Όσο το δυνατόν ψηλότερα.png Πάνω στην εφαπτομένη του κύκλου $(O,r)$ στον βόρειο πόλο του $N$, θεωρούμε σημείο $P$ , το οποίο

συνδέουμε με τη Δύση $W$ του κύκλου . Θεωρούμε τώρα σημείο $S$ , νότια του $W$ και τέτοιο ώστε :...

Με αφορμή αυτό , προτείνω:

Να χαρακτηρισθούν τα τρίγωνα $ABC$ για τα οποία ισχύει η $AB+CH=AC+BH$, όπου $H$ το ορθόκεντρο του $ABC.$

Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο . Από το $D$ θεωρώ ευθεία που τέμνει:

1. Την διαγώνιο $AC$ στο $S$,

2. Την πλευρά $BC$ στο $T$ και

3. Την προς το $B$ προέκταση της $AB$ στο σημείο $E$.
Ιδιόμορφη κατασκευή.png

Είναι : $ST =...

Ο Ντέμης Χασάμπης είναι επιστήμονας ΗΥ προερχόμενος απο την Κύπρο και παίζει σημαντικό ρόλο στις εξελίξεις της Τεχνητής Νοημοσύνης σε παγκόσμιο επίπεδο. :!:

Άρθρο ==>

Μια ενδιαφέρουσα συνέντευξη του στον Lex Friedman ==>

Η ιστοσελίδα αργεί να φορτώσει σε σχέση με άλλες.
Το ίδιο και στο εσωτερικό της στην εναλλαγή σελίδων.

Σε παραλληλόγραμμο $ABCD$ είναι , $BC = 10$. Έστω σημείο $E$ της πλευράς $AD$ με $AE = 2.$

Ας είναι $Z$ η προβολή του $B$, στην $EC$. Αν $EZ = 12$ και $DE = CZ$, να βρεθεί το $\left( {DEC} \right)$.

Κάθετες ευθείες .png

Έστω $WY$ και $XZ$ δύο τεμνόμενες στο $O$ ευθείες. Τα σημεία ${{G}_{1}},\,\,{{G}_{2}}$ είναι τα

κέντρα βάρους των τριγώνων $WXO,\,\,YZO$ αντίστοιχα, ενώ τα σημεία ${{H}_{1}},\,\,{{H}_{2}}$ είναι

τα ορθόκεντρα των τριγώνων...

Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί $\overline {abcd}$ οι οποίοι ικανοποιούν την ισότητα $\overline {abcd} = 2^{2a+b+2c+d}$.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.

$ABCD$ ορθογώνιο

$PS$ τόξο $210^{\circ}$

να υπολογίσετε το μήκος $x$

Η ακτινα του τοξου ειναι 20

Καλημέρα σας, με ύλη Α' Λυκείου μέχρι δυνάμεις και ταυτότητες, να συγκρίνετε τους αριθμούς $A=\frac{10^{2011}-1}{10^{2012}-1}$ και $B=\frac{10^{2012}-1}{10^{2013}-1}$.

8889.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, να βρεθεί το μέτρο της γωνίας $\theta$.

1. Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{y=\frac{x^2}{2}}$ (I) και $\displaystyle{y=\lambda x-1-\frac{\lambda}{2}}$ (II) .
α) Να γίνει η γραφική παράσταση της (I) και της (II) για $\displaystyle{\lambda={\color{red}-}1}$ και...

Έστω $n \in \mathbb{N}$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\psi^{(1)} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) = \frac{\pi^2}{2} - 4 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left ( 2k-1 \right )^2}}$

όπου $\psi^{(1)}$ η τριγάμμα .

Χρόνια πολλά στις εορτάζουσες και στους εορτάζοντες. Στον φίλο Στάθη Κούτρα τις καλύτερες ευχές μου.

Σε συνέχεια αυτού του θέματος δημοσιεύω ένα πιο εύκολο.

Έστω $n \in \mathbb{N}$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\psi^{(0)} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) = -\gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}}$

όπου $\psi^{(0)}$ η διγάμμα .

Έστω $\mathcal{F}_n$ ο $n$ - οστός αριθμός Fibonacci και $\mathcal{L}_n$ ο $n$ - οστός αριθμός Lucas. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{1}{\mathcal{F}_{2^n +1} \mathcal{L}_{2^n+1}} \right ) =...

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=3}^{\infty} \left ( 1 - \tan^4 \frac{\pi}{2^n} \right ) = \frac{\pi^3}{32}}$

Δείξτε ότι τα σύνολα $\displaystyle{\left \{ n \in \mathbb Z \left | \dfrac {n^{100} + 3}{2n^2}\in \mathbb Z \right \}, \, \left \{ n \in \mathbb Z \left | \dfrac {n^{100} + 5}{3n^2}\in \mathbb Z \right \}}$ είναι ίσα.

Με αφορμή αυτό και αυτό , προτείνω:

Αν $AB+CI=AC+BI$, όπου $I$ το έγκεντρο του $ABC,$ να δειχθεί ότι το $ABC$ είναι ισοσκελές.

Όλα τα δευτερεύοντα.png Στο τρίγωνο $ABC$ , το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $BC$ και το $S$ είναι η προβολή του $B$

στην διχοτόμο της $\hat{A}$ . Υπολογίστε συναρτήσει κάποιων πλευρών του τριγώνου , το τμήμα $SM=(x)$ .

Ειδικό εφαπτόμενο.png $\bigstar$ Δίπλα στον κύκλο $(O,r)$ να σχεδιαστεί άλλος κύκλος εφαπτόμενος στο πρώτο , με την ιδιότητα :

Αν το εφαπτόμενο προς τον $K$ , τμήμα $OP$ , τέμνει τον $(O)$ στο σημείο $S$ , να είναι : $OS=SP$ .

Έστω $a_0 \in \mathbb{R}$ και η γνησίως αύξουσα ακολουθία $(a_n)$ τέτοια, ώστε $a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}}$ για κάθε $n \geq 0$.

Για τις διάφορες τιμές του $k \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow...