Διάμετροι και εφαπτόμενες.png $\bigstar$ Τα τμήματα $AS , BT$ εφάπτονται στα δύο ημικύκλια . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{BT}$

2023.03.11.FB11971 mathematica.jpg
Οι διάμετροι $AB=2R, BC=2r$ δυο ημικυκλίων είναι διαδοχικά τμήματα επί ευθείας.

Στο ημικύκλιο $AB$, φέρω την εφαπτόμενη $CZ$ και την εφαπτόμενη στο $A$ που τέμνονται στο $M$

Στο ημικύκλιο $BC$, φέρω την...

Καλημέρα σε όλους και καλώς σας βρήκα!

Θα ήθλεα τη βόηθειά σας στο παρακάτω, καθώς δεν μπορώ να βρω τι μου διαφεύγει.

Για συνάρτηση $f:\left \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη και κοίλη, με $\displaystyle{f '(0) = 0}$ (και $\displaystyle{f(x) >...

Στο επίπεδο $\alpha$ δίνεται ένα τραπέζιο $ABCD$ με $AB=CD=AD=2$ και $\angle ABC = \angle BCD = \dfrac{\pi}{3}$. Να βρείτε την τιμή του εσωτερικού γινομένου $\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{DQ}$, όπου $P,Q$ δυο σημεία του επιπέδου $\alpha$...

Δίνεται μια υπερβολή $C$, οι εστίες της $F(c,0)$ και $F^{\prime}(-c,0)$ καθώς και ένα σημείο $A$ του άξονα των $y$ . Έστω $P$ το σημείο τομής της υπερβολής $C$ με το τμήμα $AF$ και $P^{\prime}$ το σημείο τομής της υπερβολής $C$ με το τμήμα...

Για $\theta ,\omega$ οξείες γωνίες, να αποδείξετε ότι: $ \displaystyle \frac{\left ( \tan \theta +\tan \omega \right )\cdot \tan 2\omega }{\tan \theta \cdot \left (\tan \omega \cdot \tan 2\omega +1 \right )}=\frac{\sin \left ( 2\theta +2\omega...

H συνέντευξη είναι εδώ , στα Αγγλικά.

Αν και η συζήτηση είναι χαλαρή, κατά βάθος είναι δυσπρόσιτη. Πατάει σε πολλούς κλάδους των Μαθηματικών και χρειάζεται πολλές, μα πάρα πολλές, εσωτερικές και ειδικές γνώσεις σε ευρύ φάσμα θεμάτων.

2023.03.16.FB12014a - mathematica.jpg
Δεδομένης της πλευράς $BC=a$, κατασκευάστε (σκαληνό κατά προτίμηση) τρίγωνο $ABC$ (ένα εκ των πολλών),
τέτοιο ώστε ο εγκυκλός του να διχοτομεί το ύψος από το $A$

Σημείωση: στο τρίγωνο του σχήματος ο...

Σε έναν πλέγμα $n\times n$ ο Κόκης παίζει ένα παιχνίδι εναντίον του Καρλίτου και της συμμορίας του.
Σε κάθε γύρο γίνονται τα εξής, αρχικά ο Κόκης είτε μένει στο κελί που ήδη βρίσκεται είτε μετακινείται σε κάποιο από τα $4$ γειτονικά.
Έπειτα, κάθε...

Μεγιστοποίηση εμβαδού τριγώνου 2.png Το σημείο $M$ είναι το μέσο του τμήματος $AB$ . Γράψαμε το πάνω ημικύκλιο διαμέτρου $AM$

και το κάτω ημικύκλιο διαμέτρου $MB$ . Τα $S , T$ είναι σημεία των δύο ημικυκλίων , ώστε :

$\widehat{SBT}=45^\circ$ ....

Έστω $g \in \mathbb{H}^1(0, \pi)$ όπου $\mathbb{H}$ χώρος Sobolev. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi} g^2(x) \, \mathrm{d}x \leq \int_{0}^{\pi} \left ( g'(x) \right )^2 \, \mathrm{d}x + \left ( \int_{0}^{\pi} g(x) \, \mathrm{d}x \right...

Ένα άρθρο για τον βρετανό μαθηματικό Alan Turing στο περιοδικό Πληροφορικός της Ένωσης Πληροφορικών Ελλάδας (ΕΠΕ)

Έστω $f: \rightarrow (0, +\infty)$ συνεχής συνάρτηση και $\mathcal{A}$ το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων $n$ για τους οποίους υπάρχει $x_n$ ώστε $\displaystyle{\int_{x_n}^{1} f(t) \, \mathrm{d}t = \frac{1}{n}}$. Να δειχθεί ότι η $\{x_n\}_{n \in...

Ο Μιχάλης Λάμπρου ενημέρωσε σε άλλη δημοσίευση για την ομιλία του Τεύκρου στην Θεσσαλονίκη.

Να πω, ότι θα έχουμε εκδήλωση ΚΑΙ εμείς στην Καστοριά , μια ημέρα νωρίτερα, την Παρασκευή το απόγευμα στις 6 στο μεγάλο αμφιθέατρο του Πανεπιστημίου Δυτικής...

Είμαστε στην ευχάριστη θέση να ανακοινώσουμε ότι ολοκληρώθηκε η δουλειά μας με την έρευνα που κάναμε όσον αφορά τα προβλήματα που αντιμετώπισαν οι μαθηματικοί στις περιόδους της πανδημίας. Αισθανόμαστε την ανάγκη να ευχαριστήσουμε μια ακόμη φορά...

Ένα τεστάκι στις ανισώσεις

Η τρίτη πλευρά.png Σημείο $Α$ κινείται στην ευθεία $y=-3$ . Εντοπίζουμε σημείο $B$ στην προέκταση της $AS$ , ( δηλαδή

το $S$ να είναι ανάμεσα στα $A , B$ ) , τέτοιο ώστε : $OA+OB=10$ . α) Για ποια θέση του $A$ :

ι) Είναι $(AB)=6$ ... ιι) Είναι...

Να αποδείξετε ότι σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB< BC,$ ισχύει:

$ \displaystyle \frac{2BC\cdot \sin C/2\cdot \left ( \cos A/2\cdot \sin B/2-\cos A\cdot \cos C/2 \right )}{\sin B-2\cos A\cdot \sin C}-\frac{AB\cdot \sin A/2}{4\cos C/2\cdot \cos...

Να δειχθεί ότι, ως $\mathbb{R}$ άλγεβρες, ισχύει:

$\displaystyle{\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C} \oplus \mathbb{C} \cong \frac{\mathbb{R} }{\langle x^2+1,y^2+1\rangle}}$

Έστω $\varphi$ ο χρυσός λόγος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle 4 \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^3}} - \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^6 - 1}} = \frac{\pi}{2}$

Έστω $\mathcal{F}_n$ ο $n$ - οστός αριθμός Fibonacci και $\mathcal{L}_n$ ο $n$ - οστός αριθμός Lucas. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{1}{\mathcal{F}_{2^n +1} \mathcal{L}_{2^n+1}} \right ) =...

Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$, όπου $0\notin\mathbb{N}$, για την οποία ισχύει η σχέση:

$f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))\:\:\:\forall n>2$

*Υ.Γ.: Αξίζει να σημειωθεί πως το παραπάνω πρόβλημα θυμίζει το 6.38 από το...

Έλαβα την ανακοίνωση στον σύνδεσμο

εδώ

με θέμα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΤΗΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2023-24 για σπουδές στο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ...

Δύσκολα θα βρεις μέσο.png Το βόρειο σημείο τομής των κύκλων $(O,4)$ και $(K,3)$ , ονομάσαμε $T$ . Το $S$ είναι ο νότιος πόλος

του $(O)$ και το τμήμα $ST$ τέμνει τον $(K)$ στο σημείο $M$ . Μπορούμε να κατασκευάσουμε το σχήμα

με τρόπο , ώστε το $M$...

Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a,b,x,y}$ είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και ισχύει:

$\displaystyle{(a^2 +b^2 )(x+y) =a+b+x+y+1}$

να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει το άθροισμα $\displaystyle{a+b+x+y}$