Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί $\overline {abcd}$ οι οποίοι ικανοποιούν την ισότητα $\overline {abcd} = 2^{2a+b+2c+d}$.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Σε συνέχεια αυτού του θέματος δημοσιεύω ένα πιο εύκολο.

Έστω $n \in \mathbb{N}$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\psi^{(0)} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) = -\gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}}$

όπου $\psi^{(0)}$ η διγάμμα .

Με αφορμή αυτό και αυτό , προτείνω:

Αν $AB+CI=AC+BI$, όπου $I$ το έγκεντρο του $ABC,$ να δειχθεί ότι το $ABC$ είναι ισοσκελές.

Με αφορμή αυτήν .

Αν $I, G$ είναι το έγκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα, τριγώνου $ABC$ με περίμετρο $2s$ και ακτίνες

$r, R$ εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου, να δείξετε ότι $\displaystyle I{G^2} = \frac{1}{9}\left( {{s ^2} + 5{r^2} -...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 6ης τάξης για την 2η φάση, 19 Φεβρουαρίου 2023.

1. Μερικοί πειρατές μοίρασαν μεταξύ τους ένα θησαυρό: ο καθένας τους έλαβε πέντε πολύτιμους λίθους συνολικής αξίας $100000$ πιάστρων. Προέκυψε, ότι...

Καλησπέρα σε όλους. Το σχολικό βιβλίο δέχεται ότι οι πλευρικές παράγωγοι σε κάθε σημείο είναι ίσες ;

Δύο καμπύλες $\,\,{x^3} - x\,\,\,$ και $\,\,{x^2} - a\,\,\,$ τέμνονται στα σημεία $\,\,S\,\,\,$ και $\,\,P\,\,\,$. Όμως στο$\,\,P\,\,\,$ έχουν κοινή

εφαπτομένη. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από αυτές τις καμπύλες.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 8ης τάξης για την 2η φάση, 19 Φεβρουαρίου 2023.

1. Στην βάση $AD$ τραπέζιου $ABCD$ βρέθηκε τέτοιο σημείο $E$, ώστε $AE=EC$ και $BE=ED$. Να αποδείξετε, ότι το σημείο τομή των διαγώνιων του...

Οριζόντια από κάθετες.png Θέμα της κατηγορίας : Όποιος δεν έχει βάσανα : Το $B$ είναι το μέσο του τμήματος $AC$ και το $O$ του $AB$ .

Στο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ κινούνται σημεία $S , T$ , ώστε : $OS \perp OT$ . Οι $CT , CS$ , ξανατέμνουν

το...

Έλαβα την παρακάτω ανακοίνωση για το πλούσιο φάσμα των Υποτροφιών Fullbright 2024-2025. H πλατφόρμα τους για ηλεκτρονικές αιτήσεις ανοίγει σήμερα. Επισηνάπτω και σχετικό συνημμένο.

Πρόγραμμα Υποτροφιών Fulbright για Έλληνες Πολίτες
Ακαδημαϊκού...

them_mathimatika_epan_230909-1.pdf

Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου.png

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και σημείο $O$ στο εσωτερικό του. Έστω ${A}'\,\,{B}'\,\,{C}'$ τα σημεία

τομής των $AO,\,\,BO,\,\,CO$ με τις πλευρές $BC,\,\,CA,\,\,AB$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι:

(α)...

Εγγεγραμμένο _ Περιγεγραμμένο.png

Έστω $ABCD$ ένα εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο τετράπλευρο. Έστω $P$ ένα τυχαίο σημείο της πλευράς $CD$ ($P$ διαφορετικό από

τα $C$ και $D$). Έστω $K,\,\,L$ τα έγκεντρα των τριγώνων $PDA$ και $PBC$ αντίστοιχα,...

Ένα άρθρο των Times του 2018 για την ζωή των εκπαιδευτικών στις ΗΠΑ και τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν. Βάζω το πρωτοσέλιδο που συνοψίζει το άρθρο σε μια φωτογραφία.
Φαντάζομαι και οι Έλληνες εκπαιδευτικοί θα έχουν ανάλογες δυσκολίες.

Άρθρο...

Έφυγε πριν λίγες ημέρες ο John Warnock ιδρυτής της εταιρείας ADOBE και δημιουργός του δημοφιλούς λογισμικού PDF η Portable Document Format. Το οποίο φαντάζομαι έχουν χρησιμοποιήσει οι περισσότεροι απο εμάς.
Πρώτο πτυχίο του τα Μαθηματικά

Σχετικά...

Να αποδείξετε, ότι ο κύκλος Euler του τριγώνου που σχηματίζεται από τις διαγώνιους ενός πλήρους τετράπλευρου διέρχεται από το σημείο Miquel αυτού.

Screenshot 2023-08-25 at 23.12.43.png

Να αποδείξετε, ότι αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=f(x)$ έχει πάνω από ένα κέντρα συμμετρίας, τότε θα βρεθεί γραμμική συνάρτηση $l(x)$ και περιοδική συνάρτηση $p(x)$, ώστε $f(x)=l(x)+p(x)$.

Για Γ' Λυκείου

Στο χώρο δίνονται τέσσερα σημεία $A, B, C$ και $D$. Αν $\angle BAD=\angle BCD = \alpha $, $\angle ABC=\angle ADC= \beta$ και $AB \neq CD$, να βρείτε τον λόγο $\dfrac{AC}{BD}$.

Screenshot 2023-08-19 at 11.41.01.png

Η τεχνητή νοημοσύνη αρχίζει και δημιουργεί θέματα στην λειτουργία των πανεπιστήμιων ως προς την πατρότητα των ακαδημαϊκών εργασιών που ανατίθενται στους φοιτητές. Στο άρθρο παρακάτω περιγράφεται η αντίδραση ενός Έλληνα πανεπιστημιακού σε αυτό το...

Μια που ανέλαβε καινούρια πολιτική ηγεσία στο Υπουργείο Παιδείας να θυμίσουμε ένα κομμάτι της έκθεσης του κ.Πισσαριδη για την εκπαίδευση

Ψηφιακές δεξιότητες για όλους

Μια απαιτούμενη αλλαγή που αφορά όλες τις βαθμίδες του εκπαιδευτικού...

Μεγαλομανία 2.png Στο εξωτερικό του κύκλου $(O,3)$ βρίσκεται σημείο $S$ , με : $OS=8$ . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $SA$

και την μεταβλητή τέμνουσα $SCB$ . Ενδιαφερόμαστε για το μέγιστο του εμβαδού , του τριγώνου $ABC$ .

Έστω $\mathcal{G}_1$, $\mathcal{G}_2$ πεπερασμένες αβελιανές ομάδες και έστω $\mathcal{G} = \mathcal{G}_1 \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{G}_2$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = \frac{\left...

Μετά την ανακοίνωση των βάσεων, ας δούμε όπως κάθε χρονιά τα Μαθητικά τμήματα στην Ελλάδα...

Στα εντυπωσιακά οι κενές θέσεις και το γεγονός ότι το ΑΠΘ πέρασε το ΕΚΠΑ...

Καλημέρα σε όλους!
26-7 Τριχοτόμος...png
Στο σχήμα , το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο και η $AE$ τριχοτόμος της $\widehat{A}$ με $\widehat{BAE}=40^o$ , ενώ $BZ=2CE$

Αν ο κύκλος των $B,E,Z$ τέμνει την $AE$ και στο $H$ , η δε $CH$ επανατέμνει τον...

Μελετώντας για την Υπερβολική Γεωμετρία, έχω μπερδευτεί λίγο. Μπορούμε να έχουμε υπερβολικό τόπο σε σφαίρα Riemann ; Δεν ισχύει σφαίρα Riemann - θετική καμπυλότητα - ελλειπτική Γεωμετρία ; ... και Υπερβολική Γεωμετρία σε επιφάνεια αρνητικής...