00099.png

Καλησπέρα.

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο και σημείο $D$ του τόξου $BC$ που δεν περιέχει το $A$.
Από τα $B$ και $C$ φέρνω παράλληλες προς την $AD$ οι οποίες τέμνουν τον κύκλο στα σημεία $M$ και
$N$ αντίστοιχα....

Εξωτερικό τμήμα.png Η $AOB$ είναι διάμετρος του κύκλου . Υπολογίστε το τμήμα $TP$ .

Αν για τους θετικούς $a , b$ ισχύει : $2a^5-a\geq b^3$ , δείξτε ότι : $a^6\geq b^2$ .

Μεγάλες κατασκευές 109.png Σχεδιάστε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $OPT$ , στο οποίο υποτείνουσα είναι χορδή $PT$

του ημικυκλίου με εξίσωση : $x^2+y^2=16$ , η οποία διέρχεται από το σημείο $S( 1 , 3 )$ .

Σκεφθείτε και άλλους τρόπους !

Τέμνονται επί.png Ο κύκλος $(K)$ διέρχεται από το κέντρο του κύκλου $(O)$ και τον τέμνει στα σημεία $A , B$ . Θεωρούμε χορδή

$AC$ του $(O)$ ώστε : $AC=AB$ . Η παράλληλη από το $B$ προς την $CA$ τέμνει τον $(O)$ στο $D$ και την

προέκταση της $CO$...

Βρήκα κατά τύχη κάποια ωραία προβλήματα πρακτικής αριθμητικής από αυτό εδώ
Θα τα δουλέψω με μαθητές γυμνασίου, νομίζω είναι αρκετά διδακτικά. Μήπως πολύ δύσκολα, τι λέτε συνάδελφοι ; :?

O Strang μετά από 66 χρόνια σαν φοιτητής και καθηγητής στο κορυφαίο πανεπιστημιακό ίδρυμα των ΗΠΑ το ΜΙΤ έδωσε την τελευταία διάλεξη του. :!:

Σχετικά :

1) Άρθρο --->

2) Διάλεξη ---->

Τι συμβαίνει στην ορθή γωνία που ξαφνικά γίνεται 89 μοιρών;

Αν : $a=\sqrt {3}+3$ , υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $a^3-9a(a-3)-10$

Δίνεται το πρόβλημα αρχικών τιμών
$\displaystyle y'(x)=\frac{(2x+2)\,{\rm{e}}^{-y^2}\cos{y}+2023}{x^2-2x-35}\,,\qquad y(0)=0\,.$

Να εξετασθεί η αλήθεια των προτάσεων:

Το π.α.τ. έχει ακριβώς μια λύση $y_0$ η οποία ορίζεται σε ολόκληρο το διάστημα...

Ο έγκυκλος τριγώνου $ABC$ εφάπτεται της πλευράς $BC$ στο $D$ και επανατέμνει την ευθεία $AD$ στο $M$.

Πάντα ισχύει ότι $ \displaystyle \cot \angle DMC=\frac{\displaystyle 3\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}+\sin \frac{B}{2}\cos...

Παραγόμενη χορδή.png Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2r$ , θεωρούμε σημείο $T$ , ώστε : $BT=x , ( x
$ST \parallel AB$ . Υπολογίστε την $ST=f(x)$ , συναρτήσει του $x$ . Εφαρμογή : $r=5 , x=4 $

Ισοσκελές υπό όρους.png Σε κύκλο $(O)$ σχεδιάσαμε χορδή $DC$ . Μπορείτε να εντοπίσετε σημείο $A$ του κύκλου ,

τέτοιο ώστε , αν η $AO$ τέμνει τη χορδή στο $B$ , το τρίγωνο $ABC$ να είναι ισοσκελές ;

Έστω τρίγωνο $ABC$ με περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$. Να βρεθούν όλα τα σημεία $X\neq A$ του επιπέδου με την ακόλουθη ιδιότητα:

Για κάθε ευθεία $l$ που διέρχεται από το $X$, οι κύκλοι $(AYZ)$ όπου $Y,Z$ τα συμμετρικά σημείου $K$ που διατρέχει την...

2022.038.FB9898 mathematica.png
Εστω τετράπλευρο $ABCD$ με $\angle B =\angle C$

και σημείο $P\equiv (A,AB)\cap (D,DC)$ (στο εσωτερικό του)

Αν $S\equiv DP\cap AB$ και $ T\equiv AP\cap CD$, δείξτε οτι:

α. $SP+TC=BS+PT$

c. οι διχοτόμοι των γωνιών...

Το τρίγωνο βγαίνει βόλτα έξω. Τι φοράει;

Δίνονται οι εξισώσεις : $(x-2)(2x-5)=x+2$ και : $(x-2)(2x-5)=3\sqrt{x}$ .

Λύστε τις δύο εξισώσεις . Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες ;

Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς $a_1,...,a_n$ με άθροισμα 0 και άθροισμα τετραγώνων ίσο με 1. Να αποδείξετε ότι
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\prod_{j=1}^n\frac{1}{1+ia_jt}dt\leq\pi\sqrt{2}.}$

Εκκεντροκυκλικά.png
Από το έκκεντρο $I$ τριγώνου $ABC$ φέρνω κάθετη στη $BC$ που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία $P, Q.$

Αν οι $PA, QA$ τέμνουν τη $BC$ στα $D, E,$ να δείξετε ότι τα σημεία $I, A, D, E$ είναι ομοκυκλικά.

Ορθογωνίου τριγώνου $ABC\left( {AB \bot AC} \right)$ οι εσωτερικές διχοτόμοι έχουν μήκη : $BD = 4\sqrt 5 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE = \dfrac{{32\sqrt {10} }}{9}$.

Να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας ( και ότι άλλο θέλετε!)

Πώς θα εργαστούμε για να βρούμε τη συζυγή παράσταση μίας ρίζας εξίσωσης 3ου βαθμού;

Στο εσωτερικό κυρτής γωνίας $\widehat{O}$ έχουμε σημείο $S$

Γωνία σταθερού μέτρου με κορυφή το $S$ περιστρέφεται και οι πλευρές της τέμνουν τις πλευρές της γωνίας $\widehat{O}$ στα σημεία $P , T$ , σχηματίζοντας το κυρτό τετράπλευρο $TOPS$ .

α) το...

Αν τα $AEZD, EBCZ$ είναι ισοσκελή τραπέζια και η $AZ$ είναι κάθετη στην $ZB$ να αποδείξετε ότι τα $H, K$ σημεία τομής των διαγωνίων των τραπεζίων, τα μέσα $N, M $ των $AB, CD$ και τα $E, Z$ είναι ομοκυκλικά.