Η αναζήτηση βρήκε 535 εγγραφές

από harrisp
Παρ Μαρ 02, 2018 12:07 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τα 11 σκαλοπάτια
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 826

Re: Τα 11 σκαλοπάτια

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Πέμ Μαρ 01, 2018 9:44 pm
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να ανέβουμε 11 σκαλοπάτια;

Θεωρείστε ότι έχουμε τη δυνατότητα να φτάσουμε στο 11ο σκαλοπάτι με τη μία όπως και σε όλα τα προηγούμενα.
Ας το δυσκολέψουμε λίγο. Κάντε το ίδιο αν μπορούμε να ανέβουμε 1 ή 2 σκαλιά την φορά.
από harrisp
Τρί Φεβ 27, 2018 12:18 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα στο Μέσο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 551

Re: Καθετότητα στο Μέσο

Καθετότητα στο Μέσο.png Καταρχάς είναι προφανές πως το $M$ βρίσκεται στο διαφορετικό ημιεπίπεδο από το $D$ ως προς την $AC$. Έστω $E'$ και $F'$ τα συμμετρικά του $E$ και του $F$ προς τα $A$ και $C$ αντίστοιχα. Έστω $M'$ το μέσο του $E'F'$. Παρατηρούμε πως στο τετράπλευρο $EE'F'F$ τα $A, M', C, M$ ε...
από harrisp
Δευ Φεβ 26, 2018 3:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα στο Μέσο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 551

Καθετότητα στο Μέσο

Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD. Προεκτείνουμε τις DA,DC κατά τμήματα AE=BC,CF=BA αντίστοιχα. Να αποδειξετε ότι MA\perp MC, όπου M το μέσο της EF.

Μέχρι τον νέο μήνα για μαθητές.
από harrisp
Παρ Φεβ 16, 2018 10:42 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Αρμονική Ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 695

Re: Αρμονική Ανισότητα!

Ας είναι $\displaystyle{\mathcal{H}_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n},~~n=1,2,...}$ Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\mathcal{H}_k ^2}<2.}$ Έστω $\mathcal {S}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\mathcal{H}_k ^2}.}$ Είναι $\mathcal{H}_i>\mathcal{H}_{i-1}\Left...
από harrisp
Κυρ Φεβ 04, 2018 10:39 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1001

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18. Θέματα της 3η φάσης για την 11η τάξη. 6. Ο Πέτρος διάλεξε ένα φυσικό αριθμό $n$ και έγραψε στον πίνακα τα ακόλουθα κλάσματα $\dfrac{0}{n}, \dfrac{1}{n-1}, \dfrac{2}{n-2}, \dfrac{3}{n-3}, \cdots , \dfrac{n-1}{n-(n-1)}$ . Έστω ότι ο αριθμός $n$ διαιρείτε με το...
από harrisp
Πέμ Φεβ 01, 2018 6:08 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Putnam 1985/A1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 635

Re: Putnam 1985/A1

Να βρεθεί το πλήθος των διατεταγμένων τριάδων $(A_1,A_2,A_3)$ όπου τα $A_1,A_2,A_3$ είναι σύνολα τα οποία ικανοποιούν τις συνθήκες (α) $A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \{1,2,\ldots,10\}$ (β) $A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \emptyset$ Έστω $x$ ένα στοιχείο της τριάδας. Τότε έχει $6$ επιλογές: Να ανήκει σε ένα μόνο...
από harrisp
Τετ Ιαν 24, 2018 6:08 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 11
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1253

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 11

Πρόβλημα 2 Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $1 \leq n \leq 2008$ για τους οποίους υπάρχει πρώτος αριθμός $p \geq n$ τέτοιος ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{2008^p + (n - 1)!}{n}}$ να είναι ακέραιος. Καλησπέρα! Μια λύση (ελπίζω σωστή), αν και νομίζω ότι το κούρασα πολύ. Έστω $A=\displayst...
από harrisp
Παρ Ιαν 19, 2018 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 102
Προβολές: 7724

Re: 15η άσκηση στα μονά-ζυγά

Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 κόκκινα και 9 μαύρα τετράγωνα. Μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς από το 1 έως και το 18, έναν σε κάθε τετράγωνο με τέτοιον τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών στα κόκκινα τετράγωνα να είναι ίσο με το άθροισμα των αριθμών στα μαύρα τετράγωνα; Παράκλιση, οι γν...
από harrisp
Τρί Ιαν 16, 2018 12:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Η καθετότητα του μήνα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 436

Re: Η καθετότητα του μήνα

Η καθετότητα του μήνα.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με $AB<AC , \hat{A}=60^0$ , το $O$ είναι το περίκεντρο , το $H$ το ορθόκεντρο και η $ AD $ μία διχοτόμος του . Η ημιευθεία $OH$ τέμνει την προέκταση της $CB$ στο $S$ . Δείξτε ότι : $DH\perp AS$ . Ωραίο! Είναι $\angle OAC=90^o-\dfrac {\angle A...
από harrisp
Παρ Ιαν 12, 2018 10:48 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 102
Προβολές: 7724

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Για τους Ορέστη και Διονύση έληξε η ισχύς του "απαγορευτικού" για την άσκηση Νο 8. (Υπάρχει μια οικειότητα με τα παιδιά αυτά λόγω του πενθήμερου της περσινής Βαλκανιάδας στη Βάρνα). Δίνω μια νέα άσκηση την οποία δεν πρέπει να "αγγίζουν" αυτοί οι δύο, ούτε και ο sakpanvas, ο οποίος βλέπω ότι είναι δ...
από harrisp
Τετ Ιαν 10, 2018 4:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ορθή σκέψη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 594

Re: Ορθή σκέψη

Ορθή σκέψη.png . Στις παράλληλες ευθείες $\varepsilon,\varepsilon'$ θεωρούμε σημεία $A,B$ . Η μεσοκάθετη του $AB$ , τέμνει την $\varepsilon$ στο $O$ . Ο κύκλος $(O,OA)$ τέμνει την $\varepsilon'$ στα σημεία $B$ και $S$ . Ο κύκλος $(O,A,S)$ , τέμνει την $AB$ στο σημείο $P$ . Δείξτε ότι : $AS\perp SP$...
από harrisp
Πέμ Ιαν 04, 2018 7:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 3080

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Άσκηση 5 . Δείξτε ότι $\displaystyle{ \left [ \frac {n(n+1)}{2n-1} \right ]= \frac {n+1}{2}}$ για $n\in \mathbb N$ Δεν θα έπρεπε όμως να εξασφαλίσουμε πως το $\dfrac{n+1}{2}$ είναι ακέραιος; Για παράδειγμα για $n=2$ προκύπτει $2=\dfrac{3}{2}$ :? . Συνεπώς πρέπει να προσθέσουμε ότι ο $n$ είναι περιτ...
από harrisp
Πέμ Ιαν 04, 2018 7:15 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 3080

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιαν 04, 2018 5:20 pm
Άσκηση 5. Δείξτε ότι \displaystyle{ \left [ \frac {n(n+1)}{2n-1} \right ]= \frac {n+1}{2}} για n\in \mathbb N

Νομίζω πρέπει n>1.

Αρκεί \dfrac {n+1}{2}\leq \dfrac {n(n+1)}{2n-1}<\dfrac {n+3}{2} ή

(n+1)(2n-1)\leq 2n(n+1)<(n+3)(2n-1) ή

-1\leq n< 4n-3 που ισχύει.
από harrisp
Πέμ Ιαν 04, 2018 7:01 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 3080

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Δύο απλές: Άσκηση 4 . Δείξτε ότι $\displaystyle{ \left [ {\underset{2N}{\sqrt{\underbrace{444...44}}}} \right ]= \underset{N}{\underbrace{666...66}} }$ Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλους! Γενικά ισχύει: $\underset{N}{\underbrace{aaa...aa}}=\dfrac {a(10^N-1)}{9}$ Αρκεί: $\dfrac {6(10^N-1)}{9}\leq \...
από harrisp
Τρί Ιαν 02, 2018 6:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2015 (1/2) Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 2757

Re: JBMO Shortlist 2015 (1/2) Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών

Παραμένουν άλυτα τα NT1, NT3, NT5. Έχω λύση για το τελευταίο (αρκετά σύνθετη, λόγω πολλών περιπτώσεων) όποτε θα περιμένω μέχρι αύριο για να την ανεβάσω.
από harrisp
Τρί Δεκ 26, 2017 9:59 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Απίστευτοι Αριθμοί
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1447

Re: Απίστευτοι Αριθμοί

Ένας α π ί σ τ ε υ τ ο ς αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος της μορφής: $2^{a_1}+2^{a_2}+ \cdots+ 2^{a_{100}},$ με $a_1,a_2, \cdots, a_{100}$ μη αρνητικούς ακεραίους, όχι απαραίτητα διαφορετικούς. Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο $n$ του οποίου τα πολλαπλάσια δεν είναι α π ί σ τ ε υ τ ο ι αρ...
από harrisp
Τρί Δεκ 12, 2017 4:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Σπύρος-Σπυριδούλα
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1499

Re: Σπύρος-Σπυριδούλα

Χρόνια πολλά σε όλους τους εορτάζοντες του :logo:, ιδιαίτερα στον κ. Καρδαμίτση
από harrisp
Τρί Δεκ 05, 2017 7:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2017/A1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 831

Re: Putnam 2017/A1

Το $S$ είναι το μικρότερο σύνολο θετικών ακεραίων ώστε: (α) $2 \in S$ (β) Αν $n^2 \in S$ τότε $n \in S$, και (γ) Αν $n \in S$ τότε $(n+5)^2 \in S$. Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο $S$ (Το σύνολο $S$ είναι το «μικρότερο» με την έννοια ότι περιέχεται σε οποιοδήποτε άλλο σύνολ...
από harrisp
Πέμ Νοέμ 23, 2017 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εξίσωση με πολυώνυμους.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 682

Re: Εξίσωση με πολυώνυμους.

Έστω $P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$. Αν το $P$ είναι σταθερό τότε θα είναι $P(x)=0,1$ για κάθε $x$. Aν το $P$ δεν είναι σταθερό τότε συγκρίνοντας τους συντελεστές των μεγιστοβάθμιων όρων των δύο μελών έχουμε: $a_n=a_n^2$ άρα (αφού $a_n ≠0$) το $P$ είναι μονικό. Εστω $a_i$ ο συντελεστής του αμέσως επόμεν...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση