Ισεμβαδικότητα.png Σε σημείο $S$ ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την

προέκταση της $AB$ στο σημείο $T$ . Το $A'$ είναι η προβολή του $A$ στην εφαπτομένη .

Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία προκύπτει :...

105.png

Καλησπέρα .

Τα χρωματιστά τρίγωνα του σχήματος, είναι ισόπλευρα.
Αν $N\equiv AD\cap EC$, να δείξετε ότι τα σημεία $B, D, N, E$ είναι ομοκυκλικά.

Χαιρετώ. Αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος το ωραίο θέμα τούτο
10-8 Ισότητα λόγων.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει ορθόκεντρο το $H$ , ενώ το $F$ είναι σημείο της πλευράς $BC$.

Θεωρούμε ευθεία κάθετη στην $AF$ που τέμνει την $HB$ στο $K$ , την...

Ποιός αριθμός έχει γινόμενο διαιρετών (συμπεριλαμβανομένου τοyυ $1$ και του εαυτού του) ίσο με $10^{450}$;

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας.)

Να βρεθεί το μικρότερο πολλαπλάσιο του $13$ το οποίο έχει ακριβώς $35$ διαιρέτες.

(Παρακαλώ να μην σπεύσει κανείς να γράψει υπόδειξη όπως εδώ ή πλήρη απάντηση κατά παράβαση του κανονισμού όπως εδώ . Είμαστε δάσκαλοι και αυτό που μας ενδιαφέρει...

Τι μπορεί να είναι αυτό που φαίνεται στην εικόνα... :?:
Δεκτή κάθε προσπάθεια... :P

Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ορθογώνιο με $\displaystyle{\hat A = 90^\circ }$ και $\displaystyle{\hat B = 30^\circ }$.

Κατασκευάζουμε το τετράγωνο $\displaystyle{BCDE}$ και έστω $\displaystyle{Z}$ το κέντρο του.

Να...

Η άσκηση αυτή (περίπου) , ήταν θέμα για τους υποψήφιους Μαθηματικούς Θεσσαλονίκης του 1958 ... Δεν ήταν όλα δύσκολα !

Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $AB$ , τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Γράφω τον περίκυκλο του $MBC$ ,

και φέρω την εφαπτομένη του ,...

Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός $N$ τέτοιος ώστε ο $1,316N$ είναι φυσικός;

(Κάνει για Γυμνάσιο)

Έστω τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ με $\angle A=60^{0}$ και οι διχοτόμοι του $AD,BE$. Αν $AD+BD=AE+BE,$να υπολογίσετε τη γωνία $\angle ACB.$

Παραλληλία από μεσοκάθετες.png
Έστω $D,E$ σημεία των πλευρών $AB,AC$ αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ ώστε: $AD=AE$. Αν $P,Q$ είναι τα σημεία τομής των μεσοκαθέτων των $BD,CE$ με τα τόξα $AB,AC$ του περίκυκλου $\left( O \right)$ του τριγώνου...

Λόγος εμβαδών - λόγος τετραγώνων.png
Δύο κύκλοι $\displaystyle{
\left( O \right),\left( K \right)
}$ τέμνονται στα σημεία $\displaystyle{
A,B
}$ . Η εφαπτόμενη στο σημείο $\displaystyle{
A
}$ στον κύκλο $\displaystyle{
\left( O \right)
}$ τέμνει...

Διαφορά και λόγος εμβαδών.png
Με διάμετρο την πλευρά $BC=a$ τετραγώνου $ABCD$ γράφω ημικύκλιο εκτός του τετραγώνου και θεωρώ σημείο του $E$ ώστε

$E\widehat CB=30^\circ.$ Αν η $DE$ τέμνει την $BC$ στο $F,$ να υπολογίσετε την διαφορά $(BDF)-(CEF)$...

Να βρεθεί χωρίς χρήση παραγώγων το μέγιστο της $\displaystyle{ \dfrac {x^4-x^2}{x^6+2x^3-1} ,\,\,\, x\ge 1}$.

Ο παρακάτω κώδικας είναι κομμάτι της άσκησης $1.32$ και παράγει τα κουτάκια του Σ - Λ. Όπως βλέπετε στο παραγόμενο αρχείο τα κουτάκια εξέχουν των περιθωρίων. Υπάρχει κάποιος τρόπος να διορθωθεί;

\documentclass {memoir}
\usepackage{amsmath}...

Ένα μεγάλο ΕΥΓΕ στους μαθητές μας για την διάκρισή τους στην πρόσφατη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Βλέπε εδώ από όπου αντιγράφω.

...................................... Total Rank Award
..................................... Abs. Rel.
Prodromos...

Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η γωνία $\pi ^2$ ακτίνια;

Ομοίως αλλά για γωνία $45$ ακτίνια.

(Κάνει για όσους έχουν ακούσει τι θα πει ακτίνιο. Δεν θυμάμαι σε ποια τάξη το πρωτοακούν οι μαθητές μας.
Ως άσκηση είναι πολύ απλή αλλά την τοποθετώ για...

Να υπολογιστεί η τιμή της ρίζας $\sqrt{12345678987654321}$.

findx.png Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη γωνία $x$. Υπάρχουν λύσεις και για μικρότερο φάκελο!

Τριπλότοπος.png Η κορυφή $A$ του τριγώνου $ABC$ κινείται στην ευθεία $y=6$ , ενώ οι $B , C$ στην : $y=0$ .

Θεωρούμε σημεία $D , E$ των $AB , AC$ αντίστοιχα , ώστε : $BD=\dfrac{AB}{4}$ και $CE=\dfrac{AC}{3}$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου...

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle \sqrt{\frac{2^{43} + 4^{21} + 8^{13}}{4^{19} + 2^{35}}}$.

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ με περίκεντρο $O$. Θεωρούμε ευθεία που διέρχεται από το $A$ και τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου $BOC$ στα σημεία $D,E$ (το $D$ στο εσωτερικό του $ABC$), έτσι ώστε $\angle DCB=15^{0}.$
Αν $M,N$ τα μέσα των $CD,CE$...

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του $\triangle{ABC}$ εφάπτεται των πλευρών $BC$, $CA$, $AB$ στα σημεία $D$, $E$, $F$, αντίστοιχα.
Θεωρούμε σημείο $P$ στην ευθεία $EF$ τέτοιο ώστε $AP \parallel BC$, και η $AD$ τέμνει για δεύτερη φορά τον εγγεγραμμένο
κύκλο...

Καλή Κυριακή σε όλους.
Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG
Στο σχήμα είναι $\widehat{AOB}=90^{0}$ και $3OB=2OA$ . Το $E \in AB$ ώστε $3\left ( BOE \right )= 10\left ( AOE \right )$.

Να βρεθεί η $\widehat{OEB}$ . Ευχαριστώ Γιώργος.

Δεκτές όλες οι λύσεις...

33.png

Καλησπέρα .

Στο παραπάνω σχήμα το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο, ενώ τα τρίγωνα $AED, CFD$ ισόπλευρα.
Αν $Q\equiv AE\cap FC$ και $PQ=8\sqrt{3}$, να βρείτε το μήκος του τμήματος $x=DL$.