Περίεργη ισότητα.png Με κέντρο το άκρο $B$ , της διαμέτρου $AOB=4r$ , ενός κύκλου , γράφουμε τον κύκλο $(B,r)$ ,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο - βόρεια - στο σημείο $T$ . Η εφαπτομένη του μεγάλου κύκλου στο $T$ ,

τέμνει τον μικρό στο σημείο $S$ ,...

Σε αυτήν την συζήτηση μπορούμε να σχολιάσουμε (η επίλυσή τους συζητείται εδώ ) τα φετινά θέματα μαθηματικών 2023 για τα ημερήσια Γ.Ε.Λ. Παρακαλείσθε όπως ο σχολιασμός -κριτική να βασίζεται σε επιστημονικά επιχειρήματα, να είναι ευπρεπής και να μην...

α) Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, η οποία δεν είναι 1-1, αλλά ο περιορισμός της στους άρρητους είναι 1-1.
β) Έχουμε το ίδιο συμπέρασμα αν αντικαταστήσουμε τους άρρητους με ρητούς;
(Για το δεύτερο...

Έστω τρίγωνο $ABC$ με περιγεγραμμένο κύκλο $c_1$ και έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται στις $BC, CA, AB$ στα $D, E,F$. Έστω $M$ το μέσο του τόξου $BAC$. Ακόμα έστω $N$ σημείο του τμήματος $EF$ ώστε $EF\perp DN$. Η $MN$ τέμνει τον $c_1$...

660066.png

Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο $ABCD$ του σχήματος είναι τετράγωνο πλευράς $\alpha$ και το σημείο $M$ μέσο της $BC$.
Ο κόκκινος κύκλος ακτίνας $R$ εφάπτεται της $AB$ και του ημικύκλιου στο σημείο $E$ (όπου $E$ το σημείο
τομής της $AM$ με...

Στο εσωτερικό κυρτής γωνίας $\widehat{O}$ έχουμε σημείο $S$

Γωνία σταθερού μέτρου με κορυφή το $S$ περιστρέφεται και οι πλευρές της τέμνουν τις πλευρές της γωνίας $\widehat{O}$ στα σημεία $P , T$ , σχηματίζοντας το κυρτό τετράπλευρο $TOPS$ .

α) το...

Για οξείες γωνίες $\theta ,\omega$ να αποδείξετε ότι:

$ \displaystyle \frac{\cos 2\omega \sin \left ( \theta +\omega \right )+2\cos \theta \cos \omega }{2\cos \theta \cos \omega -\sin 2\omega \sin \left ( \theta +\omega \right )}=\frac{1+\cos...

Στο παρακάτω σχήμα δίδονται τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\Gamma$ με $\mathrm{B} \Gamma =2 \mathrm{AB} = 2x$ . Στο ημικύκλιο διαμέτρου $3x$ παίρνουμε σημείο $\Delta$ τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $\Delta \mathrm{A}$...

perp2.png Στο κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ ισχύει $\angle ABC = \angle ADC$ (και όχι ορθές). Τα σημεία $M$ και $N$ είναι τα ίχνη των καθέτων, που άγονται από την κορυφή $A$ στις $BC$ και $CD$ αντίστοιχα, και $K$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $MD$...

Ολα σχεδόν μεταβλητα.png

Δίδεται ( Νότιο ) ημικύκλιο κέντρου $O$ και μεταβλητής διαμέτρου $DC$.

Στη (Βόρεια) ημιεφαπτομένη του ημικυκλίου στο $D$ θεωρούμε τυχαίο σημείο $A$.

Ο κύκλος $\left( {C,CA} \right)$ τέμνει την ημιευθεία $CD$ στο $B$....

Ανεξήγητος λόγος.png Το ένα από τα σημεία τομής των ( άνισων ) κύκλων $(O,r)$ και $(K,R)$ ονομάσαμε $A$ . Σχεδιάζουμε

το πλησιέστερο προς το $A$ , κοινό εφαπτόμενο τμήμα $CD$ και παράλληλη προς αυτό διερχόμενη από

το $A$ , η οποία τέμνει τους...

Σταθερό γινόμενο τμημάτων.png
Δίνεται κύκλος διαμέτρου $AOB=2R$ και έστω $M$ το μέσο της ακτίνας $OB.$ Τυχούσα χορδή $KL$ διέρχεται από το

$M.$ Η εφαπτομένη του κύκλου στο $B$ τέμνει τις $AK, AL$ στα $S, T$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το γινόμενο...

Εντοπισμός σημείου σε ημικύκλιο.png
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και ημιευθεία $Bx$ που τέμνει το ημικύκλιο. Να εντοπίσετε σημείο $S$ του

ημικυκλίου, ώστε αν $T$ είναι η προβολή του στη διάμετρο, η $Bx$ να διέρχεται από το μέσο $M$ του $ST.$

Διάκεντρος.png Το ένα από τα σημεία τομής των κύκλων $(O,2)$ και $(K,3) $ , ονομάσαμε $A $ , από το οποίο φέραμε

τα εφαπτόμενα τμήματα $AB , AC$ . Αν : $(ABC)=(AOK)$ , υπολογίστε την διάκεντρο $OK$ .

Μεγάλες κατασκευές 112.png Εντοπίστε σημείο $A$ εκτός του ημικυκλίου διαμέτρου $BOC=6$ , τέτοιο ώστε αν η $OA$ ,

τέμνει το τόξο στο σημείο $S$ , να είναι : $AS=2$ και ( κυρίως ! ) : $\widehat{BAS}=\widehat{BCS}$ .

Καλό βράδυ σε όλους! Η αφορμή για τη δημιουργία του παρόντος , ΕΔΩ
4-6 Αξία λόγου.png
Τα $S,L$ ανήκουν στο ημικύκλιο, ενώ τα $T,Z$ στη διάμετρό του $AB$ , ώστε $SET \perp AB$ και $LHZ \perp AB$.

Τα $A,E,L$ είναι συνευθειακά, όπως και τα...

Αν $\mu = \alpha^x$, $\nu = \alpha^y$ και $\alpha^2 = \left( \mu^y \nu^x \right)^z$, να δειχθεί ότι $xyz=1$ όπου $\alpha, x, y,z \mu , \nu$ θετικοί αριθμοί με $\alpha \neq 1$.

Ο έγκυκλος τριγώνου $ABC$ εφάπτεται της πλευράς $BC$ στο $D$ και επανατέμνει την ευθεία $AD$ στο $M$.

Πάντα ισχύει ότι $ \displaystyle \cot \angle DMC=\frac{\displaystyle 3\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}+\sin \frac{B}{2}\cos...

Τα θέματα της χθεσινής εξέτασης των ΕΠΑΛ. Η ανάρτηση γίνεται με μία μέρα καθυστέρηση γιατί χθές ήμουν εξεταστής στούς φυσικώς αδυνάτους στη Θεσ/νίκη και δεν είχα πρόσβαση σε υπολογιστή για όλη την ημέρα.

Τα θέματα ήταν βατά και μόνο τα Γ1 και...

Μεγάλες κατασκευές 111.png Μπορούμε άραγε να κατασκευάσουμε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , στο οποίο η διάμεσος $BM$

να διχοτομεί τη γωνία την οποία σχηματίζει η διχοτόμος $BD$ με την υποτείνουσα $BC$ ;

Το πράσινο εμβαδόν.png
Το $\vartriangle ABC$ είναι ισόπλευρο . Να βρείτε το εμβαδόν του $\vartriangle SBC$.

Έχει τριγωνομετρική αλλά και αμιγώς γεωμετρική λύση.

Αν $a,b\neq 2k\pi$ να αποδειχθεί ότι
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{cos(an)-cos(bn)}{n}=ln\left (\left | \frac{sin\frac{b}{2}}{sin\frac{a}{2}} \right |\right)$

Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re $ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} 4ac$