Χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα αυτής της άσκησης (ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο) αποδείξτε την παρακάτω πρόταση:

Αν $D, E, Z$ είναι οι προβολές του σημείου Lemoine $L$ τριγώνου $ABC$ στις πλευρές του, τότε το $L$ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου...

Μονοκοντυλιά.png Οι παλιότεροι ίσως την θυμούνται : Σχεδιάστε μονοκοντυλιά αποτελούμενη από

τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα , η οποία να διέρχεται και από τα εννιά σημεία .

Αν την ξέρετε , αφήστε τη να την χαρούν οι άλλοι ...

Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα γεωμετρία. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.

23. Έστω $P$ σημείο...

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές με ύψος $\displaystyle BD$ και $\displaystyle AC = BD = 2$
Ποια θέση του $\displaystyle H$ ελαχιστοποιεί το γαλάζιο εμβαδόν ;

Καλησπέρα! Παρακάτω παραθέτω μια άσκηση που μου κίνησε το ενδιαφέρον. Είναι από ασκήσεις προετοιμασίας για Seemous συγκεκριμένα το έτος 2014. Αν έχει ξανασυζητηθεί, παρακαλώ τους συντονιστές να διαγράψουν την παρούσα ανάρτηση.

Να βρεθούν όλες οι...

Έστω $r \in \mathbb{R}$. Υπολογίσατε

$\displaystyle{\prod_{n= -\infty}^{\infty} \left(1+\frac{\sin ir}{\cosh n}\right)}$

Αν $a+a^2+a^3+a^4+5a^5=b+b^2+b^3+b^4+b^5+b^6+5b^7=4,$

να συγκρίνετε τους πραγματικούς αριθμούς $a,b.$

24 ώρες για μαθητές.

Μια θλιβερή είδηση :

Έφυγε από τη ζωή ο Μαθηματικός Βένιος Αγγελόπουλος

Στη μνήμη του καθηγητή Βένιου Αγγελόπουλου, δείτε εδώ το Εγκώμιον Γεωμετρίας , ομιλία του Βένιου Αγγελόπουλου σε Συνέδριο της ΕΜΕ

Ένα θέμα γεωμετρίας που μπήκε φέτος στις εξετάσεις για το Πανεπιστήμιο στην Βρετανία παίδεψε τους μαθητές όπως μας πληροφορεί η τοπική εφημερίδα του Μάντσεστερ.

Η εκφώνηση

Έστω $a>0$. Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_{n+a}}{n(n+a)}=\frac{1}{a} \left ((\mathcal{H}_{a})^2+\mathcal{H}^{(2)}_{a} \right )}$ όπου $\mathcal{H}_m$ είναι ο $m$-ιοστός αρμονικός όρος.

Από την εορτάζουσα, Κέρκυρα , λόγω της επετείου της ένωσης των Επτανήσων με την Ελλάδα , εύχομαι Χρόνια Πολλά στις εορτάζουσες και εορτάζοντες
του :logo: .

Στέλνω τις ευχές μου στους φίλους: Κώστα Ζυγούρη, Κωσταντίνο Βήττα, Κώστα Δόρτσιο, Κώστα...

Θέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.

1. Οι γωνίες $\alpha $ και $\beta$ ικανοποιούν τις εξισώσεις

$\sin (2\alpha +2\beta)= -\dfrac{1}{\sqrt{5}} , \quad \sin (2\alpha...

Απίθανη συνευθειακότητα.png Η σταθερή βάση $BC$ του τριγώνου $ABC$ φαίνεται από την κινητή κορυφή $A$ , υπό γωνία

$\hat{A}=60^{\circ}$ . Η διχοτόμος της $\hat{B}$ , τέμνει τον κύκλο στο σημείο $M$ . Φέρω και το ύψος $BD$ .

Να δειχθεί ότι το τμήμα...

Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{\substack{n =1 \\ n \neq m}}^{\infty} \frac{1}{m^2-n^2}}$.

91.png

Το τετράπλευρο $ABCD$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο και το $T$ σημείο επαφής.
Να βρεθεί η εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ .

Επίσης να απαντηθούν τα ερωτήματα:
$1)$Γιατί λέμε Ηνωμένο Βασίλειο και όχι Ενωμένο Βασίλειο.
$2)$Γιατί λέμε...

Όσο πιο μακριά γίνεται.png Σημείο $S$ κινείται στην πλευρά $AB$ , του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ . Η μεσοκάθετος

του $CS$ , τέμνει την $BC$ στο $T$ . Για ποια θέση του $S$ , μεγιστοποιείται το τμήμα $BT$ ;

Αριθμητική πρόοδος.png Στον κύκλο $(O , 5)$ να σχεδιαστεί χορδή $AB=9$ , της οποίας η απόσταση $NS$

από τον βόρειο πόλο $N$του κύκλου , να ισούται με $7$ .

Θέλω να σας καταθέσω κάποια μαθηματικά μου ερωτήματα σχετικά με τις εξισώσεις στα οποία θα επιθυμούσα να μου δώσετε τις προσωπικές σας απαντήσεις. Θα με βοηθούσε πολύ η κατάθεση των όποιων σκέψεων σας στο να χαράξω τα επόμενα βήματα στη μαθηματική...

Εμβαδόν τριγώνου.png $\bigstar$ Από την αρχή των αξόνων φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα $OA$ και $OB$ , προς τον κύκλο με εξίσωση :

$(x-7)^2+(y-1)^2=5$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $OAB$ . Σκεφθείτε και άλλον τρόπο !

Καλημέρα, απ' ότι είχα δει είχε συζητηθεί και παλαιότερα, αλλά θέτω το ερώτημα ξανά για να καταλάβω τι ακριβώς γίνεται.
Αν έχουμε την συναρτησιακη $ e^{2f(x)} - 2xe^{f(x)}-1 =0 $ και για την $f$ ισχύει $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(0)=0$...

Ένα σημείο $D$ βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$. Αν τα τρίγωνα $ABD, \, BCD,\, CAD$ έχουν ίσα εμβαδά, τότε το $D$ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου $ABC$.

Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για να παιδιά μας.

Εντός και τα αυτά μήκη.png $\bigstar$ Στο επίπεδο του - διαστάσεων $a \times b , ( a>b )$ - ορθογωνίου $ABCD$ , εντοπίστε σημείο $S$ ,

το οποίο να ισαπέχει από τις κορυφές του $C , D$ και την πλευρά του $AB$ . Για ποια σχέση των $a, b$

το σημείο...

Βρείτε τον επόμενο όρο της ακολουθίας : $1 , 3 , 3 , 12 , 20 , ....$

Εμβαδόν τετραπλεύρου 1.png
Σε τετράπλευρο $ABCD$ με $AD=BC=2a,$ οι ευθείες $DA, CB$ τέμνονται κάθετα, ενώ οι κύκλοι με διαμέτρους

$AD, BC$ εφάπτονται εξωτερικά. Aν $\displaystyle \frac{{AB}}{{CD}} = k,$ να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου...