα) οπότε $n=1$ δεκτή αφού $A=5$ ______...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 8:10 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 799

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Πρόβλημα 1 α) Να διατάξετε τους αριθμούς $A_1, A_2, ..., A_{10}$ σε αύξουσα σειρά εάν $\displaystyle{A_n=\frac{13na+12}{na+1}}$ όπου $a$ θετικός πραγματικός αριθμός. β) Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος $n$ και θετικός πραγματικός $a$ έτσι ώστε μεταξύ των $A_1$ και $A_n$ να υπάρχει ακέραιος αριθμός; Γ...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 3:40 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ίσες γωνίες (Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 453

Re: Ίσες γωνίες (Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Αρκεί να αποδείξουμε ότι το STCB είναι εγγράψιμο. Από την παραλληλία είναι \widehat {SAD}=\widehat {CST}, όμως από το εγγράψιμο ABCD είναι \widehat {SAD}=\widehat {CBT} άρα \widehat {CST}=\widehat {CBT}, οεδ.
από harrisp
Σάβ Σεπ 16, 2017 6:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2015 (9 τάξη)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 683

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2015 (9 τάξη)

Πρόβλημα 2. Σε κύκλο με κάποια σειρά είναι τοποθετημένοι όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το 1 έως το 1000 με τέτοιο τρόπο, ώστε οποιοσδήποτε από τους αριθμούς να είναι διαιρέτης του αθροίσματος των δυο γειτονικών του. Είναι γνωστό, ότι δίπλα στον αριθμό $ k $ βρίσκονται δυο περιττοί αριθμοί. Τι μπορεί ...
από harrisp
Πέμ Αύγ 24, 2017 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μία ορθή ακόμη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 409

Re: Μία ορθή ακόμη

Ευτυχώς απαντήθηκε νωρίς από τον Ορέστη... :lol:
από harrisp
Τρί Αύγ 22, 2017 9:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2014/B1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 946

Re: Putnam 2014/B1

Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση $10$ ενός θετικού ακεραίου $N$ είναι μια παράσταση του $N$ στην μορφή $\displaystyle{ N = d_k 10^k + d_{k-1}10^{k-1} + \cdots + d_0 10^0}$ με $d_i \in \{0,1,2,\ldots,10\}$ για κάθε $i$, και $d_k \neq 0$. Π.χ. ο $N=10$ έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το $10=10 \c...
από harrisp
Παρ Αύγ 18, 2017 6:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2013/A2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 975

Re: Putnam 2013/A2

Καλησπέρα! Θεωρούμε δύο γινόμενα (της μορφής που περιγράφει η εκφώνηση) με ισο τον τελευταίο όρο (που είναι ο ελάχιστος ώστε να ειναι το γινόμενο τέλειο τετράγωνο). Έστω $A,B$ τα δυο γινόμενα με $m>n$ τους πρώτους όρους τους. Τότε το $AB$ είναι τέλειο τετράγωνο. Στα δύο αυτά γινόμενα εκτός από τους ...
από harrisp
Τετ Αύγ 16, 2017 9:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αλλές 3 ασκήσεις για διαγωνισμούς.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1001

Re: Αλλές 3 ασκήσεις για διαγωνισμούς.

Όλες οι ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής 2)Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν τριψηφοί θετικοί ακέραιοι $\overline{abc}$ έτσι ώστε $\overline{abc}=ab+bc+ca$ με $abc \neq 0$ Καλησπέρα! Ελπίζω να είμαι σωστός... Αν $a>2$ τότε θα πρέπει $\overline {3bc}\geq 311$ να είναι μικρότερο ή ίσο με το $ab+bc+ca\leq...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση