Μετά τον Πάπα που είναι μαθηματικός έχουμε και πρόεδρο Μαθηματικό στην Ρουμανία.Και με 2 χρυσά στην ΙΜΟ... :roll:

Δίνεται η εξίσωση : $\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{x+3}+\dfrac{4}{x+4}=\dfrac{m}{x+n} , m,n \in \{ 5 , 6 , 7 , 8 ,... \}$ .

α) Βρείτε την τιμή του $m$ , για την οποία η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες άνισες .

Με δεδομένο ότι το $m$ είναι αυτό που...

Δίνεται $C^{1}$ συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ η οποία:

$\bullet$ έχει απείρου πλήθους κρίσιμα σημεία

$\bullet$ δεν είναι σταθερή σε κανένα μη τετριμμένο διάστημα.

Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των δεξιά απομονωμένων κρισίμων σημείων...

(Αναρτώ εκ νέου την παρακάτω άσκηση και την λύση της, γιατί σβήστηκε για κάποιον τεχνικό λόγο).

Έστω $a_1, a_2, \, ... \,, \, a_n \ge 0$ και $a_1+ a_2 + ... + a_n =1$.

Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης $a_1 a_2 + a_2a_3+a_3a_4+ ... +a_{n-1} a_n...

Στο συνημμένο αρχείο θα βρείτε την εργασία μας (μαζί με τη Μαρία Σαμπάνη και τον Χρήστο Κυριαζή) στην 15η Μαθημακή εβδομάδα με τίτλο:

Παραβολές και γνώση: καινοτόμες προσεγγίσεις στη διδασκαλία των μαθηματικών

Δυστυχώς, δεν υπάρχουν ακόμα...

Η παρούσα είναι γενίκευση της

Θεωρούμε $n>1$ και $x,\alpha,\beta,\gamma,\delta>0$ με
$\alpha+\beta=\gamma+\delta$ και
$\alpha^{1-n}+\beta^{1-n}>\gamma^{1-n}+\delta^{1-n}$

Να αποδειχθεί η ανισότητα:

$\sqrt {\alpha^n+x^n}+\sqrt {\beta^n+x^n} >...

Δημιουργία επαφής.png Η γραφική παράσταση της συνάρτησης : $f(x)=a-\dfrac{x^2}{4a}$ τέμνει τον $x'x$ στα σημεία $B , C$ . Οι εφαπτόμενες

της καμπύλης στα $B , C$ τέμνονται στο σημείο $A$ . Σε τυχόν σημείο $S$ του τμήματος $BC$ , υψώνω την κάθετη ,...

ΓΙΓΑΝΤΙΟ ΕΥΧΑΡΙΣΤΏ
Αγαπητοί φίλοι.
Μετά τη συγκέντρωση του μεγαλύτερου μέρους των σχολίων που αυθόρμητα έχετε εκφράσει κατά διαστήματα για μένα και το έργο μου στη Γεωμετρία και κάνοντας τον σχετικό απολογισμό μου, δεν έμεινα ασυγκίνητος μπροστά...

Δίνονται οι μη αρνητικοί αριθμοί

$\displaystyle{a_1, a_2, a_3,..., a_{n-1}, a_n }$

οι οποίοι ικανοποιούν την ακόλουθη σχέση:

$\displaystyle{a_1+a_2+a_3+...+a_n=1 }$

Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης:...

Κατ ' ελάχιστον.png $\bigstar$ Η ευθεία : $y=-2x+3$ τέμνει τον $x'x$ στο σημείο $B$ . Άλλη ευθεία με αρνητική κλίση , διερχόμενη από το σημείο

$S(2,3)$ , τέμνει την προηγούμενη στο $A$ και τον $x'x$ , στο $C$ . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του...

Παραθέτω την εισήγηση μου στην αποψινή παρουσίαση (ΔΕΒΘ 9-5-2025) του βιβλίου του Τεύκρου Μιχαηλίδη ΠΙΣΩ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΠΛΟ :

Πέρα από το πέπλο του τίτλου, το θεϊκό πέπλο που οι μαθηματικοί επιθυμούν ή και οφείλουν να ανασηκώσουν προς ανακάλυψη της...

Τρεις φίλοι Α , Β , Γ είχαν από ένα ποσόν χρημάτων. Ο Β είχε $17$ ευρώ περισσότερα από τον Α και ο Γ 5 ευρώ λιγότερα από τον Α.
Έδωσαν στη συνέχεια και οι τρεις τα χρήματά τους στο Πέτρο ο οποίος τους τα μοίρασε ως εξής:
Στον Α έδωσε το...

Γωνία από διαφορά γωνιών.png $\bigstar$ Υπολογίστε την γωνία $\theta$ , αν είναι γνωστό ότι : $\omega -\phi=30^{\circ}$ . ( Την ώρα αυτή βγαίνει στο μπαλκόνι ο νέος πάπας )

Παραθέτω μια εργασία μου, οχτώ περίπου σελιδων, σχετικά με

την κύλιση μιας έλλειψης επί μιας άλλης, και αναζήτηση γεωμετρικών

τόπων την οποία έχω αναρτήσει στην ιστοσελίδα εισάτοπον του

αγαπητού φίλου μου Σωκράτη Ρωμανίδη, ο οποίος ακούραστα...

Κατά την διάρκεια της επικείμενης έκθεσης βιβλίου στην Θεσσαλονίκη θα υπάρχει εκδήλωση με ομιλητές τους φίλους
Γιώργο, Γιάννη και Τεύκρο, που ανέφερα.

Οι ομιλίες θα γίνουν την

Παρασκευή 9 Μαΐου, 21.00
ΠΕΡΙΠΤΕΡΟ 15, στην ΑΙΘΟΥΣΑ ΑΝΑΓΝΩΣΤΑΚΗ

Το...

Χθες στη Λάρισα πραγματοποιήθηκε ημερίδα με θέμα τα Μαθηματικά στις πανελλαδικές εξετάσεις που διοργάνωσε το παράρτημα της Μαθηματικής Εταιρείας της Λάρισας.

Συμμετείχα μαζί με τη Μαρία Σαμπάνη και τον Χρήστο Κυριαζή και στον σύνδεσμο είναι η...

Δίνονται συναρτήσεις $f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες γνωρίζουμε ότι

$\lim\limits_{x\to x_o}g(x)=u_o\in\mathbb{R}$ (*)
$\lim\limits_{x\to x_o}f(g(x))=\ell\in\mathbb{R}$ (**)

Να βρεθεί ποια είναι η αναγκαία συνθήκη που πρέπει να...

Δίνεται συνάρτηση $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που ικανοποιεί τις ιδιότητες:

$\bullet$ $\lim\limits_{x\to x_o}g(x)=u_o\in\mathbb{R}$

$\bullet$ Για κάθε $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ και για κάθε $\ell$ ισχύει η συνεπαγωγή...

Παραθέτω μια εργασία μου την οποία ανάρτησα πρόσφατα στο eisatopon του

φίλου μου Σωκράτη Ρωμανίδη.

Κύλινδρος και μυρμήγκι 1.png

Η εργασία αφορά την ελάχιστη απόσταση μεταξύ δυο σημείων τα οποία βρίσκονται

στην κυρτή επιφάνεια ενός κυλίνδρου...

Πρόβλημα. Ἔστω διαφορίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb R\to\mathbb R$, ὥστε $|f'(x)|=|f{(x)|,$ διὰ κάθε $x\in\mathbb R$. Τότε συμβαίνει ἀκριβῶς ἕνα ἀπὸ τὰ κάτωθι:
$(i)$ Ἡ $f$ εἶναι ταυτοτικῶς μηδενική.
$(ii)$ Ὑπάρχει $c\ne 0,$ ὥστε $f(x)=c e^x$, διὰ κάθε...

Πρόβλημα. Ἔστω $f:(0,\infty)\to\mathbb R,$ συνεχὴς, καὶ ἔστω

$\displaystyle{
\lim\inf_{x\to\infty}f(x) \le s \le \lim\sup_{x\to\infty}f(x).
}$

Δείξατε ὅτι ὑπάρχει $x>0$ καὶ αύξουσα ἀκολουθία ἀκεραίων $\{k_n\}$, ὥστε $f(k_n x)\to s$.

Πρόβλημα. Ἔστω $f: \to\mathbb R$ συνεχὴς καὶ $a\ge\pi$. Ἂν

$\displaystyle{
f(x)+\frac{\sin\big(\pi f(x)\big)}{a} \ge 2x,
}$

διὰ κάθε $x\in $, δείξατε ὅτι $\int_0^1 f(x)\,dx\ge 1$.

Δύο γωνίες.png Στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο $S$ . Η παράλληλη από το $B$ , προς

την $SA$ , τέμνει την ακτίνα $OS$ στο σημείο $B$ . α) Υπολογίστε την γωνία $\widehat{SBT}$ .

β) Για ποια θέση του $S$ , προκύπτει :...

Άσκηση της κατηγορίας : Όποιος δεν έχει βάσανα και θέλει ν' αποκτήσει ...
Βάσανα.png Στην προέκταση της ακτίνας $BD$ , κύκλου $(B , r)$ , θεωρούμε σημείο $C$ , από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα $CA$ . Από το μέσο $M$ του $AC$ , φέρουμε :...

O Αγγλος Πουριτανός George Swinnock στο έργο του The Blessed and Boundless God σημειώνει ότι

“God is an infinite sphere, whose center is everywhere, and whose circumference is nowhere.”

Μετάφραση :

'Ο Θεός είναι μια άπειρη σφαίρα, της οποίας...