Ομοκυκλικά σημεία .png

Θεωρήστε ένα εγγεγραμμένο τρίγωνο $ABC$ σε κύκλο $(O)$. Έστω $D$ το μέσο του

τόξου $BC$ που δεν περιέχει το σημείο $A$. Η ευθεία $AB$ τέμνει την ευθεία $CD$ στο

σημείο $E$ και η ευθεία $AC$ τέμνει την ευθεία $BD$ στο...

Ο Alexander Grothendieck (1928-2014) ήταν κορυφαίος Μαθηματικός (με Fields Μedal), ιδιοφυής, πρωτοπόρος, πολυγραφότατος, μέλος της ομάδας Bourbaki, εκκεντρικός σε υπερθετικό βαθμό, ερημίτης για μεγάλο τμήμα της ζωής του εγκαταλείποντας την...

Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $ $. Αν για οποιαδήποτε συνάρτηση $g$ στο $ $ με $g(\alpha) = g(\beta) =0$ είναι $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x = 0 $, να δειχθεί ότι $f(x)=0$ για κάθε $x \in $.

Σταθερό εμβαδόν .png

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα $PQ$ του οποίου τα άκρα κινούνται στην παραβολή $y = {x^2}$

ώστε το εμβαδόν του σχήματος που περιβάλλεται από το $PQ$ και την παραβολή είναι

πάντα ίσο με $\displaystyle\frac{4}{3}$. Βρείτε τον...

Όταν η Άννα ήταν $2$ χρονών, η Βάσω ήταν $5$. 'Οταν η Άννα ήταν $6$ χρονών, ο Γιάννης ήταν $12$. Πόσο χρονών ήταν η Βάσω όταν ο Γιάννης ήταν $14$ χρονών;

(Απευθύνομαο σε μαθητές των μικρών τάξεων του Δημοτικού, για να τους κινήσω το ενδιαφέρον για...

Ο λόγος του λόγου.png Σε κύκλο $(O)$ με κέντρο στην αρχή των αξόνων , θεωρούμε σημεία $A , B $ του πρώτου και τέταρτου

τεταρτημορίου αντίστοιχα , ώστε : $\widehat{AOB}=60^0$ . Ονομάζουμε $A' , B'$ , τις προβολές των $A , B$

στον ημιάξονα $Ox$ ....

Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^4+4x^2+1}{x^4+x^2+1}$

Χορδή και εφαπτομένη.png Στο παρατιθέμενο σχήμα υπολογίστε την χορδή $AT$ και την : $\tan\theta$

Τεμνόμενοι κύκλοι.png

Δύο κύκλοι ${{C}_{1}},\,\,{{C}_{2}}$ τέμνονται στα σημεία $A,\,\,F$. Ένας τρίτος κύκλος ${{C}_{3}}$

διέρχεται από το $F$, τα κέντρα των ${{C}_{1}},\,\,{{C}_{2}}$ και τέμνει τον ${{C}_{2}}$ στο $\displaystyle D$ και

τον...

Να βρείτε όλους τους φυσκούς αριθμούς $a$, για τους οποίους το γινόμενο $n(n+a)$ να μην είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού για κανένα φυσικό (μη μηδενικό) αριθμό $n$.

Α)Έχουμε $5$ διαφορετικά σημεία τα οποία ανά $3$ δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία.
α) Πόσα ευθύγραμμα τμήματα μπορούμε να κατασκευάσουμε;
β) Μπορούμε να γενικεύσουμε το συλλογισμό μας αν μας δοθεί οποιοσδήποτε αριθμός σημείων (έστω $n$) ;
Β)Έχουμε ένα...

Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ είναι ρητοί, να αποδείξετε ότι και ο αριθμός:

$\displaystyle{A=\frac{\sqrt{a^4 +b^4 +(a+b)^4}}{\sqrt2}}$

είναι επίσης ρητός.

Να βρείτε την μέγιστη τιμή του αθροίσματος $x_{1}(1-x_{2})+x_{2}(1-x_{3})+ \ldots + x_{6}(1-x_{7})+x_{7}(1-x_{1})$ για τους αριθμούς $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{7}$, που ανήκουν στο διάστημα $ $.

Εξετάζουμε όλους τους $7!$ εφταψήφιους αριθμούς, που προκύπτουν από τον αριθμό $1234567$ με όλες τις δυνατές μεταθέσεις των ψηφίων του. Πόσοι από αυτούς δίνουν υπόλοιπο $5$ στην διαίρεση με το $7$;

Ο Χάρης έγραψε στον πίνακα μερικούς διαφορετικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, ο καθένας εκ των οποίων δεν υπερβαίνει το $2023$. Προέκυψε ότι για οποιουσδήποτε δυο γραμμένους στο πίνακα αριθμούς $a$ και $b$ ο αριθμός $a+b$ δεν διαιρείται με τον...

Οι ειδικοί είπαν ότι ένα τέτοιο φαινόμενο εμφανίζεται κάθε 18000 χρόνια και επειδή εμφανίστηκε και χθες αρα η επόμενη φορά θα είναι σε 2χ18000=36000 χρόνια.

(Ρωτάω δεν ξέρω... :twisted: )

Ακριβώς πενήντα.png Στην πλευρά $AB$ του $16 \times 16$ τετραγώνου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $S$ και γράφουμε τον κύκλο

$(A , S , D )$ , ο οποίος τέμνει την $BC$ σε δύο σημεία , από τα οποία το πλησιέστερο προς το $B$ , είναι

το $T$ . Υπολογίστε...

Σε συνέχεια αυτής της άσκησης ... θέτω τη παρακάτω.

Δίδεται συνάρτηση $f$ συνεχής στο $ $ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha, \beta)$ με $f(\alpha) \neq f(\beta)$. Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2$ διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια ώστε...

Αν $\alpha \neq 0$ και η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\alpha$, να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{f^3(x) - 2f(\alpha) f^2(x) +3f^2 (\alpha) f(x) - 2f^3(\alpha)}{|x| - |\alpha|}}$

Αν $\dfrac {x}{x^2+x+1}=a$, να βρεθεί συναρτήσει του $a$ η τιμή της παράστασης $\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}$.

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να λύναμε ως προς $x$ την δοθείσα και μετά να αντικαταστήσουμε στην δεύτερη την παράσταση που βρήκαμε. Ο τρόπος αυτός,...

Fragkos_28_9_2023.png

Σε ευθεία θεωρώ κατά σειρά από αριστερά προς δεξιά τα σημεία : $E,B,M,C$ με $EB = BM = MC$.

Έστω $K$ το μέσο του $EC$ και σημείο $A$ για το οποίο $\widehat {CBA} < 90^\circ $. Γράφω τον κύκλο , $\left( {A,E,K} \right)$.

Τον...

Και όμως το διχοτομεί .png

Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο, $H$ το ορθόκεντρό του, $M$το μέσο της $BC$ και $\{D\}=AH\cap BC$. Κατασκευάζουμε κύκλο $(W)$ με

κέντρο $M$, ακτίνα$BM$ και έστω $E$ σημείο του $(W)$ ώστε $AD=AE$. Η $DE$ επανατέμνει...