Ο εγγεγραμμένος κύκλος του $\triangle{ABC}$ εφάπτεται των πλευρών $BC$, $CA$, $AB$ στα σημεία $D$, $E$, $F$, αντίστοιχα.
Θεωρούμε σημείο $P$ στην ευθεία $EF$ τέτοιο ώστε $AP \parallel BC$, και η $AD$ τέμνει για δεύτερη φορά τον εγγεγραμμένο
κύκλο...

Καλή Κυριακή σε όλους.
Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG
Στο σχήμα είναι $\widehat{AOB}=90^{0}$ και $3OB=2OA$ . Το $E \in AB$ ώστε $3\left ( BOE \right )= 10\left ( AOE \right )$.

Να βρεθεί η $\widehat{OEB}$ . Ευχαριστώ Γιώργος.

Δεκτές όλες οι λύσεις...

33.png

Καλησπέρα .

Στο παραπάνω σχήμα το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο, ενώ τα τρίγωνα $AED, CFD$ ισόπλευρα.
Αν $Q\equiv AE\cap FC$ και $PQ=8\sqrt{3}$, να βρείτε το μήκος του τμήματος $x=DL$.

Χωρίς τριγωνομετρία.png
Να δείξετε χωρίς χρήση τριγωνομετρίας ότι, $AC = BD$

Χαίρετε !
Για την ισότητα των λόγων.png
Δίνεται το τετράγωνο $ABCD$ και $P \in AB$ ώστε να είναι $\dfrac{AB}{AP}=3$.

Το ημικύκλιο διαμέτρου $DP$ τέμνει την $AC$ στο $E\not\equiv A$. Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{AC}{EC}$

Ας επιτεθούμε στην άσκηση...

Χαιρετώ. Αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος το ωραίο θέμα τούτο
10-8 Ισότητα λόγων.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει ορθόκεντρο το $H$ , ενώ το $F$ είναι σημείο της πλευράς $BC$.

Θεωρούμε ευθεία κάθετη στην $AF$ που τέμνει την $HB$ στο $K$ , την...

Έστω $n \geq 2$. Να υπολογιστεί ο $\displaystyle{d_n:=\gcd \left\{\binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \dots , \binom{n}{n-1}\right\}}$.

Θα μπορούσε και σχολική.png
$AD, BE, CF$ είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ και $P$ είναι ένα από τα σημεία τομής της

$EF$ με τον περίκυκλο του τριγώνου. Αν οι $BP, DF$ τένμνονται στο $Q$ να δείξετε ότι $AP=AQ.$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για...

Πως υπολογίζεται αυτή η γωνία ;.png $\bigstar$ Στο τρίγωνο $ABC$ , με $AB=AC$ , το $E$ είναι το έγκεντρό του . Φέρω $ET \perp AB$ ,

η οποία τέμνει την προέκταση της $BC$ στο σημείο $S$ . Υπολογίστε την γωνία $\theta=\widehat{CAS}$ .

Πώς θα...

Έστω $F_n$ η ακολουθία Fibonacci. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left | \varphi F_n - F_{n+1} \right | = \varphi}$

όπου $\varphi$ ο χρυσός λόγος.

Στο σχήμα , το τόξο είναι τεταρτοκύκλιο , το $\displaystyle ABCD$ είναι τετράγωνο και $\displaystyle BH//AC$.
Βρείτε τη γωνία $\displaystyle \widehat{x}$

Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC(AB=AC)$ με $\angle A=45^{0}$ και τα σημεία $D,E$ επί των πλευρών $AB,AC$ αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\angle CBE=45^{0}, \angle ACD=30^{0}.$. Να υπολογίσετε τη γωνία $\angle BED.$

:wallbash: θα ήθελα βοήθεια σχετικά με το ορθοκεντρικο τρίγωνο.. στο βιβλίο του Chen ψάχνω να βρω τα περιγεγραμμενα τετράπλευρα αλλά έχω βρει μόνο τρία. Μπορείτε να με βοηθήσετε και να δώσετε και την αιτιολόγηση από δίπλα. Σας επισυνάπτω την εικόνα...

Καλησπέρα από το όμορφο αλλά και πολύ ζεστό Blagoevgrad της Βουλγαρίας, όπου πριν από λίγες μέρες έλαβε χώρα ο διεθνής διαγωνισμός IMC υβριδικά. Συνολικά συμμετείχαν $673$(!) φοιτητές, εκ των οποίων οι $168$ διαγωνίστηκαν δια ζώσης.

Να σημειωθεί...

78.png

Στο παραπάνω σχήμα τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα.
Δείξτε ότι $\angle ADC=90^{0}$.

Ένα μεγάλο ΕΥΓΕ στους μαθητές μας για την διάκρισή τους στην πρόσφατη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Βλέπε εδώ από όπου αντιγράφω.

...................................... Total Rank Award
..................................... Abs. Rel.
Prodromos...

Τοξολογία.png Πάνω στην μεσοκάθετο της ακτίνας $OA$ , θεωρούμε τυχόν σημείο $S$ και σχεδιάζουμε

την διάμετρο $BOSC$ και την χορδή $ASD$ . Βρείτε τον λόγο των τόξων : $\dfrac{\overset{\frown}{AC}}{\overset{\frown}{BD}}$

Πώς θα φτιάχνατε το παρακάτω στο geogebra ;

Στριφνή ακτίνα.png

Με ενδιαφέρει πιο πολύ η εξίσωση των κύκλων.

Το 2012 ο μαθηματικός (συνταξιούχος σήμερα) Ian Stewart δημοσιεύεσαι το βιβλίο In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World. προσπαθώντας να συγκεντρώσει τις σημαντικότερες εξισώσεις στις θετικές επιστήμες που είχαν σημαντική...

Αν οι μονοψήφιοι αριθμοί $a,b,c$ είναι τέτοιοι ώστε $\overline{abc}\equiv 0(mod9)$, να λύσετε την εξίσωση :
$\overline{cba}=1,75\cdot \overline{abc}$.
Καλή επιτυχία!!

Να λύσετε στους πρώτους αριθμούς την εξίσωση $p(q+p)=r+120(E)$.
είναι πολύ απλή, ας την αφήσουμε για τους μαθητές μας.
είμαι περίεργος να δω τι θα κάνουν όσοι δεν ξέρουν εξισώσεις με διακρίνουσα!!

Τρίτο τμήμα (τος).png Το $CD$ εφάπτεται στο ημικύκλιο και : $ED \parallel AB$ . Υπολογίστε το : $\dfrac{AS}{SB}$

Η πέμπτη ευθεία.png Το σημείο $S$ κινείται στην πάνω παράλληλη , το $A$ στην δεύτερη και το $B$ στην τρίτη . Οι $SA , SB$

τέμνουν την τέταρτη παράλληλη στα : $A' , B'$ . Δείξτε ότι το σημείο τομής $T$ , των $AB' , A'B$ ,

κινείται σε ευθεία...

Συνευθειακότητα και ορθότητα.png Με κέντρο το μέσο $M$ της πλευράς $AB$ , ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , γράφουμε τους κύκλους : $(M ,\dfrac{c}{2} )$ και :

$(M, r ), (r<\dfrac{c}{2})$ . Η $CM$ τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία $E , D$ , ενώ οι $BD ,...

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος:

$\displaystyle{x^2 + y^2 = z^3}$

$\displaystyle{x^2 + z^2 = y^3}$

$\displaystyle{x + y + z = 102}$