Θά ἤθελα νά καταγγείλω σφοδρά τήν ἀπερίγραπτα ἀποκρουστική καί ἀσυμφόρητη συμπεριφοράν τοῦ συναδέλφου και συμφορουμίτη Μιχάλη Λάμπρου. Ὁ ὥς ἀνωτέρω ἀναφερθείς διδάσκαλος δημοσιεῦει περιεχόμενο χαμηλοῦ ποιοτικοῦ επιπέδου μέ μόνο σκοπό τήν αὔξηση τοῦ...

Γράφω κάτι σημειώσεις στις γεννήτριες ... Ας μαζέψουμε στο θέμα εδώ τις πιο βασικές γεννήτριες μαζί με τις αποδείξεις τους. Μπορούμε να ξεφύγουμε και σε πιο περίπλοκες! Σε μερικά δεν έχω αποδείξεις ... και τις ψάχνω.

1. (Γεννήτρια των αριθμών...

Βραβείο Abel στον Αργεντινό Μαθηματικό Luis Caffarelli για την μακροχρόνια ερευνητική του εργασία πάνω στις Διαφορικές Εξισώσεις.

Βλέπε εδώ .

Από τους μαθητές του ήταν ο Γιάννης Αθανασόπουλος, Ομότιμος Καθηγητής σήμερα, στο Τμήμα Μαθηματικών και...

Εδώ θα συζητηθούν τα θέματα και οι λύσεις, αν θέλετε, μετά το πέρας του Προκριματικού. Καλή επιτυχία!!! :clap2:

Καλησπέρα σέ ὄλην ἐτούτην τήν κοινότητᾳν καί ἰδιαίτερα στόν ἀγαπητό συνάδελφο Μιχαήλ Λάμπρου, πρός τόν ὀποίον τρέφω ἰδιαίτερα μεγάλην εκτίμησιν!

Ὡς ἐρευνητής τῆς ἀληθείας, ὠς ὑπέρμαχος τῶν ᾀνθρωπίνων δικαιωμάτων ἀλλά καί ὡς ἐπιθεωρητής,...

Έστω $f: \rightarrow [0,+\infty)$ ολοκληρώσιμη συνάρτηση η οποία είναι αριστερά συνεχής στο $1$. Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \int_{0}^{1} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k} f(x) \, \mathrm{d}x }$

Έστω $\mathcal{H}_n$ ο $n$ - οστός αρμονικός όρος και $\mathcal{H}_n^{(2)}$ ο γενικευμένος αρμονικός όρος τάξης $2$ , δηλ. $\mathcal{H}_n^{(2)} = \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \left(...

ΘΕΜΑ 1
Υποθέτουμε ότι οι διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί $a, b, c, d$ ικανοποιούν τις σχέσεις
$\displaystyle{(a^2 + b^2 − 1)(a + b) = (b^2 + c^2 − 1)(b + c) = (c^2 + d^2 − 1)(c + d).}$
Προσδιορίστε όλες τις δυνατές τιμές του αθροίσματος $a...

Χωρίς μοιρογνωμόνιο.png Στο παρατιθέμενο σχήμα , υπολογίστε το άθροισμα : $AB^2+CD^2$ .

( Το σημείο $S$ είναι το $(2 , 1 )$ ) .

Ο εγγεγραμμένος κύκλος $\omega$ του τριγώνου $ABC$, εφάπτεται της πλευράς $AC$ στο σημείο $D$.
Το ευθύγραμμο τμήμα $BD$ τέμνει για δεύτερη φορά τον κύκλο $\omega$ στο σημείο $E$. Τα σημεία $F$ και $G$ του κύκλου $\omega$
είναι τέτοια, ώστε $EF...

Καλημέρα σε όλους και καλώς σας βρήκα!

Θα ήθλεα τη βόηθειά σας στο παρακάτω, καθώς δεν μπορώ να βρω τι μου διαφεύγει.

Για συνάρτηση $f:\left \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη και κοίλη, με $\displaystyle{f '(0) = 0}$ (και $\displaystyle{f(x) >...

Σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό συμμετείχαν 120 μαθητές από διάφορες ομάδες. Κατά την τελετή λήξης, κάθε μαθητής έδωσε ένα αναμνηστικό σε κάθε άλλο συμμετέχοντα από την ίδια ομάδα, καθώς και ένα αναμνηστικό σε έναν συμμετέχοντα από κάθε άλλη ομάδα....

ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών $E(1), E(2), E(3),..., E(2009)$,
όπου$E(n)=n(n + 1)(2n + 1)(3n + 1)...(10n + 1)$.

ΘΕΜΑ 2
Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι...

Διάμετροι και εφαπτόμενες.png $\bigstar$ Τα τμήματα $AS , BT$ εφάπτονται στα δύο ημικύκλια . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{BT}$ .

( Προαιρετικό ) : Υπάρχει περίπτωση τα σημεία $B , S , T $ να είναι συνευθειακά ;

Μία σημαντική στιγμή για τον κόσμο των ψηφιδώσεων*: μία απεριοδική ψηφίδωση του επιπέδου που χρησιμοποιεί μία και μόνη ψηφίδα (μονοψηφίδα, monotile) -- ένα μη κυρτό πολύγωνο 13 ακμών που οι 4 συγγραφείς αποκαλούν καπέλο (hat) -- υπάρχει από χθες εδώ...

Μεγάλες κατασκευές 104.png Οι πλευρές του τριγώνου $ABC$ είναι μονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι . Στις πλευρές $AB , AC$ , υπάρχουν σημεία $S , P$

αντίστοιχα , ώστε : $BS=CP=BC$ . Η διχοτόμος $AE$ , διαιρεί την βάση $BC$ , σε λόγο :...

Ακτίνα από αποστήματα.png Μπορείτε να υπολογίσετε την ακτίνα του περικύκλου του τριγώνου $ABC$ ;

Είναι δυνατόν να καλύψουμε σκακιέρα $100 \times 100$ με ίσο αριθμό ορθογωνίων $2\times 4$ και $1\times 8;$
(Τα σχήματα μπορούν να περιστραφούν)

Έστω μια κοίλη συνάρτηση $f$ ορισμένη στους πραγματικούς και δύο διάφορα σημεία $A$, $B$ κάτω από την γραφική της παράσταση $\mathcal{C}_f$. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία $AB$ τέμνει την $\mathcal{C}_f$.

ΥΓ Θεωρώ εξαιρετικά πιθανον να την έχουμε...

Αν $x, y, z$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους επίσης ισχύει $xyz=1$ και $x + xz \geqslant 1,\;\,y + xy \geqslant 1,\,\;z + zy \geqslant 1,$

τότε να αποδειχτεί ότι: $\sqrt {1 + z - \frac{1}{x}} + \sqrt {1 + x - \frac{1}{y}} + \sqrt {1 +...

Αν $\displaystyle{x,y,z \in R}$ και αν:

$\displaystyle{x(y^2 -y+2)=3y^2 -4y+4}$

$\displaystyle{y(z^2 -z+2)=3z^2 -4z+4}$

$\displaystyle{z(x^2 -x+2)=3x^2 -4x+4}$

να αποδείξετε ότι ή θα είναι $\displaystyle{min\{x,y,z\}\geq 2}$ ή...

2023.03.11.FB11971 mathematica.jpg
Οι διάμετροι $AB=2R, BC=2r$ δυο ημικυκλίων είναι διαδοχικά τμήματα επί ευθείας.

Στο ημικύκλιο $AB$, φέρω την εφαπτόμενη $CZ$ και την εφαπτόμενη στο $A$ που τέμνονται στο $M$

Στο ημικύκλιο $BC$, φέρω την...

Έστω $\mathbb{N} \ni b \geq 2$ και $\left | \alpha \right | < 1$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \alpha^{1 \cdot b^n} + \cdots + \alpha^{\left ( b-1 \right ) \cdot b^n} \right ) = \frac{1}{1-\alpha}}$

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{16}{27} \left ( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right )^3 + \sqrt {\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \geq...

Ενδιαφέρον σημείο.png $\bigstar$ Εντοπίστε σημείο $S$ του μεγάλου ημικυκλίου , τέτοιο ώστε αν $T$ είναι η τομή του $AS$

με το μικρό ημικύκλιο , να προκύπτει η ισότητα : $ST=SO$ .