Παραθέτω τα θέματα του σημερινού διαγωνισμού της Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας Νέων που διεξάγεται αυτές τις ημέρες στο Σεράγεβο. Με χαρά θα δούμε τις λύσεις σας!

Πρόβλημα 1 - Κροατία. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη $(a,b)$ θετικών ακέραιων αριθμών...

Γενικά παρατηρώντας τις βαθμολογίες στα γραπτά των μαθηματικών και μελετώντας και τα αποκόμματα παρατήρησα ότι υπάρχουν κάποια βαθμολογικά κέντρα που διάφορες 10 και 11 μορίων στα μαθηματικά διέρχονται απαρατήρητες (νόμιμο ) , σε άλλα βαθμολογικά...

Αγνή καθετότητα.png

Στο τετράγωνο $ABCD$, θεωρώ το μέσο $M$ της $BC$ και το συμμετρικό $E$ του $A$ ως προς το $C$.

Δείξετε ότι $DM \bot BE$.

Βρίσκομαι στο σχολείο, λίγες ώρες πριν κλείσουμε για τις καλοκαιρινές διακοπές...
Μια ανισότητα από αυτήν την ημέρα...

Σε τρίγωνο $ABC$ αποδείξτε ότι

$\displaystyle...

Καλημέρα σε όλους!
25-6 εύρεση λόγων.png
Το τραπέζιο $ABCD$ με $AB \parallel CD$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $O$

και $K,L,M,N$ τα μέσα των πλευρών του $AB,BC,CD,DA$ αντιστοίχως. Αν $\widehat{AOD}=54^o$ τότε

Ι) Να υπολογιστεί ο λόγος...

Να λυθεί η ανίσωση : $9^x+3^x\leq2\cdot 6^x$

Διασκεδάστε το ! ( Ποιος θα ήταν ο καταλληλότερος φάκελος ; )

Από Σερβία ο λόγος.png
Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ και ο κύκλος $(K)$ διαμέτρου $AB.$ Ένα σημείο $P$ κινείται στην πλευρά $CD$

και οι $PA, PB$ επανατέμνουν τον κύκλο στα $M, N$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι $DM, CN$ τέμνονται

σε σημείο $Q$ του...

Αγαπητά μέλη του :logo:
Από 11 έως 15 Ιουλίου το Παράρτημα της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας ν.Ηλείας διοργανώνει το 2ο Θερινό Μαθηματικό Σχολείο Ηλείας για ΣΤ Δημοτικού και Α,Β,Γ Γυμνασίου σε Πύργο και Αμαλιάδα .
Περισσότερες πληροφορίες στο...

Μεταφέρω και εδώ την ανάρτηση του κ. Παπασπύρου (καθηγητή ΕΜΠ με συνεχή συνεισφορά στους διαγωνισμούς πληροφορικής στην Ελλάδα) για την φετινή κατάντια.

Κάποια στιγμή λοιπόν, θα έφτανε κι εδώ. Το είχα προτείνει χρόνια τώρα, μεταξύ σοβαρού και...

Μήκος τροχιάς.png Τα σημεία $D , E$ κινούνται στις πλευρές $BC , CA$ του - πλευράς $a$ - ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ , έτσι

ώστε : $BD=CE$ . Οι $AD , BE$ , τέμνονται στο $S$ . Βρείτε το μήκος της τροχιάς που διαγράφει το $S$ .

Δώστε παράδειγμα δέκα διαφορετικών ανά δύο φυσικών αριθμών που ο καθένας διαιρεί το άθροισμα των δέκα αυτών αριθμών,

(Εννοείται ότι γενικεύεται και για περισσότερους από δέκα. Ως άσκηση είναι προσιτή και σε μαθητές του Δημοτικού, αλλά πρέπει να...

Τ ο παρακάτω θέμα υπάρχει πάνω από τριάντα χρόνια στο χειρόγραφο αρχείο μου...
Κάπου θα το είδα τότε και είπα να το λύσω και να καθαρογράψω τη λύση...

Να υπολογιστεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle a_{n}=\frac{1!+2!+3!+...+n!}{\left ( 2n...

Στο συνημμένο σχήμα έχουμε ένα κανονικό τρίγωνο (ισόπλευρο), ένα κανονικό τετράπλευρο (τετράγωνο), ένα κανονικό πεντάγωνο κι ένα κανονικό εξάγωνο.
1. Να εξετάσετε αν τα σημεία $A,B, C$ είναι συνευθειακά.
2. Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $KAB$.
Μία...

Δείξτε ότι κάθε Πυθαγόρειο ορθογώνιο τρίγωνο (δηλαδή με ακέραιες πλευρές) έχει την ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου του κύκλου επίσης ακέραιο αριθμό.

Συντεταγμένη υποχώρηση.png Το σημείο $S$ κινείται στο εσωτερικό του τμήματος $OB$ . Η κάθετη από το $B$ , προς την ημιευθεία $AS$ ,

την τέμνει στο $T$ , ενώ τέμνει και την προέκταση της $AO$ στο $P$ . Βρείτε το μέγιστο του : $BT \cdot TP$

Μεγάλες κατασκευές 84.png Τοποθετήστε τα κέντρα των κύκλων $(O,3)$ και $(K,2)$ σε μια οριζόντια ευθεία , έτσι ώστε ,

ο βόρειος πόλος $N$ του $(O)$ , το ένα σημείο τομής τους $T$ και το $K$ , να είναι συνευθειακά .

Αν κάνετε κατασκευή μετά από...

Καλή Κυριακή σε όλους.

19-6 ..διχοτόμος και χορδής.png

Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=120^o$ και $AD,BE,CZ$ οι (εσωτερικές) διχοτόμοι του.

Αν ο κύκλος των $A,Z,E$ τέμνει την $BC$ στα $M,N$ τότε: Να εξεταστεί αν ισχύει $DM=DN$

Μου...

f(f(x)).png
Στην εικόνα βλέπουμε το γράφημα μιας συνάρτησης $f:\left \to \mathbb{R}$.

Όπως δείχνει και το γράφημα η συνάρτηση έχει ρίζες τις : $ - 4\,\,,\, - 2\,\,,\,\,2\,\,,\,\,4$ .

Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση , $f\left( {f\left( x \right)}...

Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ στον κύκλο $\displaystyle{(C)}$ με πλευρές τις
$\displaystyle{AB=a, \ \ BC=b \ \ CD=c \ \ DA=d}$ και με διαγώνιες τις $\displaystyle{AC=x, \ \ BD=y}$.

Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι...

Το παρακάτω πρόβλημα μπορεί να τεθεί στο τέλος του 1ου Κεφαλαίου της Α' Γυμνασίου.
Εννοείται ότι για τη λύση δεν επιτρέπεται η χρήση ημερολογίων...

Αν η $27$ Ιουνίου του $2022$ είναι Δευτέρα, τι μέρα της εβδομάδας είναι η $27$ Ιουνίου του $2024 $;

1)Στην εικόνα παρακάτω αναζητείται ένα πάντα (το γνωστό ζωάκι) ανάμεσα στους χιονάνθρωπους. Μπορείτε να το εντοπίσετε?

2)Στην εικόνα παρακάτω υπάρχει μια καρδιά ανάμεσα στα ελεφαντακια. Μπορείτε να την εντοπίσετε?

Η πηγή θα δοθεί αργότερα....

Μέγιστο γινόμενο.png Ο κύκλος $(K , r)$ έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο $(O , R)$ και τον τέμνει στα σημεία $A , B$ .

Ευθεία διερχόμενη από το $A$ τέμνει πρώτα τον $(K)$ στο σημείο $T$ και κατόπιν τον $(O)$ στο $S$ .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή...

Σήμερα το πρωί στο γραφείο των καθηγητών, ανάμεσα σε βαθμούς απολυτηρίων και μητρώα, βρήκα λίγο χρόνο να δω μια ανισότητα...
Τη μοιράζομαι μαζί σας, με την ελπίδα να μην έχει συζητηθεί πιο παλιά στο forum...

Σε τρίγωνο $ABC$ ισχύει ότι...

Να κατασκευαστεί το ισοσκελές τραπέζιο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{AB=a, \ \ BC=b \ \ CD=c \ \ DA=d}$ όταν γνωρίζουμε
τις δυο βάσεις του $\displaystyle{a, c}$ και πως η διαγώνιος αυτού $\displaystyle{BD}$ είναι η συμμετροδιάμεσος του...

Τα μήκη των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι σε αριθμητική πρόοδο
με διαφορά δύο.
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι $\sqrt{105}$ τ.μ.
Να βρείτε το μήκος των πλευρών του τετραπλεύρου.
(Υ.Γ: Ο επώνυμος τύπος είναι εκτός ύλης, μπορεί να...