Συγγραμμικά σημεία.png

Σημείο $P$ βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$. Έστω $\left\{ D \right\}=AP\cap BC$,

$\left\{ E \right\}=BP\cap CA\,\,\,$ και $\left\{ F \right\}=CP\cap AB\,\,\,$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου

$EFD\,\,\,$...

Ωραία τα λες.png Ο κύκλος $(K,r)$ εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου $(O ,R)$ στο σημείο $S$. Η $SO$ τέμνει τον μικρό κύκλο

και στο σημείο $T$ . Η εφαπτομένη του $(K)$ στο $T$ , τέμνει τον $(O)$ στα $P , Q$ , ενώ η άλλη εφαπτομένη

από το $P$ προς...

Έστω $\displaystyle{a , b}$ φυσικοί αριθμοί και θεωρούμε την εξίσωση:

$\displaystyle{2a^2 +b = a + b^3}$

(α) (Το εύκολο):

Αν $\displaystyle{a}$ περιττός, δείξτε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη

(β) (Το λίγο δύσκολο):

Αν E.K.Π$\displaystyle{(a ,...

Θα βρείτε

εδώ

το βίντεο των ομιλιών της εκδήλωσης της Τράπεζας της Ελλάδος στις 27 Νοεμβρίου 2023 με αφορμή τα 150 χρόνια από τη γέννηση του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή. Διαρκεί μία ώρα και 10 λεπτά, και το υλικό του είναι εξαιρετικό με στοιχεία...

Σχετικά με την άσκηση 1 Β ομάδας του σχολικού που ζητάει να βρεθούν οι εξισώσεις των ημιτονοειδών καμπυλών.
Για να βρείτε τον τύπο σαν περίοδο Τ βάζετε Τ=2π/ω ή Τ=2π/ΙωΙ ;

Ορθογώνιο τρίγωνο.png

Έστω $ABC$ τρίγωνο με $\measuredangle \,C=90{}^\circ $ και $CH$ το ύψος από το $C$. Σημείο $D$ επιλέγεται

εντός του $\vartriangle \,CBH$ έτσι ώστε η $CH$ να διχοτομεί το $AD$. Ακόμη $\left\{ P\, \right\}=BD\cap CH$

και...

Πόσες λύσεις μπορεί να έχει στο σύνολο των ρητών αριθμών η εξίσωση

$x^3+kx^2-(k+3)x+1=0$,

όπου $k$ πραγματική παράμετρος;

(Για Γ' Λυκείου)

Θεσμοθετείται βραβείο 10 εκ δολαρίων για την ανάπτυξη μοντέλου Τεχνητής Νοημοσύνης ικανό για την κατάκτηση χρυσού μεταλλίου στην ΙΜΟ. :!:

Περισσότερα εδώ ===>

Τρίγωνο - αερόστατο .png

Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με $AC>AB$ και $\left( O \right)$ ο περίκυκλός του με $O$

το περίκεντρο. Τον $\left( O \right)$ επανατέμνει στο $D$ η κάθετη από το $A$ προς την $BC$ ενώ

οι εφαπτόμενές του στα $B,C$...

Μέγιστο μήκος .png

Εκφώνηση: Ό,τι υπάρχει στο σχήμα.

Τρίγωνο και παράκεντρο .png

Έστω ${{I}_{a}}$ το κέντρο του εντός της γωνίας $A$ (τριγώνου $ABC$) παρεγγεγραμμένου

κύκλου και $K$ το συμμετρικό του ${{I}_{a}}$ ως προς την $BC$. Ο κύκλος $\left( {{I}_{a}},\,\,A{{I}_{a}} \right)$ τέμνει

τον...

Έχω μια ερώτηση σχετικά με τους p-αριθμούς που σχετίζονται με το τελευταίο θεώρημα του Fermat.

Ας:

$\displaystyle{x^p = y^p + z^p}$
$\displaystyle{ \gcd(x,y,z) = 1}$
$\displaystyle{xyz \not \equiv 0 \pmod p}$
$\displaystyle{x^{p-1} \equiv y^{p-1}...

Συνοπτικά, θα ήθελα οδηγίες για τυπικές συνταγές κλειστής μορφής ή αποτελεσματικούς αλγόριθμους για τον υπολογισμό _αντιστρόφου_ των μετασχηματισμών σιν, συν, ή Hartley της βάσης B-Spline. Η κίνητρο, όπως εξηγείται παρακάτω, προέρχεται από την...

Καλημέρα σας.
Με χαρά δημοσιεύουμε το κείμενο της εργασίας μας σχετικά με την οπτικοποίηση μαθηματικών εννοιών.
Δημοσιεύτηκε πριν λίγες ημέρες στο τεύχος 98-99 του Ευκλείδη Γ.
Ελπίζουμε να σας φανεί ενδιαφέρον.
Σας ευχαριστούμε εκ των προτέρων για...

Θέλω να βρω μια κλειστή μορφή για τη μέση τιμή του $\cos\{t-\cos t\}$ όπου $\{n\}$ δηλώνει το κλασματικό μέρος του $n$. Δεν έχω εμπειρία στο να βρίσκω μέση τιμή σε έναν άπειρο πεδίο, αλλά υποθέτω ότι θα ήταν κάτι σαν αυτό:...

Ερώτηση: Είναι δυνατόν να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\displaystyle{
\int\limits_0^\infty \int\limits_0^\infty\frac{\cos\frac{\pi}2
\left(nx^2-\frac{y^2}n\right)\cos \pi xy}{\cosh \pi x\cosh \pi y}dxdy,~n\in\mathbb{N}\tag{1}
}$
χρησιμοποιώντας τη...

Ελπίζω να έκανα την ερώτηση στο σωστό μέρος

Για $s\in \mathbb{C},\Re(s)>1 $, θεωρήστε:
$\displaystyle{\prod_{k=1}^{\infty}\prod_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1-n^{-ks}}= \prod_{k=1}^{\infty}...

Έστω:

$\displaystyle{A=(x+30)^2 + (x+33)^2 -2. (x^2 +63x -17,5)}$

Να βρείτε την αριθμητική τιμή του $\displaystyle{A}$ , αφού αντικαταστήσετε το $\displaystyle{x}$ με όποιον αριθμό εσείς επιθυμείτε.

ΣΗΜ : Παιδιά, η άσκηση φαίνεται μαγική ....

Έλλειψη και κύκλος.png

Έστω $a,b$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Δίνονται ο κύκλος ${{C}_{1}}:{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}$

και η έλλειψη ${{C}_{2}}:{{x}^{2}}+\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$.

(1) Βρείτε τη συνθήκη...

Έστω
$\displaystyle{
I(R)=\iint_{x^2+y^2 \leq R^2}\left(\frac{1+2 x^2}{1+x^4+6 x^2 y^2+y^4}-\frac{1+y^2}{2+x^4+y^4}\right) d x d y .
}$

Βρείτε το όριο:

$\displaystyle{
\lim _{R \rightarrow \infty} I(R),
}$
ή αποδείξτε ότι αυτό το όριο δεν...

Μία γενίκευση και από τη θέση αυτή ενός γεωμετρικού θέματος με εισηγητή τον Θανάση Καραντάνα (ΚΑR KAR).

Έστω $A, B$ τα σημεία τομής δύο κύκλων που τα κέντρα τους ευρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας $AB$. Θεωρούμε τυχούσα τέμνουσα $SBP$ και σημείο...

Για τον ορισμό και βασικές τις ιδιότητες των αριθμών Dedekind, βλέπε στην Wikipedia εδώ .

Για τον προσδιορισμό με υπερυπολογιστές του $D(9) = 286 .386 .577. 668 .298. 411 .128.469 .151. 667 .598. 498 .812 .366$ βλέπε

εδώ και εδώ

Ας γράψω δυο λόγια για την ιστορία της άσκησης αυτής .

Παράξενη ισότητα συμπλ.png Το ξεκίνημα ήταν άσκηση από διαγωνισμό , της οποίας το ζητούμενο ήταν να δειχθεί ότι : $AE\cdot AB = EC\cdot BD $

Αξιοποιώντας το σχήμα και την εμφανή ισότητα :...

Υποθέτουμε ότι τα $X_1,X_2,\ldots, X_n$ είναι ισόνομες και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με συνεχή πυκνότητα $f(x)$, η οποία ορίζεται σε όλο το $\mathbb{R}$. Έστω $s(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log\mathbb{P}(\overline{X}>x)$ και...

Τρίγωνο και τρεις κύκλοι.png

Τριγώνου $ABC\,$ δίνεται ο περίκυκλός του, δύο κύκλοι $\left( K \right)$ και $\left( L \right)$ οι οποίοι

εφάπτονται εσωτερικά με τον περίκυκλο στα $M\,$ και $N\,$ αντίστοιχα. Επιπλέον

ο $\left( K \right)\,$...