Η περιέργεια οδηγεί στην γνώση.png Βλέπετε ένα τετράγωνο και ένα τεταρτοκύκλιο . Δείξτε ότι υπάρχει θέση του $P$ επί της $CD$ ,

ώστε : $ST=TP$ . Μπορούμε να βρούμε αυτή τη θέση ; (Κατασκευαστικά ή υπολογιστικά) .

Μπορείτε σας παρακαλώ να μου εξηγήσετε αυτή την άσκηση, γιατί δεν καταλαβαίνω; Ας πούμε, πως γίνεται η προβολή ενός διανύσματος κάθετου σε ένα επίπεδο να έχει συνιστώσα σε αυτό το επίπεδο; Δεν αναμένεται να είναι μηδενική αυτή η συνιστώσα; Που έχω...

Ωδή στην ισότητα.png Στην πλευρά $DC$ του - $a \times b$ - ορθογωνίου $ABCD$ , βρίσκεται σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $DS=k , k<\dfrac{a}{2}$ .

Να αχθεί ευθεία διερχόμενη από το $B$ , η οποία να τέμνει τις $AC , AS , AD$ κατά σειρά , στα σημεία $P ,...

Καλό μεσημέρι σε όλα τα μέλη του :logo: με μια εξίσωση :
Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών η εξίσωση :$(x^3/2+x+1)^3+x^3/2+3 = 0$

Εντοπιστής.png Εντοπίστε τα σημεία $S , T $ των ευθειών $OA , OB$ , αντίστοιχα , ώστε : $AS=BT$ και : $MS=MT$ .

Από τον τόμο Ι του απειροστικού λογισμού των Νεγρεπόντη - Γιωτόπουλου - Γιαννακούλια και το κεφάλαιο του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αντιγράφω μια άσκηση:

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ συνεχής , 1-1 συνάρτηση με $f(2x-f(x))=x , \ \forall x \in...

Μπορείτε να δείξετε ότι ο αριθμός : $\sqrt{\dfrac{5+\sqrt5}{8}$ , είναι ρίζα της εξίσωσης :

$16x^5-20x^3+5x=0$ , χωρίς να την λύσετε και χωρίς πράξεις ;

Βρείτε - με τους ίδιους κανόνες - μια ρίζα της : $16x^5-20x^3+5x=1$

Δύσκολα θα βρείτε δύο θετικούς ακέραιους : $m , n$ , ώστε : $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=6$ .

Μήπως είναι ευκολότερο να τους βρείτε αν : $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=2$ ;

Αξιόλογη ισότητα.png Το σημείο $E$ είναι η προβολή του ίχνους του ύψους $AD$ στην πλευρά $AC$ , τριγώνου $ABC$ .

Το $F$ είναι η προβολή του $E$ στην πλευρά $AB$ και το $T$ η τομή του $EF$ με το $AD$ και το $S$ ,

η τομή της κάθετης από το $E$ προς...

Σε τραπέζιο $ABCD(AB//CD),$ είναι $AB=3$ και οι πλευρές $AD, DC, CB$ έχουν ακέραια μήκη και είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Αν η διαγώνιος $BD$ είναι κάθετη στις βάσεις, να βρείτε την πλευρά ισοπλεύρου

τριγώνου που έχει την ίδια...

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k=-n}^{n} (-1)^k \binom{2n}{k+n}^3 = \frac{\left( 3n \right)!}{\left( n! \right)^3} }$

όπου $n \in \mathbb{N}^*$.

Δεν έχω απάντηση. ...

Καλησπέρα.
Θα μπορούσαμε κάπως να υπολογίσουμε το κέντρο βάρους μια συνεχούς η μη n-διάστατης συνάρτησης;Και ,κυριότερα, αφορά κάπου τα καθαρά μαθηματικα;

Π.χ (Σύμφωνα με αυτό)
$\displaystyle
\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
$

Για μια...

Δεν έχω κάτι καλό σήμερα : Λύστε την εξίσωση : $\dfrac{2+x}{2+\sqrt{4+2x}}+\dfrac{2-x}{2-\sqrt{4-2x}}=1$

2008_1.PNG

Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\binom{m+k}{n}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\binom{m}{k}2^k$,

για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους $m,n$.

Σημείωση: Δεκτές τόσο αλγεβρικές όσο και συνδυαστικές προσεγγίσεις :)

Ισότητα ανομοίων.png Η ευθεία $y=\dfrac{x}{\lambda}-b$ τέμνει τις πλευρές $OA , AB$ του ορθογωνίου $OABC$ στα σημεία $P , Q$ , ενώ η : $y=\dfrac{x}{\lambda}+b$

τέμνει τις $OC , BC$ στα $T , S$ . Δείξτε ότι το τετράπλευρο $PQST$ είναι...

Δημιουργία επαφής.png Το $P$ είναι τυχόν σημείο του ημικυκλίου του σχήματος . Η μεσοκάθετος του $TP$ τέμνει την κάθετη προς την $OAB$ στο $O$ ,

στο σημείο $S$ και την $OAB$ στο $L$ . Δείξτε ότι το τμήμα $SP$ εφάπτεται του τόξου και βρείτε το $SP$...

Χαίρετε.
Ας υπολογισθεί το πλήθος των υποσυνόλων του συνόλου A={1,2,3...,n} τών οποίων το άθροισμα των στοιχείων είναι πολλαπλάσιο του 2025.
Θα μπορούσαμε άραγε να το υπολγίσουμε αν τα στοιχεία του συνόλου Α ακολούθουσαν αλγεβρική πρόοδο;

2007.PNG

2004.PNG

1999.PNG