Ίσες γωνίες 55.png Στην προέκταση της διαμέσου $AM$ , τριγώνου $ABC$ ( προς το μέρος του $A$ ) ,

εντοπίστε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{ASB}=\widehat{MAC}$ .

Βρείτε το συνημίτονο.png

Έστω ορθογώνιο, στο $A\,\,,$ τρίγωνο $ABC\,\,$ με $AB < AC$. Με πλευρά $AC$ κι έξω από το τρίγωνο $\vartriangle ABC$

κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο, $\vartriangle ACD.$ Οι ημιευθείες $DA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$...

Τρεις Δασκάλες, η Άννα, η Βάσω και η Γωγώ, δουλεύουν σε ένα Σχολείο. Κάθε μέρα, Δευτέρα έως Παρασκευή, πάνε στην δουλειά οι δύο από αυτές ενώ η τρίτη έχει ρεπό. Η Άννα δουλεύει $3$ φορές την εβδομάδα και η Βάσω $4$ φορές την εβδομάδα. Πόσες φορές...

Παραγωγή ισότητας.png $\bigstar$ Από την κορυφή $C$, του - $a \times b$ - ορθογωνίου $ABCD , (a>b) $ και εξωτερικά αυτού ,

διέρχεται ευθεία $\varepsilon$. Ονομάζουμε $S , T$ τις προβολές των κορυφών $B, D$ , αντίστοιχα στην $\varepsilon$ .

Πως...

Είναι εγγράψιμο.png
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και εσωτερικό σημείο $O$ της πλευράς $BC$.

Γράφουμε τον κύκλο $\left( O \right)$ κέντρου $O$ κι ακτίνας $OA$. Οι ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ τέμνουν (ακόμα ) τον $\left(...

Πονηρή ισότητα γωνιών.png Εντοπίστε σημείο $S$ του άξονα $y'y$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{ABS}=\widehat{ACS}$ .

Το άθροισμα $5$ διαφορετικών μη μηδενικών φυσικών αριθμών είναι $2024$. Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει ο μικρότερος από τους $5$ αριθμούς;

(Κάνει και για Δημοτικό.)

Σε κάποιες Δημοτικές εκλογές που έγιναν σε μια πόλη, υπήρχαν τρεις υποψήφιοι , οι $\displaystyle{A , B , C}$
O υποψήφιος $\displaystyle{B}$ ,έλαβε ποσοστό κατά $\displaystyle{3}$% μεγαλύτερο από τον $\displaystyle{A}$ και ο $\displaystyle{C}$, έλαβε...

Η γιαγιά του Μάνου έχει κότες, κατσίκια και $\displaystyle{5}$ αρνάκια. Ο Μάνος παρατήρησε ότι τα αρνάκια είναι πιο λίγα από τα κατσίκια
Ύστερα κάθισε με υπομονή και μέτρησε τα πόδια όλων των ζώων και των πουλερικών της γιαγιάς και τα βρήκε...

Εντυπωσιακή συνευθειακότητα.png Το τμήμα που συνδέει σημείο $S$ , το οποίο κινείται στην προέκταση της πλευράς $AC$ ορθογωνίου

τριγώνου $ABC$ , με το μέσο $M$ της πλευράς $AB$ , τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο σημείο $T$ .

Το ημικύκλιο διαμέτρου...

Σήμερα άνοιξαν τα σχολεία, καλή χρονιά.
Σήμερα λοιπόν ασχολήθηκα με ένα θέμα που έπεσε στον τρίτο γύρο της Βουλγαρικής Μαθηματικής
Ολυμπιάδας το 1969.

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με πλευρές $a,b,c.$
Aν το βαρύκεντρο του τριγώνου αυτού είναι το μέσο του...

Παραγωγή παραλληλίας.png Κύκλος $(K)$ βρίσκεται στο εσωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου $AOB$ , εφαπτόμενος στην $AB$ .

Φέρουμε τα εφαπτόμενα προς τον κύκλο , τμήματα $AP$ και $BT$ . Το $PT$ προεκτεινόμενο ,

τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο $S$ ....

Ένας φυσικός αριθμός $N$ έχει την ιδιότητα να έχει (ακριβώς) τρεις διαρέτες και, επίσης, ο $N+{\color {red}{7}2$ έχει (ακριβώς) τρεις διαιρέτες. Ποιος είναι ο $N$;

Édit. Έκανα τυπογραφική διόρθωση. Αντί $N+2$, το σωστό είναι $N+72$. Συγγνώμη για...

Χορδικά.png Η χορδή $CD$ είναι παράλληλη προς τη διάμετρο $AB=2r$ του ημικυκλίου μας και έχει μέσο το σημείο $M$ .

Η $AM$ τέμνει το τόξο στο σημείο $S$ . Η εφαπτομένη στο $S$ τέμνει την προέκταση της $CD$ , στο σημείο $T$ .

Υπολογίστε το απόστημα...

Ο κύβος με κορυφές $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(1,1,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$ περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $(0,0,0)$ και $(1,1,1)$. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

Βρειτε τον μικρότερο και μεγαλύτερο ακέραιο (αντίστοιχα) που είναι ταυτόχρονα και πρώτος και παλινδρομικός κάτω απο 1000 .

(Με μια μικρή δικαιολόγηση για το αποτέλεσμα)

ΥΓ...
Εδώ μια επεξήγηση για το τι είναι ο παλινδρομικός αριθμός --->

Πλούσιο τραπέζιο.png Βρείτε συνθήκη στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , ικανή να του προσδώσει την εξής ιδιότητα : Για το μέσο

$M$ της κάθετης από τις μη παράλληλες πλευρές $CD$ , να έχουμε $AM \perp BM$ . Αν $O$ το σημείο τομής

των διαγωνίων του και...

Πόσοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί μικρότεροι του $1000 $ μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή

$5^x+5^y+5^z $

όπου $x

Έστω ορθογώνιο κι ισοσκελές τρίγωνο , $ABC\,\,\left( {AB = AC} \right)$. Ας είναι $M$ το μέσο της $AB$ και $D$ της $AC$ με , $CD = 2DA\,.$

Αν οι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$ τέμνονται στο $S$ να δείξετε ότι : $AS \bot SC$ και η $SD$ διχοτόμος...

Ο τμηματάρχης.png Στο τρίγωνο $ABC$ , τα σημεία $P , T$ είναι οι προβολές της κορυφής $A$ πάνω στις διχοτόμους

των γωνιών $\hat{C}$ και $\hat{B}$ αντίστοιχα . Εξετάστε αν το τμήμα $PT$ είναι παράλληλο προς την $BC$

και υπολογίστε το , συναρτήσει...

Ένα δωρεάν μάθημα (MOOC) για τις εφαρμογές του Chatgpt στην εκπαίδευση απο τον Panagiotis Tsiotakis (Μελος ΕΔΙΠ Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου).
Απαιτείται λογαριασμός στην εν λόγω πλατφόρμα.

Link--->

Ο τρίτος κλάδος .png Στο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $AB=AC=b , BC=a , (a
και την $AB$ στο $T$ . i) Αν : $CS=AT$ , βρείτε τον λόγο : $\dfrac{b}{a}$ ... ii) Αν : $CS=2AT$ , υπολογίστε το : $\cos A$ .