Καλησπέρα σε όλους. Δεν ξέρω πόσο διασκεδαστικό είναι, αλλά δε βρίσκω άλλο φάκελο.

Απάντηση από μηχανή τεχνητής νοημοσύνης σε chat που επεξεργάζεται λεκτικά δεδομένα και διατυπώνει απαντήσεις σε ερωτήσεις διαφόρων επιστημονικών τομέων (και...

Το παρακάτω πρόβλημα αποτέλεσε θέμα της χθεσινής εξέτασης του μαθήματος πρώτου εξαμήνου Ανάλυση Ι & Εφαρμογές του Φυσικού τμήματος του ΕΚΠΑ. Έχω βρει μια λύση αλλά πιστεύω υπάρχει κάτι απλούστερο που μου διαφεύγει.

Έστω $f: (0,1) \rightarrow...

Έστω ένας φυσικός αριθμός $a$ όπου $a=\frac{3333}{5555}+\frac{33333}{55555}+\frac{333333}{555555}+\frac{5^{2022}}{5^{2023}}$.

Βρείτε την τιμή της παράστασης: $A=\left ^{2023}$

Η τρίτη πράξη.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με κάθετες πλευρές $AB=6 , AC=4.5$ , σχεδιάσαμε στο πάνω μέρος

τα ημικύκλια με διαμέτρους $BA , BC$ . Ευθεία διερχόμενη από το $A$ τέμνει τα δύο τόξα , στα σημεία $S , T$ ,

αντίστοιχα . Υπολογίστε το...

442.png

Το τετράπλευρο $ABCD$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο και το
τρίγωνο $BEZ$ ορθογώνιο ισοσκελές. Δείξτε ότι $ED=2ZH$.

Η τρίτη κορυφή.png Οι διάμεσοι $AM$ και $BN$ του τριγώνου $ABC$ είναι κάθετες . Δείξτε ότι : $30a<199$ . Μέχρι $23/01/23$ .

Αν ο $ $ δηλώνει το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των αριθμών $1,2, \dots, 2n$ τότε να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{\left }{\binom{2n}{n}} \in \mathbb{N}}$

Όρθιο ορθογώνιο.png Στη διάμετρο $AB$ και στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$ ενός ημικυκλίου ακτίνας $r$ , θεωρούμε σημεία

$S , P$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $BS=BP$ . Φέρουμε και τμήμα $TS \perp AB$ .

Πώς να επιλέξουμε το $S$ , ώστε...

Μεγιστοποίηση για επίμονους.png Το ένα άκρο του τμήματος $SB$ είναι το σταθερό σημείο $S$ , ενώ το άλλο κινείται στον κύκλο με εξίσωση :

$x^2+y^2=25$ . Η μεσοκάθετος του $SB$ τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία , από τα οποία ονομάζω $A$

το πλέον...

Έστω $f$ πραγματική συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών. Υποθέτουμε ότι υπάρχει σημείο $p$ στο οποίο η $f$ δεν είναι συνεχής. Να δειχθεί ότι υπάρχει διάστημα $(\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε για κάθε $y \in (\alpha, \beta)$ το...

Έστω $Α_n \in \mathcal{M}(\mathbb{R})$ πίνακας με στοιχεία $\displaystyle{a_{i,j} = \frac{1}{i+j-1} \; , \; 1 \leq i,j \leq n }$. Να υπολογιστεί η ορίζουσα $\det A_n $ .

Θεωρούμε τους διψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c}$. Γνωρίζουμε ότι οι $\displaystyle{a,b,c}$ διαιρούμενοι με το $\displaystyle{3}$ δίνουν

υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 1 , 1}$ αντιστοίχως.

Τοποθετούμε τα ψηφία των αριθμών αυτών σε μια...

Ομοιότητα τριγώνων – Μήκος τόξου .png

Παραπάνω φαίνεται το σχέδιο ενός σταδίου. Τα δύο κυκλικά του τμήματα

αποτελούνται από ημικύκλια με κέντρο Α και ακτίνες R και ρ ($R>\rho $).

Επίσης ο λόγος των μηκών των ημικυκλίων είναι...

Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b}$. Αν ο $\displaystyle{a}$ ελαττωθεί κατά $\displaystyle{7}$ και ο $\displaystyle{b}$ αυξηθεί κατά $\displaystyle{8}$, τότε προκύπτουν
δύο νέοι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το...

Το πολυώνυμο : $P(x)=27x^4-90x^2-20x+48$ , δεν έχει ακέραιες ρίζες .

Χρησιμοποιήστε άλλες αλγεβρικές γνώσεις για να βρείτε τις τέσσερις ρίζες του .

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=x^3-4x-\sqrt{x+2}$ . Υπολογίστε το $f(-\phi)$

Ημίτονο κατά την ελαχιστοποίηση.png Η πλευρά $AD$ του ορθογωνίου $ABCD$ είναι σταθερή με μέσο το $M$ , ενώ η $AB$ μεταβάλλεται .

Ονομάζω $B' , D'$ τις προβολές των $B , D$ στο τμήμα $CM$ και $N$ το μέσο του τμήματος $B'D'$ .

Βρείτε το :...

Στο διπλανό μαγικό τετράγωνο, οι αριθμοί $1,2,3,..., 25$
τοποθετούνται στα μικρά τετραγωνάκια με τέτοιον τρόπο, ώστε το άθροισμα
των αριθμών σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο του τετραγώνου να είναι το ίδιο.
Αν ο αριθμός 18 τοποθετηθεί στο...

Να βρείτε τον φυσικό αριθμό που:
$\bullet$ είναι ανάμεσα στο $600.000$ και στο $800.000$
$\bullet$ το ψηφίο των χιλιάδων είναι το μισό από το ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων
$\bullet$ το ψηφίο $7$ βρίσκεται ανάμεσα σε δύο μηδενικά
$\bullet$ το...

$\displaystyle{\bigstar}$ Σε μια εκδρομή ήταν άνδρες, γυναίκες και παιδιά.
Οι άνδρες ήταν το $\displaystyle{20\%}$ του συνόλου , οι γυναίκες $\displaystyle{12}$ περισσότερες από τα παιδιά και τα παιδιά 10 περισσότερα από τους άνδρες.
Πόσοι ήταν οι...

Να δείξετε ότι ο αριθμός $\alpha$ είναι πολλαπλάσιο του $5$.

$\alpha = 91^{2}+92^{2}+93^{2}+...+99^{2}$

Επιδίωξη παραλληλίας.png Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB=8$ και σε σημείο του $S$ , εφάπτεται κύκλος $(K,3)$ .

Για ποια θέση του $S$ , οι εφαπτόμενες $AT , BP$ , είναι παράλληλες μεταξύ τους ;

Καλημέρα!

Στο λήμμα της Wikipedia για την ακολουθία Fibonacci καταγράφεται η παρακάτω ισότητα:

$\sum_{k=0}^{\infty }\dfrac{1}{F_{2k+1}+1}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

Μπορείτε να υπολογίσετε τη δίδυμη σειρά:

$\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{F_{2k+1}-1}$ ;

Χρόνια πολλά με υγεία σε όσους γιορτάζουν σήμερα.

Ειδικά στον διαχειριστή του :logo: Κ. Γρηγόρη Κωστάκο .

Λόγος να σου πετύχει.png Από την κορυφή $C$ , του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου $ABCD$ ,

φέρουμε $CS \perp BD$ . Αν $\widehat{ASD}=45^\circ$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ .