1.png

Ζητείται το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Η ώρα της καπατσοσύνης.png Στο διαστάσεων $5\times 3$ ορθογώνιο $ABCD$ καλείσθε να περιγράψετε , ορθογώνιο
$PQST$ διπλασίου εμβαδού . Αντιλαμβάνεστε ότι ψάχνουμε την πιο καπάτσα λύση :ewpu:

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο.png
Το ύψος $AD$ τριγώνου $ABC(AB>AC)$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $(O)$ στο $P.$ Έστω $OQ$

η ακτίνα του κύκλου που είναι κάθετη στην $OA$ ($Q$ σημείο του τόξου $\overset\frown{BC}$ στο οποίο δεν ανήκει το...

Γωνία λόγω συμμετρίας.png Στο ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ το $N$ είναι το μέσο της πλευράς $AC$ . Σημείο $S$

κινείται επί του μικρού τόξου $\overset{\frown}{AB}$ , του περικύκλου του τριγώνου . Ονομάζω $T$

το συμμετρικό του $S$ ως προς...

Έστω το πολυώνυμο Chebyshev n-οστού βαθμού :

$ T_{n} (x)=\cos(n\arccos(x))$

Nα κατασκευαστεί πολυώνυμο τέτοιο ώστε:

$\mid y- P (x) \mid$

να είναι ελάχιστο, χρησιμοποιώντας τα τρία πρώτα πολυώνυμα Chebyshev για τα κάτωθι δεδομένα:...

tanx..png
Δίνεται ρόμβος $ABCD$ με $\widehat A=60^\circ$ και $M$ το μέσο της πλευράς $AD.$ Αν $N$ είναι σημείο της $AD$

ώστε $DN=2NA$ και οι $BN, CM$ τέμνονται στο $P$ με $B\widehat PC=x,$ να υπολογίσετε την $\tan x.$

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και έστω $K$ το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με την πλευρά $BC$. Εξετάζουμε δυο κύλους, που εφάπτονται της ευθείας $BC$, της ημιευθείας $AK$ και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ (βλέπε σχήμα). Να...

Το μέγιστο και η διαφορά.png Η διχοτόμος $AD$ του τριγώνου $\displaystyle ABC$ χωρίζει τη βάση σε τμήματα : $BD=4,DC=9$ .

Αν το τρίγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν , υπολογίστε : α) την $\tan C$ , β) τη διαφορά $\hat{B}-\hat{C}$

Δίνεται τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω Μ το μέσο της υποτείνουσας ΒΓ. Παίρνουμε τυχαία σημεία Δ, Ε πάνω στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα, έτσι ώστε $\Delta \widehat{\rm M}{\rm E} = {90^ \circ }$. Από το σημείο Β φέρνουμε τμήμα ΒΟ παράλληλο και...

Μ ένα σμπάρο δυο τρυγόνια.png

Θεωρούμε ημιευθεία $Ox$ και ευθύγραμμο τμήμα $OA = 6$ έτσι ώστε : $\widehat {xOA} = 53^\circ $.

Να βρείτε σημείο $S$ στην $Ox$ και σημείο $T$ στο $AB$ τέτοια ώστε :

$TS = AB = 6$ και $\widehat {AST} = 32^\circ $.

Παραθέτω σύνδεσμο σε άρθρο του New Scientist, σύμφωνα με το οποίο ο διάσημος μαθηματικός Michael Atiyah ισχυρίζεται ότι έλυσε το γνωστό υπεραιωνόβιο πρόβλημα.

Εστω $0\leq a< b$

Να δειχθεί ότι

$\displaystyle\left | \int_{a}^{b}\frac{\sin x}{x}dx \right |\leq min(3,\frac{2}{a})$

Εστω $0< a\leq \pi$

Η $f: \rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής συνάρτηση ώστε

$\int_{0}^{a}f(x)\sin xdx=0=\int_{0}^{a}f(x)\cos xdx$

Να δειχθεί ότι η εξίσωση $f(x)=0$

έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο $(0,a)$

χ99.png Στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$ με $\widehat A = {102^ \circ }$, παίρνουμε σημείο $D$ τέτοιο ώστε: $D\widehat BA = 2D\widehat CA = {18^ \circ }$ και $BD = BA$. Βρείτε τη γωνία $x = D\widehat CB$.

LXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2016. Θέματα της 6ης τάξης.

Πρόβλημα 1. Ο μικρός Κώστας έχει πέντε κάρτες με τα ψηφία $1, 2, 3, 4$ και $5$. Βοηθήστε τον να σχηματίσει με αυτές τις κάρτες δυο αριθμούς, τριψήφιο και διψήφιο έτσι, ώστε ο πρώτος...

3ο Μάθημα

Ενδεικτικά θέματα Β’ τάξης Γυμνασίου:
- Εκφωνήσεις των θεμάτων
- Σύντομες υποδείξεις

Ενδεικτικά θέματα Γ’ τάξης Γυμνασίου:
- Εκφωνήσεις των θεμάτων
- Σύντομες υποδείξεις

Ακεραιότητα.png Στις μήκους $12$ πλευρές του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρήστε σημεία $S ,P, T$ ώστε οι $CP,CT$

να είναι άνισοι ακέραιοι αλλά οι πλευρές $SP,ST$ του τριγώνου $SPT$ , να είναι ίσοι ακέραιοι .

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει η σχέση

$f^{2}\left ( x \right )\leqslant f\left ( x \right )\cdot f\left ( 1-x \right )$, για κάθε $x \epsilon \mathbb{R}$.

Να εξετάσετε αν αντιστρέφεται.

Καλημέρα σε όλους. Προσωπική σύνθεση με βάση δύο θέματα :
Ένα παλαιό του Θανάση (KARKAR) κι' ένα ..παλαιότερο του Μιχάλη Νάννου !
Ακέραιο Εμβαδόν.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ με $BC= 4 cm $ και το σημείο $E$ της πλευράς $AB$ ώστε...

Διπλάσιο τμήμα.png Στο παραλληλόγραμμο $ABCD$ , το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $DC$ .

Ο κύκλος $(C,CB)$ τέμνει τη διαγώνιο $BD$ στο $S$ . Δείξτε ότι : $AS=2SM$ .

Θεωρήστε μια συνάρτηση $f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)$.
Δείξτε οτι η f, περιορισμένη σε κάθε ευθεία η οποία περνά απο το (0,0), έχει τοπικό ελάχιστο στο (0,0).
Δείξτε επίσης οτι το σημείο (0,0) είναι κρίσιμο σημείο της f και οτι δεν είναι τοπικό ελάχιστο...

1.png

Στο παραπάνω σχήμα το $O$ είναι κέντρο του ημικύκλιου, το $MNPO$ τετράγωνο και

το $B$ κέντρο του τεταρτοκύκλιου. Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{x}{y}$.

Καλησπέρα. Οι άρτιες συναρτήσεις δεν είναι $1-1$. Για τις περιττές συναρτήσεις τι ισχύει;

Έστω $\zeta$ μία ρίζα της μονάδος. Αποδείξατε ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{\zeta} = \sum_{n=0}^{\infty} \zeta^n \left ( 1-\zeta \right ) \left ( 1-\zeta^2 \right ) \cdots \left ( 1- \zeta^n \right )}$

με τη προϋπόθεση ότι ο $0$ - ος όρος είναι...