Για ποια $n\in \mathbb N$ ο αριθμός $\displaystyle{2^n+2^{11}+2^8}$ είναι τέλειο τετράγωνο;

(Νομίζω κάνει για Επίπεδο Ευκλείδη).

Να βρείτε για ποιές τιμές της παραμέτρου $a$ μια από τις ρίζες της εξίσωσης

$(a^2+a+1)x^2 + (2a-1)x+a^2 = 0$

είναι μεγαλύτερη του $2$ και η άλλη μικρότερη του $2$.

Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors

Πρόβλημα 1
Αν οι $x,y,z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα $3$ να αποδείξετε την ανισότητα:...

Δίνονται δύο κύκλοι ${c_1},\;{c_2}$ με διάκεντρο μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτινών τους (αυτό απλά το δίνουμε για να έχουμε ανοικτότερο σχήμα) και δύο σημεία $A,\;B$ των ${c_1},\;{c_2}$ αντίστοιχα. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων $M$ του...

Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2012

1. Σε σκακιέρα $12 \times 12$ είναι τοποθετημένοι μερικοί ίπποι, εξάλλου σε κάθε τετράγωνο $2 \times 2$ είναι τοποθετημένος τουλάχιστον ένας...

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sqrt{n}}{(-1)^n+\sqrt{n}}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)$

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού $\alpha$, να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\bigg(\mathop{\prod}\limits_{\kappa=2}^{n}\big(2-{\rm{e}}^{\frac{\alpha}{\kappa}}\big)\bigg)$

Δια τρία.png Σε κύκλο $(O)$ σχεδιάσαμε τις εφαπτόμενες στα άκρα χορδής $AB$ . Το ζητούμενο είναι

να αχθεί ευθεία παράλληλη προς την $AB$ ( πέραν του κέντρου ) , η οποία να τέμνει

τις εφαπτόμενες στα $P,T$ και τον κύκλο στα $S,Q$ , ώστε...

Εστω $f: \rightarrow \mathbb{R}$

παραγωγίσημη ώστε υπάρχει $M > 0$

με $\left | f'(x) \right |\leq M,x\in $

1)Να δειχθεί ότι η $f'$ είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.

2)Για $x\in $ είναι

$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}f'(t)dt$

(εννοείτε ότι τα ολοκληρώματα...

Για $0\leq x\leq \frac{1}{4}$

Να δειχθεί ότι

$\ln (2-e^{x})+x+4x^{2}\geq 0$

Χρειάζεται στο

GEOMETRIA196=FB1781.png
Εστω $H$ το ορθόκεντρο τριγώνου $ABC$, $D$ το μέσον του ελλάσονος τόξου $BC$ του περίκυκλου $BHC$ και $F$ το μέσον του $AD$.

Δείξτε οτι το $F$ είναι το σημείο $Feuerbach$ του $ABC$, τότε και μόνο τότε αν, $AB+AC=2BC$

Μέγιστο συνημίτονο.png Από σημείο $S$ που κινείται επί ημικυκλίου , φέρουμε το κάθετο προς τη διάμετρο $AB$ ,

τμήμα $ST$ και ονομάζω $M$ το μέσο του . Η $BM$ τέμνει την $AS$ στο σημείο $P$ .

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του $\cos\theta$ .

Να βρεθούν όλα τα μη σταθερά πολυώνυμα $P(x), Q(x)$ με πραγματικούς συντελεστές που είναι τέτοια ώστε

$\displaystyle{P(x)^{10}+P(x)^9=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}}$

Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης; Η άσκηση είναι :
Δίνονται οι κύκλοι $(x-2\lambda) ^2+(y-3\lambda) ^{2}=1$
, όπου $\lambda \epsilon R$.
Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος εφάπτεται σε δύο σταθερές ευθείες των οποίων να...

Έστω η συνάρτηση $\mathrm{f:\left \longrightarrow \mathbb{R}}$ για την οποία δίνεται ο τύπος της:

$\displaystyle{\mathrm{f(x)=}\left\{\begin{matrix}
\mathrm{1,} &\mathrm{x=0} \\
\displaystyle \mathrm{\frac{1}{2},} &\mathrm{x=1} \\
\displaystyle...

Έστω $f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με $f(x)>0$, για κάθε $x\in (0,+\infty)$. Υποθέτουμε ότι η $f '$ είναι φθίνουσα και ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=a>0$.

Να δείξετε ότι η σειρά...

Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Α, τότε η παράγωγός της σε αυτό το διάστημα είναι συνεχής. Σωστά;

Δεν μπορώ να βρω που είχα αναρτήσει κάποτε μια εργασία με τίτλο '' Η ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ''.

Την αναρτώ λοιπόν ξανά, για όσους τη χρειαστούνε, σε κάπως πιο εμπλουτισμένη μορφή σε σχέση με αυτήν που έχει αναρτηθεί από το Νίκο Μαυρογιάννη στο περιοδικό...

ορθοτραπέζιο.png Στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από τα $A , B, C$

τέμνει την πλευρά $CD$ στο σημείο $S$ . Θέλουμε να προκύψει : $\widehat{DAS}=\widehat{CBS}$ .

Μπορείτε να κατασκευάσετε ένα τέτοιο τραπέζιο ;

Ορθέας Περίδης.png Σε τρίγωνο με $AB=5 , AC=8 , BC=7 $, βρείτε την απόσταση ορθοκέντρου - περικέντρου .

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία γνωρίζουμε ότι

$f(x)+f(y)=f(\frac{x+y}{1-xy})$ για κάθε $x,y $ πραγματικούς με $xy\neq 1$ (1)

$lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=2$ (2

α) Να δείξετε ότι η $f$ είναι περιττή
β) Να δείξετε ότι η...

Καλησπέρα :logo: .

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix}(x^{2})^{x},x\neq 0
& \\ 1,x=0
&
\end{matrix}\right.$

α) Να μελετηθεί η $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
β) i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης...

Η συνάρτηση $f(x)=\cos \left | x \right |$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$.

Από το μέσο της διαγωνίου.png
Το $ABCD$ είναι ισοσκελές τραπέζιο με $AB=7, CD=25, AD=BC=15$ και $E$ είναι ένα σημείο του $AD$ ώστε

$ED=2AE.$ O περιγεγραμμένος κύκλος του $ABE$ τέμνει την $DC$ σε δύο σημεία και ονομάζω $H$ το πλησιέστερο στο $D.$...

1.png
Καλησπέρα .

Στο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παρακάτω σχήματος είναι $A\Gamma =B\Delta$ .
Υπολογίστε τη γωνία $\theta$ .