Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\sum_{k=0}^n \frac{(2n)!}{(k!)^2((n-k)!)^2} = \binom{2n}{n}^2}$.

Γωνία από ορθόκεντρο.png Το σημείο $H$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $ABC$ και το $M$ το μέσο της $BC$ .

Υπολογίστε το ημίτονο της γωνίας : $\theta , (=\widehat{AMH} )$ .

2022-05-17_18-58-51.jpg Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το εμβαδόν της κίτρινης περιοχής.

mix_S.png Έστω κύκλος $\alpha$ που εφάπτεται της πλευράς $AC$ τριγώνου $ABC$ σε σημείο $M$ και του περιγεγραμμένου κύκλου του $ABC$ (το σημείο επαφής στο τόξο $AB$). Η ευθεία $IM$, όπου $I$ το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$, τέμνει για δεύτερη φορά τον...

Το σημείο $\displaystyle E$ κινείται πάνω στην πλευρά $\displaystyle DC$ του τετραγώνου $\displaystyle ABCD$ , με μήκος πλευράς $\displaystyle 1$.
Η $\displaystyle HK$ είναι μεσοκάθετος του $\displaystyle AE$. Ποια θέση του $\displaystyle E$...

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να παραθέσω την λύση μου πάνω σε μια άσκηση στην μελέτη κυρτότητας και να μου πείτε αν κάπου έχω κάνει λάθος.
Έχουμε, $f(x)=\left\{\begin{matrix}
2x^{2}+1 &,x\leq 0 & \\
-2x^{2}+1 &,x>0 &
\end{matrix}\right.$
η οποία ειναι...

Να λυθεί η εξίσωση : $x^2\cdot3^{x^2-2x}=3^3(2x+3)$

Έστω $n \in \mathbb{N}$. Να υπολογιστεί το $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{2n-2k}{n-k} \binom{2n+2k}{n+k}$.

Καλημέρα σας!
Σας επισυνάπτω το link ενός ερωτηματολόγιου σε σχέση με τις στάσεις και τις απόψεις των εκπαιδευτικών που διδάσκουν μαθηματικά σχετικά με την ένταξη των αρχών της Νευροεκπαίδευσης. Αν το βρίσκετε ενδιαφέρον, μπορείτε να το...

Για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$, ο αριθμός $\displaystyle{36^n + 2\cdot 5^n + 3}$ είναι τέλειο τετράγωνο;

Το παρακάτω θέμα δε θα διεκδικούσε δάφνες πρωτοτυπίας.
Θα μπορούσε να τεθεί σε πρωτοετείς φοιτητές στο μάθημα του Λογισμού.
Ίσως κάποιος φοιτητής το εκτιμήσει...

Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τη σειρά

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left...

Να βρείτε την μέγιστη τιμή της σταθεράς $\delta$ για την οποία ισχύει η ανισότητα.(χ,δ πραγματικοί)

$\display \sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}\geq \delta$

Ορθά - κοφτά.png Τα σημεία $A , N , W$ είναι η Ανατολή , ο Βορράς και η Δύση του κύκλου $(O)$ αντίστοιχα , ενώ το σημείο $S$

κινείται στο νότιο ημικύκλιο . Αν $M$ το μέσο του $WS$ , για ποια θέση του $S$ , προκύπτει : $NS \perp AM$ ;

Να βρείτε το γινόμενο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $\displaystyle {x^2} + 18x + 30 = 2\sqrt {{x^2} + 18x + 45} $

48 ώρες αποκλειστικά για μαθητές.

Χορδούλα.png Στον κύκλο $(O,5)$ του σχήματος , το $OM$ είναι απόστημα . Υπολογίστε την χορδή $BC$

Ισεμβαδικότητα από επαφές.png Οι κύκλοι $(O)$ και $(K)$ είναι ίσοι και εφαπτόμενοι . Αξιοποιώντας τα δεδομένα

του σχήματος , δείξτε ότι τα τρίγωνα $POA$ και $TOA$ , είναι ισεμβαδικά .

Σας παρουσιάζω ένα θέμα από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2022.
Πρόκειται για το θέμα Ο 585 που το πρότεινε ο Marian Ursărescu από τη Ρουμανία.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας....

Καλό βράδυ. Βασισμένο σε παλαιότερο θέμα του KARKAR
15-5 ελάχιστο συνημίτονο .png
Σε κύκλο με κέντρο $O$ η χορδή $ZH$ είναι κάθετη στο μέσον $M$ της ακτίνας $OA$.

Το $P$ κινείται στο τόξο $ZAH$ και το $N \in ZP$ ώστε $ZN=3PN$.

Αν...

Για τους πραγματικούς αριθμούς $a , b , c$ , είναι γνωστό ότι : $a^2+b^2+c^2=3$ και :

$a+b+c=2$ . Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή , του μεγαλύτερου από τους τρεις ;

Διαφορά εμβαδών..png
Το $S$ είναι σημείο της πλευράς $AD=12$ τετραγώνου $ABCD.$ Από το $A$ φέρνω κάθετη στη $BS$

που τέμνει τις $BS, DC$ στα $E, F$ αντίστοιχα. Αν $(BEFC)-(AES)=84,$ α) να βρείτε τη

θέση του $S$ και β) αν $E\widehat CF=\theta,$...

Εξαγωνικές ανησυχίες.png Οι διαγώνιοι $CE , DF$ του κανονικού εξαγώνου , τέμνονται στο σημείο $S$ .

α) Δείξτε ότι το πράσινο , το μαύρο και το μοβ εμβαδά είναι ίσα .

β) Δείξτε ότι : $ \dfrac{(SAB)}{E_{hexagon}}=\dfrac{5}{18}$ .

Δείξτε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{ln(x+1)}{\sqrt{x}}$ , είναι μικρότερη του $1$ .

Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\int_0^1\frac{x \arctan x \log\left(1-x^2 \right)}{1+x^2} \, {\rm d}x=-\frac{\pi^3}{48}-\frac{\pi}{8}\log^2 2+\mathcal{G}\log 2}$

όπου $\mathcal{G}$ η σταθερά Catalan .

Σε συνέχεια των δημοσιεύσεων εδώ , εδώ και εδώ προτείνω και το παρακάτω:

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{1} x \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \left \{ \frac{1}{x} \right \} \, \mathrm{d}x }$...

Καλησπέρα σας.
Οι συνθήκες διδασκαλίας τη χρονιά 2020-2021 ήταν πρωτόγνωρες για εμάς τους μαχόμενους εκπαιδευτικούς.
Όλα αυτά είναι γνωστά. Στο πέρασμα από την εξ αποστάσεως διδασκαλία στην δια ζώσης απαιτούσε κάποια σκέψη εκ μέρους
μας. Πάνω σε...