Ελαχιστοποίηση τμήματος.png Οι μεταβλητές κάθετες πλευρές $AB , AC$ ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , έχουν σταθερό άθροισμα $14$ .

Στην $BC$ βρίσκεται σημείο $S$ ,τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{3}{7}BC$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του $AS$ .

Υπάρχουν απλές ομάδες τάξης $p(p+1)$ όπου $p$ πρώτος;

Σπιρτάδα.png Μετακινήστε ένα μόνο σπίρτο , ώστε να έχουμε μια καινούρια αληθή ισότητα .

Ώρα εφαπτομένης 101.png Σε σημείο $S$ της έλλειψης του σχήματος , φέρουμε εφαπτομένη . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της $\tan\theta$ .

Pagoda.png

Τέσσερις κύκλοι ακτίνας $r$ έχουν εγγραφεί σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $a$ , όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να προσδιορίσετε το $r$ ως έκφραση του $a$.

Από σήμερα ξεκινάει η EGMO 2021 με διοργανώτρια χώρα την Γεωργία. Όπως ανέφερα πρόσφατα η Ελλάδα είναι η μοναδική χώρα που δεν έστειλε εθνική ομάδα παρά τις φιλότιμες προσπάθειες της Ε.Μ.Ε. Θα ήθελα να ευχηθώ ολόψυχα καλή επιτυχία στις μαθήτριες της...

Α) Αν μια συνάρτηση $f$ , είναι δις παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\Delta$ , δεν παίρνει αρνητικές τιμές

και είναι κυρτή στο $\Delta$ , μπορούμε να πούμε το ίδιο και για την συνάρτηση : $g(x)=\sqrt{f(x)}$ ;

Β) i) Μελετήστε πλήρως την συνάρτηση :...

Στον ${\mathbb{R}}^3$ περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη $\overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}$, γύρω από τον $x$-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια $S$.

Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας...

Η Ε.Μ.Ε μόλις ανακοίνωσε ότι ο συμπληρωματικός Θαλής θα διεξαχθεί αμέσως μετά τις διακοπές με το άνοιγμα των σχολείων. Λογικά θα γίνει την πρώτη εβδομάδα που θα ανοίξουν τα σχολεία! Οπότε καλώς εχόντων των πραγμάτων τέλος Μάη θα έχουμε τον Αρχιμήδη....

Με αφορμή το πολύ όμορφο πρόβλημα που μόλις συζητήθηκε εδώ , τολμώ να προτείνω το εξής (χωρίς λύση ή έστω απάντηση):

Να εξεταστεί αν στο παρακάτω σχήμα οι τρεις νέες κοινές εφαπτόμενες είναι όντως κοινές σε τρεις κύκλους, και αν μαζί με τις παλιές...

Έστω $a,b,c,d$ θετικοί πραγματική αριθμοί .Αν $a+b+c+d=4$ να αποδειχθεί ότι:$\sqrt{\frac{a}{b+3}}+\sqrt{\frac{b}{c+3}}+\sqrt{\frac{c}{d+3}}+\sqrt{\frac{d}{a+3}}\leq 2$

Έστω $a,b,c$ μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $m,n$ με $m>n$ ώστε $\begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} m^2-n^2, 2mn,...

Έστω $\Sigma$ το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1$ και το δίχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1, \quad \alpha>0,\,\beta>0$.
Να βρεθεί ο όγκος του...

Κατασκευή με σχέδιο.png Κατασκευάστε ορθογώνιο $ABCD$ , στο οποίο να υπάρχουν σημεία $S , T$ των πλευρών του $AB , BC$ αντίστοιχα ,

ώστε το τρίγωνο $STD$ να είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και επιπλέον να είναι : $(ADS)=(SBT)+(TCD)$ .

Ώρα εφαπτομένης 100 (και ημιτόνου 23).png Το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Οι διάμεσοί του $BM , CN$ ,

τέμνονται στο $G$ . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{BGC}$ . Αν οι διχοτόμοι των $\hat{B} , \hat{C} $

τέμνουν τις διαμέσους $CN...

Μελετήστε την συνάρτηση : $f(x)=(x-\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}$ , ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

Βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων : $C_{f} , C_{f'}$ .

Καλησπέρα!

Μια ιδιοκατασκευή:

Έστω συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ και κάποια τιμή $x_{0}$. Ξεκινάμε από την τιμή $x_{0}$ και υπολογίζουμε τις τιμές $x_{0}, f(x_{0}),f(f(x_{0})),f(f(f(x_{0}))),...$, σχηματίζοντας άπειρη ακολουθία.

Για κάποιες...

Σε ένα κύκλο στέκονται $73$ παιδιά. Ο κακός Άγιος Βασίλης γυρνάει τον κύκλο με την φορά των δεικτών του ρολογιού και μοιράζει σοκολατάκια. Στην αρχή έδωσε στο πρώτο παιδί ένα σοκολατάκι, ύστερα προσπέρασε ένα παιδί και στο επόμενο έδωσε ένα...

Παρακάτω παραθέτω ένα πρόβλημα(ελπίζω να είναι σωστά διατυπωμένο) στο οποίο θα ήθελα να μου δώσετε μια ολοκληρωμένη λύση ή να μου πείτε που θα δω μια ολοκληρωμένη απόδειξη. Επιπλέον, αν υπάρχει κάποια παραλλαγή αυτού του προβλήματος θα ήθελα να την...

Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις.png
$BD$ είναι η διχοτόμος οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ και $E$ η προβολή του $D$ στην $AB.$ Αν $AE=2, BE=4,$ να

βρείτε την μικρότερη ακέραιη τιμή της πλευράς $BC=a$ που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος. Για...

Παρουσιάζω ένα πρόβλημα της Διαφορικής Γεωμετρίας στο οποίο χρειάζομαι μια βοήθεια.

Πρόβλημα : Ποιες καμπύλες που βρίσκονται σε μια σφαίρα έχουν σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα ;

Δηλαδή ζητάμε καμπύλες $\displaystyle{\gamma : I \subseteq...

Έστω ένας πίνακας $A$ με ακέραια στοιχεία και έστω $\lambda \in (0,1)$ μια ιδιοτιμή του $A$ με ιδιοδιάνυσμα $\mathbf{v}$. Δείξτε ότι τουλάχιστον ένα στοιχείο του $\mathbf{v}$ είναι άρρητο.

Χαιρετώ .
15-4 Λόγου ακεραιότητα.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=90^o$ και $tanB=3$.

Αν $AZ=AB=2BN$ και $ZE \perp BC$ τότε: Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEN \right )}$

Λέτε το παρόν , να δεχθεί.. :)...

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε $f(0)=0$ και παραγωγίσιμη στο $0$. Θέτουμε

$\displaystyle a_n =\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{k}{n^2} \right)$

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim \limits_{n...

Έστω $a \notin \mathbb{Z}$ και $a \neq \frac{1}{2}$. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{\Gamma \left ( a + n \right ) \Gamma \left ( a - n \right )} = \frac{2^{2a-2}}{\Gamma \left ( 2a - 1 \right )} + \frac{1}{\Gamma^2...