Ώρα εφαπτομένης 100 (και ημιτόνου 23).png Το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Οι διάμεσοί του $BM , CN$ ,

τέμνονται στο $G$ . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{BGC}$ . Αν οι διχοτόμοι των $\hat{B} , \hat{C} $

τέμνουν τις διαμέσους $CN...

Έστω ένας πίνακας $A$ με ακέραια στοιχεία και έστω $\lambda \in (0,1)$ μια ιδιοτιμή του $A$ με ιδιοδιάνυσμα $\mathbf{v}$. Δείξτε ότι τουλάχιστον ένα στοιχείο του $\mathbf{v}$ είναι άρρητο.

Χαιρετώ .
15-4 Λόγου ακεραιότητα.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=90^o$ και $tanB=3$.

Αν $AZ=AB=2BN$ και $ZE \perp BC$ τότε: Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEN \right )}$

Λέτε το παρόν , να δεχθεί.. :)...

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε $f(0)=0$ και παραγωγίσιμη στο $0$. Θέτουμε

$\displaystyle a_n =\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{k}{n^2} \right)$

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim \limits_{n...

Έστω $a \notin \mathbb{Z}$ και $a \neq \frac{1}{2}$. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{\Gamma \left ( a + n \right ) \Gamma \left ( a - n \right )} = \frac{2^{2a-2}}{\Gamma \left ( 2a - 1 \right )} + \frac{1}{\Gamma^2...

Ν.Δ.Ο. $e^{2}< 8$

Με αφορμή την συζήτηση εδώ ... προτείνω:

(Ι) Να δειχθεί ότι $e<\dfrac{87}{32}.$

(II) Να βρεθούν ακόμη καλύτερα ρητά άνω φράγματα του $e$.

Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις.png
$BD$ είναι η διχοτόμος οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ και $E$ η προβολή του $D$ στην $AB.$ Αν $AE=2, BE=4,$ να

βρείτε την μικρότερη ακέραιη τιμή της πλευράς $BC=a$ που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος. Για...

Από σήμερα ξεκινάει η EGMO 2021 με διοργανώτρια χώρα την Γεωργία. Όπως ανέφερα πρόσφατα η Ελλάδα είναι η μοναδική χώρα που δεν έστειλε εθνική ομάδα παρά τις φιλότιμες προσπάθειες της Ε.Μ.Ε. Θα ήθελα να ευχηθώ ολόψυχα καλή επιτυχία στις μαθήτριες της...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x)+2xy^2+y^2 f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021.
2η μέρα: Θέματα της 4ης φάσης (τελικής) για την 11η τάξη.

1. Δίνεται ένα άπειρο τετραγωνισμένο επίπεδο. Η δασκάλα και η τάξη που αποτελείται από $30$ μαθητές παίζουν ένα παιχνίδι. Κάνουν κινήσεις με...

καλησπέρα. όταν έχουμε τη δύναμη
(5χ εισ την τριτη) εισ την δευτερη.
ποια ειναι η λυση της 25χ εισ την εκτη ή 5χ εις την εκτη. ευχαριστω

Παρουσιάζω ένα πρόβλημα της Διαφορικής Γεωμετρίας στο οποίο χρειάζομαι μια βοήθεια.

Πρόβλημα : Ποιες καμπύλες που βρίσκονται σε μια σφαίρα έχουν σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα ;

Δηλαδή ζητάμε καμπύλες $\displaystyle{\gamma : I \subseteq...

Μέγιστο γινόμενο.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , είναι $AB=8 , AC=6$ . Ευθεία κάθετη στην $AB$ , τέμνει την $AM$ στο $S$ ,

την διάμεσο $CM$ στο $P$ και την $CB$ στο $T$ . Υπολογίστε το $(SP\cdot PT)_{max}$ . Αναζητούνται πολλοί τρόποι !

Καλημέρα σε όλους!
17-4 Διχοτόμος ορθής.png

Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{B}=30^o$ και $\widehat{C}=60^o$. Το $E \in BC$ ώστε $AC+CE=AB$.

Να δείξετε ότι η $AE$ είναι διχοτόμος του τριγώνου.

$48$ ώρες για μαθητές . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(f(x)+y)+f(x+y)=2x+2f(y)}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Έχω ένα θέμα στην ελαχιστοποίηση μιας ποσότητας στο παρακάτω πρόβλημα της απόστασης σημείου από υπόχωρο.

Το πρόβλημα είναι το εξής: Έστω $V$ να είναι ο διανυσματικός χώρος όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές με το μήκος των διανυσμάτων...

Έλαβα την παρακάτω ανακοίνωση/πρόσκληση για σειρά Εσπερίδων με τίτλο Διάλογοι στα Μαθηματικά .

Η πρώτη είναι την επόμενη Κυριακή 18 Απριλίου, στις 20:00, με ομιλητές τον Μιχάλη Κολουτζάκη (Πανεπιστήμιο Κρήτης)
και τον Γιάννη Κοντογιάννη...

Έστω $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε $g(x)\geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , $g(x)=0$ αν $|x| \geq 1$ και $\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty g(t) \,\mathrm{d}t=1}$. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $f:\mathbb{R}...

Έστω $a \in (-1 , 1)$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\ln \left ( 1-2a\cos x + a^2 \right )}{1-2a \cos x+ a^2} \, \mathrm{d}x = \frac{2\pi \ln \left ( 1- a^2 \right )}{1-a^2}$

XXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
ΧΧΧΙΙ Μαθηματική Γιορτή
18 Απριλίου 2021 $\bullet$ 6η τάξη

Πρόβλημα 1. α) Γράψτε στα τετράγωνα τέσσερα διαφορετικά ψηφία, ώστε το γινόμενο των κλασμάτων να είναι ίσο με $\dfrac{20}{21}$.

$\dfrac{\square...

Σε έναν κύκλο φέρουμε τις κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ.
Το μέρος του κυκλικού δίσκου που ορίζεται από τις κάθετες χορδές και το έλασσον τόξο ΑΓ έχει εμβαδόν 4 τ.μ.
Το μέρος του κυκλικού δίσκου που ορίζεται από τις κάθετες χορδές και το έλασσον τόξο ΑΔ...

Ισότητα εξ επαφής.png Η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ ενός τριγώνου $ABC$ , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο $S$ .

Η παράλληλη από το $S $ προς την $CA$ , τέμνει την $BC$ στο σημείο $T$ και τον κύκλο στο σημείο $P$ .

Η εφαπτομένη του...

Δεν θα πίστευε κάποιος ότι τα δύο συνημμένα έχουν κάποια σχέση μεταξύ τους, αλλά έχουν: αυτό με τα 21 'συμμετρικώς τοποθετημένα' στερεά παραπέμπει στους 21 όρους του πρόσφατου άρθρου Μαθηματικός καταρρίπτει Εικασία Αλγέβρας ηλικίας 80 ετών της Erica...

Καλημέρα, θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε γιατί το παρακάτω όριο κάνει 0 ;
$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\tau \to - \infty } \left( {{e^{\alpha \tau }} \cdot {e^{ - j\omega \tau }}} \right) = 0,\,\alpha > 0,\omega > 0$
Είναι στον...