Παραθέτω τα θέματα του σημερινού διαγωνισμού της Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας Νέων που διεξάγεται αυτές τις ημέρες στο Σεράγεβο. Με χαρά θα δούμε τις λύσεις σας!

Πρόβλημα 1 - Κροατία. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη $(a,b)$ θετικών ακέραιων αριθμών...

Σε αναζήτηση προέκτασης.png Το ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ , έχει πλευρές μήκους $5$ . Στην προέκταση της βάσης του $BC$ ,

θεωρούμε σημείο $D$ . Σχεδιάζουμε τον κύκλο διαμέτρου $BD$ και το εφαπτόμενο τμήμα $AS$ .

Υπολογίστε το μήκος $x$ , της...

Οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου το χωρίζουν σε τέσσερα χωρία $A,\,B,\, C,\, D$, όπως στο σχήμα.

Δείξτε ότι ως προς τα εμβαδά τους ισχύει $(A)(B)(C)(D)(A+B+C+D)^4=(A+B)^2(B+C)^2(C+D)^2(D+A)^2$.

(Αναρτώ την άσκηση για λόγους πληρότητας, αν και...

Tα βραβεία της International Mathematical Union θα δοθούν στις 5 Ιούλιου διαδικτυακά. Ανάμεσα τους και τα βραβεία Fields .
To πρόγραμμα είναι ως εξής

International Mathematical Union IMU Award Ceremony 5 July 2022 at 10.00 (EEST)
Venue: Aalto...

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μια από τις οποίες η εξίσωση

$2^{-x^2} \cdot 4^{x} + \sin \dfrac{\pi x}{4} +\cos \dfrac{\pi x}{4} -2 = a^3-3a^2+a +\sqrt{2}$

έχει μοναδική λύση.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Κρατικού...

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μία από τις οποίες η ανίσωση

$\dfrac{\sqrt{6+x-x^2}}{x-2a} \leq \dfrac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x-2a+4}$

έχει ακριβώς δυο λύσεις.

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μια από τις οποίες η εξίσωση

$5x+ \dfrac{18}{\sqrt{x^2+36}}= a \sqrt{x^2+16}$

έχει τουλάχιστον μία λύση.

$\bigstar$ Να λυθεί η ανίσωση : $\ln(e^{4x}-2e^{3x})\leq 3x+1$

Δείξτε ότι σε οποιαδήποτε βάση αρίθμησης και αν δουλεύουμε (όπως π.χ. στο δεκαδικό σύστημα γραφής ή οποιοδήποτε άλλο) απoκλείεται να ισχύει η ισότητα $\displaystyle{\overline {AAA} = A^3\,\,\,. }$

(Σχόλιο: Είναι ευκολότερη από ότι δείχνει.)

Αγαπητοί φίλοι,

σκέφτομαι ότι θα ήταν καλή ιδέα να αποχωρήσω από την επιμελητεία αυτού του φακέλου: και το ενδιαφέρον μου για τα Μαθηματικά γενικώς και για την Γεωμετρία ειδικότερα -- χθες άκουσα στον δρόμο κάτι μαθήτριες να λένε ότι δεν πήγαν καλά...

Κατάλληλη προέκταση.png Στην προέκταση της πλευράς $AB=a$ , τετραγώνου $ABCD$ θεωρούμε σημείο $E$ , ώστε : $AE=\lambda a$ .

Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου $AE$ , φέρουμε το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα $CS$ και

διαπιστώνουμε ότι τα...

Διαφορά και ύψος.png Το σημείο $D$ , χωρίζει το τμήμα $BD$ σε δύο ακέραια τμήματα $BD=m$ και $DC=n , (m
φέρουμε κάθετη προς το $BD$ , επί της οποίας κινείται σημείο $A$ .

α) Δείξτε - με δύο τουλάχιστον τρόπους - ότι η διαφορά...

Κορυφαία τετμημένη.png Η μία πλευρά του τριγώνου $AON$ είναι το τμήμα $ON$ , με : $n \in $$\left \{ 3,4,5 , ... , 12 ,13 \right \}$ και οι άλλες

δύο είναι οι : $AO=8$ και $AN=6$ . Ενδιαφερόμαστε για την τετμημένη $a$ , της κορυφής $A$ .

α) Βρείτε...

Δείξτε ότι αποκλείεται οι φυσικοί αριθμοί $n+2$ και $n^2+n+1$ να είναι και οι δύο τέλειοι κύβοι, όποιο και αν είναι το $n\in \mathbb N$.

(Η λύση είναι μόνο δύο ή τρεις γραμμές, αν σκεφθείς πονηρά).

Το 2ο Συνέδριο Ελλήνων Μαθηματικών διεξάγεται στην Αθήνα απο 4-8 Ιουλίου 2022.
Κεντρικός οργανωτής η ΕΜΕ μαζί με τα Μαθηματικά τμήματα.
Περισσότερα εδώ ===> και

Με τις ευχές μου για Καλό μήνα σε όλους!
1-7 Καθετότητα και ακεραιότητα.png
Το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο . Το $E \in AB$ ώστε $EB=3AE$

και το $Z$ στην προέκταση της $CB$ ώστε $BZ=\dfrac{2}{5}BC$. Αν $P$ η τομή των $CE$ και $AZ$ τότε:

Να...

Αγνή καθετότητα.png

Στο τετράγωνο $ABCD$, θεωρώ το μέσο $M$ της $BC$ και το συμμετρικό $E$ του $A$ ως προς το $C$.

Δείξετε ότι $DM \bot BE$.

Χαιρετώ μεγάλους και μικρούς !
Δεν το πατάμε..το υπολογίζουμε!.png
Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ . Το $O \in AC$ ώστε $AB=4AO$ και ο κύκλος των $B,O,C$ τέμνει την $AB$ και στο $P$.

Τα $M,E,Z$ είναι τα μέσα των $BC,BP,OC$ αντιστοίχως και το $N \in...

Γενικά παρατηρώντας τις βαθμολογίες στα γραπτά των μαθηματικών και μελετώντας και τα αποκόμματα παρατήρησα ότι υπάρχουν κάποια βαθμολογικά κέντρα που διάφορες 10 και 11 μορίων στα μαθηματικά διέρχονται απαρατήρητες (νόμιμο ) , σε άλλα βαθμολογικά...

Βρίσκομαι στο σχολείο, λίγες ώρες πριν κλείσουμε για τις καλοκαιρινές διακοπές...
Μια ανισότητα από αυτήν την ημέρα...

Σε τρίγωνο $ABC$ αποδείξτε ότι

$\displaystyle...

Καλημέρα σε όλους!
25-6 εύρεση λόγων.png
Το τραπέζιο $ABCD$ με $AB \parallel CD$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $O$

και $K,L,M,N$ τα μέσα των πλευρών του $AB,BC,CD,DA$ αντιστοίχως. Αν $\widehat{AOD}=54^o$ τότε

Ι) Να υπολογιστεί ο λόγος...

Να λυθεί η ανίσωση : $9^x+3^x\leq2\cdot 6^x$

Διασκεδάστε το ! ( Ποιος θα ήταν ο καταλληλότερος φάκελος ; )

Από Σερβία ο λόγος.png
Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ και ο κύκλος $(K)$ διαμέτρου $AB.$ Ένα σημείο $P$ κινείται στην πλευρά $CD$

και οι $PA, PB$ επανατέμνουν τον κύκλο στα $M, N$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι $DM, CN$ τέμνονται

σε σημείο $Q$ του...

Αγαπητά μέλη του :logo:
Από 11 έως 15 Ιουλίου το Παράρτημα της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας ν.Ηλείας διοργανώνει το 2ο Θερινό Μαθηματικό Σχολείο Ηλείας για ΣΤ Δημοτικού και Α,Β,Γ Γυμνασίου σε Πύργο και Αμαλιάδα .
Περισσότερες πληροφορίες στο...

Μεταφέρω και εδώ την ανάρτηση του κ. Παπασπύρου (καθηγητή ΕΜΠ με συνεχή συνεισφορά στους διαγωνισμούς πληροφορικής στην Ελλάδα) για την φετινή κατάντια.

Κάποια στιγμή λοιπόν, θα έφτανε κι εδώ. Το είχα προτείνει χρόνια τώρα, μεταξύ σοβαρού και...