Ακραίες καταστάσεις.png $\bigstar$ Σημείο $S$ , κινείται στην πλευρά $BC$ του διαστάσεων $a\times b$ , ορθογωνίου

$ABCD$ . Η κάθετη του τμήματος $AS$ στο $S$ , τέμνει την $CD$ στο σημείο $T$ .

Υπολογίστε το ελάχιστο του $DT$ και το μέγιστο του...

Δύο γωνίες.png Στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο $S$ . Η παράλληλη από το $B$ , προς

την $SA$ , τέμνει την ακτίνα $OS$ στο σημείο $B$ . α) Υπολογίστε την γωνία $\widehat{SBT}$ .

β) Για ποια θέση του $S$ , προκύπτει :...

Ισότητα τμημάτων όχι , γωνιών ναι.png Από σημείο $S$ της κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το άκρο $A$ του μεγάλου άξονα

της έλλειψης $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ , φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα $SP$ . Εξετάστε εάν

είναι :...

LI Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Κέντρο Σείριος, Σότσι 16-22 Απριλίου 2025
Θέματα της δεύτερης μέρας για την 9η τάξη.

1. Έστω $P_{1}(x)$ και $P_{2}(x)$ δυο μονικά δευτεροβάθμια τριώνυμα, ενώ $A_{1}$ και $A_{2}$ οι κορυφές των παραβολών...

Άσκηση της κατηγορίας : Όποιος δεν έχει βάσανα και θέλει ν' αποκτήσει ...
Βάσανα.png Στην προέκταση της ακτίνας $BD$ , κύκλου $(B , r)$ , θεωρούμε σημείο $C$ , από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα $CA$ . Από το μέσο $M$ του $AC$ , φέρουμε :...

Δίνεται ένα τετράγωνο με κορυφές στα σημεία $(\pm1, \pm1)$. Υπάρχει άραγε στον άξονα των τετμημένων σημείο, οι αποστάσεις του οποίου από όλες τις κορυφές είναι ρητοί αριθμοί;

O Αγγλος Πουριτανός George Swinnock στο έργο του The Blessed and Boundless God σημειώνει ότι

“God is an infinite sphere, whose center is everywhere, and whose circumference is nowhere.”

Μετάφραση :

'Ο Θεός είναι μια άπειρη σφαίρα, της οποίας...

LI Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Κέντρο Σείριος, Σότσι 16-22 Απριλίου 2025
Θέματα της δεύτερης μέρας για την 11η τάξη.

1. Δίνεται ένας μη μηδενικός φυσικός αριθμός $n$. Οι φυσικού αριθμοί $1, 2, \ldots, n$ γράφονται στον πίνακα σε μια γραμμή με...

Δίνεται μη σταθερή παραγωγίσιμη συνάρτηση $ f \colon \to \mathbb{R} $
με συνεχή πρώτη παράγωγο και $ f(\alpha) = f(\beta)$

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $\gamma,\delta\in $ τέτοια ώστε $f(\gamma)=f(\delta)$ και $f^\prime(\gamma)\cdot...

.
Στις 3-4 Οκτωβρίου 2025 θα γίνει στην Λεμεσό της Κύπρου Διεθνές Συνέδριο με θέμα

Η ζωή και η συμβολή του Πυθαγόρα στα Μαθηματικά, τις Επιστήμες και τη Φιλοσοφία .

Περισσότερα στοιχεία εδώ

Για όσους θέλουν να συμμετάσχουν με ομιλία, η...

LI Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Κέντρο Σείριος, Σότσι 16-22 Απριλίου 2025
Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη.

1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι $777$ ανά δυο διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί. Προέκυψε ότι, ακριβώς με $760$ τρόπους μπορούμε να...

Γεωμετρικός μέσος και γεωμετρικός τόπος.png Στον ημιάξονα $Ox$ , βρίσκεται σταθερό σημείο $A$ , με : $OA=a$ . Στον ημιάξονα $Oy$ , κινείται

σημείο $B$ και έστω : $OB=b$ . Θεωρούμε σημείο $S$ του πρώτου τεταρτημορίου , τέτοιο ώστε :

$SB\perp OB$...

4 ακέραιοι και ένας ρητός.png
$\bigstar$ Οι πλευρές ισοσκελούς τριγώνου $ABC(AC=BC)$ και το ύψος $CD$ είναι μήκη

ακεραίων. Αν $AB=22,$ να βρείτε την ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου του κύκλου.

Έστω $ABC$ τρίγωνο. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{2}{\sqrt{3}} \sum \sin A \leq \sum \cos \frac{B-C}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \sum \sin A + \sum \cos \frac{A}{2} \right)}$

Ο λαγός τρέχει με τη χελώνα σε έναν αγώνα. Μετά από 10 λεπτά από την έναρξη ο λαγός σταματά και αρχίζει να κοιμάται. Η χελώνα περνάει από μπροστά του και ο λαγός συνεχίζει να κοιμάται για άλλες 3 ώρες. Όταν ο λαγός ξυπνά τρέχει σαν τρελός για να...

Μαθηματική ομορφιά...

$\displaytype 72301961339136 = (7 + 2 + 3 + 0 + 1 + 9 + 6 + 1 + 3 + 3 + 9 + 1 + 3 + 6)^8$

Ποια η καμπυλότητα $\kappa _\infty$ του κύκλου που βρίσκεται ανάμεσα και εφάπτεται εξωτερικά σε $n$ εξωτερικά εφαπτόμενους κύκλους καμπυλοτήτων $\kappa_1, ... , \kappa_n$;

Το πρόβλημα αυτό είχε επιλυθεί από τον Descartes για $n=3$ και παρέμενε...

Χωρίς φαντασία.png Τα σημεία $P' , S'$ είναι οι προβολές των $P , S$ , προς κάποια ημιευθεία του πρώτου τεταρτημορίου με αρχή το $O$

και εξίσωση : $y=\lambda x$ . Βρείτε το $\lambda$ ώστε το μέσο $M$ του $P'S'$ να είναι σημείο του κύκλου :...

Πρόβλημα. Ἔστω $f: \to\mathbb R^2$ συνεχὴς συνάρτηση, ὥστε

$\displaystyle{
f(1)-f(0) = (1,0).
}$

Δείξατε ὅτι διὰ κάθε $n\in\mathbb N,$ ὑπάρχουν $t_1,t_2\in $, ὥστε $f(t_2)-f(t_1)=(1/n,0)$.

Τὸ ἀνωτέρω ἔχει τὸ ἑξῆς πόρισμα:

Πόρισμα. Ἔστω...

Έστω $f$ ακέραια συνάρτηση η οποία δε μηδενίζεται σε κανέναν από τους κύκλους $|z|=n$, $n=1,2,3, \dots$. Επιπλέον ισχύει

$\displaystyle{\oint \limits_{\left| z \right| = n} \frac{\mathrm{d}z}{f(z)} \neq \oint \limits_{\left| z \right| = n + 1}...

Αν για τους θετικούς ακεραίους $a, b, c$ ισχύει ότι $(a + b + c)^2 | ab (a + b) + bc (b + c) + ca(c + a) + 3abc$, να αποδείξετε ότι $(a + b + c) |(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2.$

Συνάδελφοι, μαθητές και γονείς ελάτε να διαδράσουμε με όμορφα Μαθηματικά Παιχνίδια, Ιστορίες και Θεατρικά, που ετοίμασαν μαθητές για όλους,
το Σάββατο 5 Απριλίου 2025 ώρα: 09:30 - 14:30 στο 6ο Γυμνάσιο Αθηνών, Ζεύξιδος και Πυθέου, Αθήνα, πλησίον...

Δίνεται το εγγράψιμο σε κύκλο πεντάγωνο $\displaystyle{(ABCDE)}$, μια σταθερή ευθεία $\displaystyle{(e)}$ του επιπέδου αυτού,
ένα σταθερό σημείο $\displaystyle{A'}$ του επιπέδου του πενταγώνου εκτός της ευθείας $\displaystyle{(e)}$ και ένα...

.
Σε μια βδομάδα στην Ξάνθη θα φιλοξενηθεί το τριήμερο Φεστιβάλ Γρίφων το οποίο γίνεται κάθε χρόνο στο ακριτικό Καστελλόριζο και, επίσης, σε άλλους τόπους. Παλαιότερα είχε φιλοξενηθεί στην Αθήνα και στην Πάτρα.

Βλέπε λεπτομέρειες εδώ

Το...

Δίνεται εξάγωνο $ABCDE F$, στο οποίο $AF=CD, \quad BC=EF, \quad \angle A +\anle D=\angle B+\angle E=180^0$. Να αποδείξετε, ότι $2CF \geq AB+DE$.