Έστω $\displaystyle f:R \to R$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R$.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$.

H απορία μου είναι η εξής :
Μπορούμε να θέσουμε συνάρτηση $\displaystyle...

α) Να κατασκευαστεί τρίγωνο $ABC$ αν γνωρίζουμε τα μήκη των $BC = a\,\,,\,\,BA = c\,\,$ και της διχοτόμου $BD = d$. Με $a > c$

β) Αν $a = 15\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 10$ βρείτε τις πλευρές $AB = c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = b$ αν...

Θέμα Δ..png
Η μεσοκάθετος της πλευράς $BC$ τριγώνου $ABC$ τέμνει την $AC$ στο $D$ και είναι $AD=9, DC=7.$ Αν η $BD$ διχοτομεί την $\widehat B,$

α) Nα δείξετε ότι τα τρίγωνα $ABD, ABC$ είναι όμοια και ότι $AB=12$ ..... ($9 M$)

β) Να υπολογίσετε το...

Έστω

$ \Displaystyle{ f(x,y) = \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y } $

$ \Displaystyle{ g(x,y) = - \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y } $ .

Να βρείτε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει τουλάχιστον μια εκ των παραπάνω συναρτήσεων.

Αφιερωμένη στην μνήμη του Vladimir Zajik .

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $A',\ B'\ C',$ τρία τυχόντα σημεία επί των μεσοκαθέτων ευθειών των πλευρών του $BC,\ AC,\ AB$ αντιστοίχως και στο εξωτερικό μέρος αυτού. Έστω τα...

Ο αγαπητός φίλος Ανδρέας Πούλος πραγματοποίησε ένα στόχο πολλών ετών. Εξέδωσε έναν πολυτελή τόμο με συλλογή γραμματοσήμων από όλον τον κόσμο που έχουν μαθηματικό περιεχόμενο. Συνοδεύει κάθε γραμματόσημο με λεπτομερή περιγραφή και ενδιαφέροντα...

Η Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών (ΣΕΜΦΕ) του ΕΜΠ ανοίγει τις πόρτες της στους μαθητές των Λυκείων. Την Δευτέρα 8 και Τρίτη 9 Απριλίου 2019 διοργανώνει εκδηλώσεις που σκοπό έχουν να παρουσιάσουν τόσο τις εγκαταστάσεις της Σχολής...

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle a>0$ και η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)={{e}^{x-a}}-ax\ln x\,$ , για κάθε $\displaystyle x>0$ .
Να βρείτε το σημείο καμπής της $\displaystyle {{C}_{f}}$ με τη μέγιστη δυνατή τεταγμένη .

Δίνεται μια ακολουθία πραγματικών $(a_{n})$ με την ιδιότητα.

Για κάθε ακολουθία πραγματικών $(b_{n})$ με

$\sum_{n=1}^{\infty }b^{2}_{n}< +\infty$
η σειρά

$\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}a_{n}$ συγλίνει.

Να δείξετε ότι

$\sum_{n=1}^{\infty...

Δίνονται $A_{i},i=1,2,...,k$
$n\times n$ πίνακες με στοιχεία πραγματικούς.

Να δειχθεί ότι υπάρχει επιλογή από
$\varepsilon _{i},i=1,2,... ,k$
με
$\varepsilon _{i}\in \left \{ 1,-1 \right \}$
ώστε
$tr(\sum_{i=1}^{k}\varepsilon _{i}A_{i})^{2}\geq...

Μία ακολουθία $(x_{n})$
λέγεται ''Devin'' αν έχει τις ιδιότητες
1)$0\leq x_{i}\leq 1,i=1,2,...$
2)Για κάθε συνεχή $f: \rightarrow \mathbb{R}$
ισχύει
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})=\int_{0}^{1}f(x)dx$

Να δείξετε ότι...

(Χρησιμοποίησα Αγγλικά γιατί έτσι είναι γραμμένη η παραπομπή).

Το καλοκαίρι 16 - 17 Ιουλίου 2019 θα γίνει Μαθηματικό συνέδριο στην Αθήνα από τους νεαρούς ερευνητές του χώρου.

Πληροφορίες εδώ .

Δεν ξέρω περισσότερα αλλά από ότι καταλαβαίνω είναι...

Να αποδείξετε ότι για κάθε $a\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( -1,1 \right )$ η εξίσωση:

$\displaystyle{x^{2}+\frac{x}{a^{2}-1}+\frac{1}{a-1}=0}$

έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Η λύση που έχω...

Νεότερα για την Αρμονική Γεωμετρία
ΕΔΩ

Νίκος Κυριαζής

Έστω $\mathcal{H}_n$ ο $n$-οστός αρμονικός όρος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^2}{n(n+1)} = 3\zeta(3)}$

όπου $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann.

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^\infty \log x e^{-x^2} \, \mathrm{d}x }$

Πλευρές τραπεζίου.png
Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $DC$ τραπεζίου $ABCD$ με $\widehat C=\widehat D=90^\circ.$ Αν $N$ είναι η προβολή του $M$ στην

$AB$ και $AN=NM=20, NB=50,$ να βρείτε τα μήκη των άλλων πλευρών $AD, BC, CD$ του τραπεζίου.

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}},x\in R$.
α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle f$...

Κρούοντας τις χορδές.png Τα σημεία $A,B,E$ είναι συνευθειακά και τα υπερκείμενα τετράγωνα έχουν πλευρές $4$ και $6$ .

Το $M$ είναι το μέσο της $BC$ , ενώ η $DM$ τέμνει τους εγκύκλους των δύο τετραγώνων

στα σημεία $S,M$ και $P,T$ αντίστοιχα ....

4.png

Καλημέρα .

Στο παραπάνω σχήμα το $ABCD$ είναι τετράγωνο και το $ADE$ ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείξτε ότι ο έγκυκλος του τετραγώνου διέρχεται από το μέσο $M$ του τμήματος $EC$.

Λογω έλλειψης χρονου βάζω μονο το 3ο θέμα που μου άρεσε ιδιαίτερα. Θα περιμένω λίγο και μετά θα βάλω μια ενδιαφέρουσα λύση που έχω σκεφτεί.

Έστω ένα θετικος ακέραιος $n \geq 2$ και $n \times n$ πίνακες $A, B$ με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς, έτσι...

Αύξων λόγος.png $\bigstar$ Σημείο $S$ κινείται επί του ύψους $AD$ τριγώνου $\displaystyle ABC$ , από το $D$ προς το $A$ .

Έστω ότι $DC=3BD$ . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{SB}{SC}$ αυξάνει συνεχώς και εντοπίστε

εκείνη τη θέση του $S$ , για την οποία...

Καλησπέρα, είδα πρόσφατα γραμμένο το εξής:
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)={x^{2}}$.Να βρεθεί η παράγωγος συνάρτηση.Η λύση ήταν η εξής:

$f(x)={x^{2}}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=x^{2}+c \\ c=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow...

Διέρχεται από το μέσο της χορδής.png
Δύο κύκλοι $(O), (K)$ τέμνονται στα σημεία $A, B.$ Από σημείο $P$ στην προέκταση του $BA$ φέρνουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα $PC, PD$ του κύκλου $(O).$ Αν οι $CA, AD$ τέμνουν τον κύκλο $(K)$ στα $E, F,$

να...