Μια $\lambda$ ακολουθία είναι μια άπειρη ακολουθία πολύπλοκων αριθμών, ώστε αν ο διαχειριστής ακολουθιών Culver διαγράψει όλα τα Ο και αντικαταστήσει κάθε υπολειπόμενο αριθμό x με

$x - 3 + \frac{1}{x}$

τότε λαμβάνει την ίδια ακολουθία με εκείνη...

Τρίγωνο - αερόστατο .png

Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με $AC>AB$ και $\left( O \right)$ ο περίκυκλός του με $O$

το περίκεντρο. Τον $\left( O \right)$ επανατέμνει στο $D$ η κάθετη από το $A$ προς την $BC$ ενώ

οι εφαπτόμενές του στα $B,C$...

Δεν σας σώζει τίποτα.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , η διχοτόμος $BD$ και η διάμεσος $CM$ , τέμνονται στο σημείο $S$.

Αν $BC=10$ και : $BD=AM$ , υπολογίστε την πλευρά $AB$ και εν συνεχεία τον λόγο : $\dfrac{BS}{SD}$ .

Αν παρατηρήσατε κάτι ,...

Μέγιστο μήκος .png

Εκφώνηση: Ό,τι υπάρχει στο σχήμα.

Τρίγωνο και παράκεντρο .png

Έστω ${{I}_{a}}$ το κέντρο του εντός της γωνίας $A$ (τριγώνου $ABC$) παρεγγεγραμμένου

κύκλου και $K$ το συμμετρικό του ${{I}_{a}}$ ως προς την $BC$. Ο κύκλος $\left( {{I}_{a}},\,\,A{{I}_{a}} \right)$ τέμνει

τον...

Έχω μια ερώτηση σχετικά με τους p-αριθμούς που σχετίζονται με το τελευταίο θεώρημα του Fermat.

Ας:

$\displaystyle{x^p = y^p + z^p}$
$\displaystyle{ \gcd(x,y,z) = 1}$
$\displaystyle{xyz \not \equiv 0 \pmod p}$
$\displaystyle{x^{p-1} \equiv y^{p-1}...

Συνοπτικά, θα ήθελα οδηγίες για τυπικές συνταγές κλειστής μορφής ή αποτελεσματικούς αλγόριθμους για τον υπολογισμό _αντιστρόφου_ των μετασχηματισμών σιν, συν, ή Hartley της βάσης B-Spline. Η κίνητρο, όπως εξηγείται παρακάτω, προέρχεται από την...

Για δυο μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς $a,b$ η συνάρτηση $f(x)$ ορίζεται ως

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix}
2x^3-6x+1 \quad \quad \quad \quad (x \leq 2)
\\
a(x-2)(x-b)+9 \quad (x>2)
\end{matrix}\right.}$.

Για έναν πραγματικό αριθμό $t$...

Καλημέρα σας.
Με χαρά δημοσιεύουμε το κείμενο της εργασίας μας σχετικά με την οπτικοποίηση μαθηματικών εννοιών.
Δημοσιεύτηκε πριν λίγες ημέρες στο τεύχος 98-99 του Ευκλείδη Γ.
Ελπίζουμε να σας φανεί ενδιαφέρον.
Σας ευχαριστούμε εκ των προτέρων για...

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2R.$ Φέρνουμε χορδή $\Gamma \Delta =2\lambda$ παράλληλη στην $AB.$
Ζητείται να βρεθεί
α) ο όγκος που παράγεται από το μικτόγραμμο χωρίο $AB\Gamma \Delta A $ όταν περιστραφεί γύρω από την $AB.$
β) ποια σχέση πρέπει να...

Θέλω να βρω μια κλειστή μορφή για τη μέση τιμή του $\cos\{t-\cos t\}$ όπου $\{n\}$ δηλώνει το κλασματικό μέρος του $n$. Δεν έχω εμπειρία στο να βρίσκω μέση τιμή σε έναν άπειρο πεδίο, αλλά υποθέτω ότι θα ήταν κάτι σαν αυτό:...

Ερώτηση: Είναι δυνατόν να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\displaystyle{
\int\limits_0^\infty \int\limits_0^\infty\frac{\cos\frac{\pi}2
\left(nx^2-\frac{y^2}n\right)\cos \pi xy}{\cosh \pi x\cosh \pi y}dxdy,~n\in\mathbb{N}\tag{1}
}$
χρησιμοποιώντας τη...

To παρακάτω θέμα βρέθηκε ψάχνοντας...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του.
Έστω $D,E,F$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$
με τις πλευρές $BC,CA,AB$ αντίστοιχα.
Η $AD$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο...

Ελπίζω να έκανα την ερώτηση στο σωστό μέρος

Για $s\in \mathbb{C},\Re(s)>1 $, θεωρήστε:
$\displaystyle{\prod_{k=1}^{\infty}\prod_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1-n^{-ks}}= \prod_{k=1}^{\infty}...

Έστω:

$\displaystyle{A=(x+30)^2 + (x+33)^2 -2. (x^2 +63x -17,5)}$

Να βρείτε την αριθμητική τιμή του $\displaystyle{A}$ , αφού αντικαταστήσετε το $\displaystyle{x}$ με όποιον αριθμό εσείς επιθυμείτε.

ΣΗΜ : Παιδιά, η άσκηση φαίνεται μαγική ....

Έλλειψη και κύκλος.png

Έστω $a,b$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Δίνονται ο κύκλος ${{C}_{1}}:{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}$

και η έλλειψη ${{C}_{2}}:{{x}^{2}}+\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$.

(1) Βρείτε τη συνθήκη...

Έστω
$\displaystyle{
I(R)=\iint_{x^2+y^2 \leq R^2}\left(\frac{1+2 x^2}{1+x^4+6 x^2 y^2+y^4}-\frac{1+y^2}{2+x^4+y^4}\right) d x d y .
}$

Βρείτε το όριο:

$\displaystyle{
\lim _{R \rightarrow \infty} I(R),
}$
ή αποδείξτε ότι αυτό το όριο δεν...

Μία γενίκευση και από τη θέση αυτή ενός γεωμετρικού θέματος με εισηγητή τον Θανάση Καραντάνα (ΚΑR KAR).

Έστω $A, B$ τα σημεία τομής δύο κύκλων που τα κέντρα τους ευρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας $AB$. Θεωρούμε τυχούσα τέμνουσα $SBP$ και σημείο...

(Κάνει και για Junior).

Σε ένα σχολείο υπάρχουν $100$ μαθητές και $50$ θρανία στα οποία μπορούν να κάτσουν δύο μαθητές την φορά. Οι μαθητές αποφάσισαν κάθε μέρα να κάθονται όπου θέλουν γιατί ο στάχος τους είναι, αργά ή γρήγορα, ο καθένας να κάτσει...

Για τον ορισμό και βασικές τις ιδιότητες των αριθμών Dedekind, βλέπε στην Wikipedia εδώ .

Για τον προσδιορισμό με υπερυπολογιστές του $D(9) = 286 .386 .577. 668 .298. 411 .128.469 .151. 667 .598. 498 .812 .366$ βλέπε

εδώ και εδώ

Ας γράψω δυο λόγια για την ιστορία της άσκησης αυτής .

Παράξενη ισότητα συμπλ.png Το ξεκίνημα ήταν άσκηση από διαγωνισμό , της οποίας το ζητούμενο ήταν να δειχθεί ότι : $AE\cdot AB = EC\cdot BD $

Αξιοποιώντας το σχήμα και την εμφανή ισότητα :...

Υποθέτουμε ότι τα $X_1,X_2,\ldots, X_n$ είναι ισόνομες και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με συνεχή πυκνότητα $f(x)$, η οποία ορίζεται σε όλο το $\mathbb{R}$. Έστω $s(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log\mathbb{P}(\overline{X}>x)$ και...

Τρίγωνο και τρεις κύκλοι.png

Τριγώνου $ABC\,$ δίνεται ο περίκυκλός του, δύο κύκλοι $\left( K \right)$ και $\left( L \right)$ οι οποίοι

εφάπτονται εσωτερικά με τον περίκυκλο στα $M\,$ και $N\,$ αντίστοιχα. Επιπλέον

ο $\left( K \right)\,$...

Γεια σε όλους! θα ήθελα να ρωτήσω κάτι σχετικό για την σχολή ΣΕΜΦΕ, όποιος γνωρίζει. Ένας γνωστός μου είπε πως σε μια διάλεξη, ένας καθηγητής της ΣΕΜΦΕ ανήγγειλε πως θα υπάρξει νέα ροη στη σχολή, με θέμα τη Μηχανική Μάθηση. Δεν μπορώ όμως να βρώ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\setminus\mathbb Q\to \mathbb Q$ συνεχής. Δείξατε ὅτι ὑπάρχει ἀριθμήσιμη οἰκογένεια, ξένων ἀνὰ δύο ἀνοικτῶν διαστημάτων $\{I_n\}$, ὥστε:

(i) Ἡ $f$ περιορισμένη στὸ $I_n\cap(\mathbb R\setminus\mathbb Q)$ εἶναι σταθερή, γιὰ...