Πόσα ακέραια ζεύγοι αριθμών $x>y$ υπάρχουν ώστε $16/x^{2}+y^{2}$ και $x^{2}+y^{2}< 500$;

Ο φόβος της Β'.png Τα σημεία $M,N$ είναι τα μέσα των πλευρών $BC,CD$ του , μεταβλητής πλευράς $a$ ,

ορθογωνίου $ABCD$ . Τα τμήματα $AM$ και $AN$ σχηματίζουν τη γωνία $\theta$ .

α) Βρείτε τύπο ο οποίος να δίνει την $\tan\theta$ , συναρτήσει των...

Από την εορτάζουσα, λόγω Πολιούχου, Κέρκυρα, τις ευχές μου για Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες του :logo: .

Πολλές Ευχές στους: Σπύρο Καρδαμίτση , Σπύρο Καπελλίδη , Σπύρο Βασιλόπουλο (spyros) , Σπύρο Κούρτη , Σπύρο Παναγιωτόπουλο (spege) , Σπύρο...

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Q} , f(1)=1 , f(2)=2$

Να δείξω ότι f δεν είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$

Καλησπέρα!Θα ήθελα να κάνω την εξής ερώτηση.

Έχει νόημα το $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt {x^2+2x}=\sqrt {\lim_{x\to+\infty}(x^2+2x)}=\sqrt {+\infty}=+\infty$ ;

Εμβαδον ειδικού τραπεζίου.png
Στο παραπάνω σχήμα, το $ABCD$ είναι τραπέζιο με $AD||BC, AD=6$ και $BC=AC=5.$

Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου, αν $B\widehat CA=2B\widehat DA.$

Οξεία τετραπλευρίτις.png Στο τετράπλευρο $ABCD$ είναι $AB=8,BC=CD=3 ,DA=5$ και $\hat{B}=60^0$ . α) Δείξτε ότι είναι

εγγράψιμο και υπολογίστε την ακτίνα του περικύκλου του . β) Υπολογίστε τη ( οξεία ) γωνία των διαγωνίων του .

Να βρεθεί το πλήθος των εξαψήφιων των οποίων τα ψηφία είναι περιττοί αριθμοί και έχουν άθροισμα $50 $.

Επαφές κύκλων.png

Δίδεται σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AOB} $ . Σημείο $P$ κινείται στο εσωτερικό του $AB$. Γράφω νέο ημικύκλιο διαμέτρου $PB$.

Κύκλος κέντρου $M$ , εφάπτεται των δύο ημικυκλίων και της διαμέτρου $AB$. Έστω και η ευθεία...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και θετικοί αριθμοί $p,q$ τέτοιοι, ώστε

$\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1$.

Έστω $X$ σημείο του επιπέδου του τριγώνου, για το οποίο το άθροισμα $AX^p+BX^p+CX^p$ ελαχιστοποιείται και $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ σημεία των...

$2$ παιδιά αποφασίζουν να παίξουν ένα παιχνίδι. Αρχίζουν φτιάχνοντας ένα τετράγωνο $ABCD$ πλευράς μήκους $4$ που το χωρίζουν με παράλληλες προς τις πλευρές σε $16$ ίσα τετράγωνα(τα ονομάζουμε $\alpha α$). Τα 2 παιδιά διαλέγουν να αρχίσουν από μία...

Έστω $\displaystyle \alpha ,{\rm{ b}}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, μεγαλύτεροι του $\displaystyle 1$ και τέτοιοι ώστε $\displaystyle \alpha + {\rm{b = 10}}$.
Να λύσετε την εξίσωση:
$\displaystyle {\left( {{\alpha ^{\log x}} + b} \right)^{\log...

Έπειτα από διαφωνία..Να εξεταστεί αν η $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}lnx,x>0\\ 0,x=0\end{matrix}\right.

$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$.

Τετραπλευρίτις.png Στο τετράπλευρο του σχήματος είναι $AC=20$ . Ι) Δείξτε ότι η $AC$ διχοτομεί την $\widehat{BAD}$ .

ΙΙ) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $MN$ , το οποίο συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του .

Θεωρούμε τα ολοκληρώματα

$\displaystyle{ I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin x)^{n} dx}$

1)Δείξτε ότι $I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$

2)Χρησιμοποιώντας το 1) δείξτε ότι

$\displaystyle{I_{2n}=\frac{(2n-1)(2n-3)...1}{2n(2n-2)...2}\frac{\pi...

Κατάλληλος λόγος.png Η χορδή $BA$ σχηματίζει γωνία $30^0$ με τη διάμετρο $BOC$ ενός ημικυκλίου . Η εφαπτομένη

του ημικυκλίου στο $A$ , τέμνει την προέκταση της $BC$ στο σημείο $S$ . Με σημείο $T$ της $AB$

διαιρέστε τη χορδή αυτή , σε κατάλληλο...

GEOMETRIA219-FB2544b.png
Εστω $M$ το μέσον της πλευράς $BC$, προοδευτικού τριγώνου $ABC$, με $AB+AC=2BC$

Αν το σημείο $P$, ορίζεται όπως στο σχήμα και $s_{XYW}=XY+YW+WX$,

δείξτε ότι $\dfrac{s_{PBM}}{s_{ABC}}=\dfrac{4}{3}$

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2017

Θέματα της πρώτης φάσης για την 7η τάξη.

1. Στο σχήμα απεικονίζεται πίνακας συμπληρωμένος κατά «φιδοειδή» τρόπο: στην πρώτη γραμμή από αριστερά προς δεξιά είναι γραμμένοι κατά αύξουσα σειρά αριθμοί,...

Έστω $ (\mu_n)_n$ ακολουθία μέτρων πιθανότητας στον $\mathbb{R}^{d}$.
Η $(\mu_n)_n$ είναι tight (δε γνωρίζω την ελληνική ορολογία) αν για κάθε $\epsilon >0 $ υπάρχει $K_\epsilon $ συμπαγές $\subseteq \mathbb{R}^{d}$ τέτοιο ώστε $\sup \limits_n...

Έστω τρίγωνο $\mathrm{AB \Gamma}$. Να δειχθεί η ισότητα:

$\displaystyle{\sin \hat{\mathrm{A}} + \sin \hat{\mathrm{B}}+ \sin \hat{\Gamma}= 4 \cos \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}\cos \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2} \cos \frac{\hat{\Gamma}}{2}}$

Να δείξετε ότι το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν:

$\displaystyle \cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$

GEOMETRIA219-FB2556.png
Εστω $a', b', c'$ οι αποστάσεις, τυχαίου σημείου $P$ του περίκυκλου τριγώνου $ABC$ (εξαιρουμένων των κορυφών του $A, B, C$),

από τις αντίστοιχες πλευρές του $a, b, c$.

Δείξτε ότι :...

Ασύμμετρος λόγος_ Θεαίτητος.pdf

Πείραμα με ρόμβο.png Τα σημεία $M,N,L$ , είναι τα μέσα των πλευρών $AB,BC,CD$ αντίστοιχα , του ρόμβου $\displaystyle ABCD$ .

Ονομάζουμε $S$ την τομή των $AN,CM$ και $T$ την τομή των $AM,LM$ .

Α) Δείξτε ότι : $SM=2ST$ ( σίγουρο και απλό ) .

Β) (...

Δίνεται συγκλίνουσα σειρά $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_n$ με θετικούς όρους. Να δειχθεί ότι η $(x_n)$ έχει υπακολουθία $(x_{n_k})$ ώστε το $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} x_{n_k}$ να είναι άρρητος.