Δύο σε ένα.png
Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a.$ Να εντοπίσετε δύο σημεία $S, T$ των πλευρών $AD, DC$

αντίστοιχα, ώστε η $SB$ να είναι διχοτόμος της $A\widehat ST$ και $(ASB)=(DST)+(CTB).$

Στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου...

Με ποια από τις παρακάτω τιμές είναι ισοδύναμη η αριθμητική παράσταση.

$\displaystyle (2+3)(2^2+3^2)(2^4+3^4)(2^8+3^8)(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})(2^{64}+3^{64})$

$A)$ $3^{127}+2^{127}$
$B)$ $3^{127}+2^{127}+2\cdot 3^{63} +3\cdot 2^{63}$
$C)...

Καλησπέρα σας.
Είμαι μαθητής της πρώτης λυκείου και προκρίθηκα στον διαγωνισμό Θαλή που έγινε τον Νοέμβριο. Έμαθα πως δεν θα γίνει ο διαγωνισμός Ευριπίδης και πως οι επιτυχόντες του Θαλή θα περάσουν κατευθείαν στην τρίτη φάση, τον Αρχιμήδη . Από ότι...

Να βρεθεί η τιμή της αριθμητικής παράστασης:

$A=$ $\displaystyle (2+3)(2^2+3^2)(2^4+3^4)(2^8+3^8)(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})(2^{64}+3^{64})$

Να βρεθούν οι ηλικίες δύο ατόμων, αν γνωρίζουμε ότι πριν 4 χρόνια η ηλικία του

πρώτου ήταν διπλάσια από την ηλικία του δεύτερου, ενώ μετά από 6 χρόνια η ηλικία

του δεύτερου θα ισούται με τα $\,\,\,\displaystyle\frac{2}{3}\,\,\,$ της ηλικίας του...

Υπολογίστε το $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}-1}{\displaystyle\frac{1+{{x}^{2}}}{1-{{x}^{2}}}\ln \left( \displaystyle\frac{1+x}{1-x} \right)}\,dx$.

Βρείτε έναν αριθμό που αν το τελευταίο του ψηφίο το κάνουμε πρώτο, δηλαδή το πάρουμε και το βάλουμε μπροστά, αυτός τετραπλασιάζεται.

Να λυθεί η ανίσωση : $ 6^x+3^x \geq x^2-2^x$

Χθες το βράδυ, καθώς προσπαθούσα να βρω θέματα για κάποιο παιδί που αγαπά τα μαθηματικά, σκέφτηκα την παρακάτω ανισότητα.

Σε τρίγωνο $ABC$ οι $r_{a},r_{b},r_{c}$ είναι οι ακτίνες των παραγγεγραμμένων κύκλων που αντιστοιχούν στις πλευρές $a,b,c$...

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\ln^2 x \ln \left ( x^2+1 \right )}{x^2+1} \, \mathrm{d}x = \frac{7 \pi \zeta(3)}{4} + \frac{\pi^3 \ln 2}{4}}$

Παράλληλες διχοτόμοι .png

Να δειχθεί ότι σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο, οι διχοτόμοι των

γωνιών των απέναντι πλευρών είναι παράλληλες προς τις διχοτόμους

των γωνιών, τις οποίες σχηματίζουν οι διαγώνιες του τετραπλεύρου.

Καθετότητα με λόγο.png
Δίνεται κύκλος $(O, 5),$ μία χορδή $BC=8,$ $M$ το μέσο της $BC$ και τυχόν σημείο $A$ του μεγάλου τόξου $\overset\frown{BC}.$ Οι

εφαπτόμενες του κύκλου στα $B, C$ τέμνονται στο $S$ και έστω $T, P$ οι προβολές του $S$ στις...

$\bigstar$ Οι αριθμοί $x , y$ είναι θετικοί ακέραιοι . Αν : $xy+x+y=2536$ , με τι ισούται το : $xy$ ;

Δίδεται κύκλος $\left( {O,R} \right)$ και σταθερό σημείο, $\,\,A\,\,$ αυτού .

Σε τυχαίο σημείο $P$ του κύκλου φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου και την προβολή $Q$ του $A$ σ αυτή .

Να βρεθεί η θέση του $P$ , ώστε το εμβαδόν του $\vartriangle APQ$ να...

Το παρακάτω πρόβλημα αποτέλεσε θέμα της χθεσινής εξέτασης του μαθήματος πρώτου εξαμήνου Ανάλυση Ι & Εφαρμογές του Φυσικού τμήματος του ΕΚΠΑ. Έχω βρει μια λύση αλλά πιστεύω υπάρχει κάτι απλούστερο που μου διαφεύγει.

Έστω $f: (0,1) \rightarrow...

Ορίστε ένα θέμα που έφθασε στα χέρια μου προχθές στο φροντιστήριο . Το έβαλε δάσκαλος σε μαθητές δημοτικού. :shock: ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ! Το παραθέτω.

Ένας μπακάλης πούλησε χθες το πρωί $15$ παγωτά και $20$ σακούλες πατατάκια και εισέπραξε $60$ ευρώ. Σήμερα...

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός
$a=$ $\frac{1}{49\cdot 50}+\frac{1}{50\cdot 51}+\frac{1}{51\cdot 52}+...+\frac{1}{342\cdot 343}+\frac{21}{343}$
παίρνει την μορφή:
$a=\left ( \frac{\psi }{\omega } \right )^{3}$, όπου $\gcd (\psi ,\omega )=1$....

Τρίγωνο από τετράγωνα.png Στο εσωτερικό τμήματος $AB=a$ , θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε $AS=x$ και σχεδιάζουμε στο ίδιο

ημιεπίπεδο τα τετράγωνα $ASPT$ και $SBCD$ . α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $DTB$ .

β) Για ποια θέση του $S$ το τρίγωνο...

Όρθιο ορθογώνιο.png Στη διάμετρο $AB$ και στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$ ενός ημικυκλίου ακτίνας $r$ , θεωρούμε σημεία

$S , P$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $BS=BP$ . Φέρουμε και τμήμα $TS \perp AB$ .

Πώς να επιλέξουμε το $S$ , ώστε...

Έστω $f$ πραγματική συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών. Υποθέτουμε ότι υπάρχει σημείο $p$ στο οποίο η $f$ δεν είναι συνεχής. Να δειχθεί ότι υπάρχει διάστημα $(\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε για κάθε $y \in (\alpha, \beta)$ το...

Να βρείτε τον φυσικό αριθμό που:
$\bullet$ είναι ανάμεσα στο $600.000$ και στο $800.000$
$\bullet$ το ψηφίο των χιλιάδων είναι το μισό από το ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων
$\bullet$ το ψηφίο $7$ βρίσκεται ανάμεσα σε δύο μηδενικά
$\bullet$ το...

Οι περισσότεροι φυσικοί αριθμοί, μπορούν να γραφτούν είτε ως άθροισμα τετραγώνων είτε ως διαφορά τετραγώνων είτε και
ως άθροισμα και ως διαφορά τετραγώνων δύο φυσικών αριθμών.
Υπάρχουν όμως και φυσικοί αριθμοί οι οποίοι δεν μπορούν να γραφτούν ούτε...

Ανάπτυγμα ζαριού .png

Στα αριστερά είναι το ανάπτυγμα του ζαριού που φαίνεται στα δεξιά.

Συμπληρώστε τα κενά για τον αριθμό του ζαριού που πρέπει να τοποθετηθεί στις

έδρες α, β, γ και δ του αναπτύγματος, αν γνωρίζετε ότι το άθροισμα των αριθμών...

Παραβολή, τμήμα, εμβαδόν, τόπος.png

Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα PQ που κινείται στην παραβολή $y={{x}^{2}}$ με τα

άκρα του σημεία της παραβολής. Το εμβαδόν που περιβάλλεται από το PQ και

την παραβολή είναι πάντα ίσο με...

Μια βρύση γεμίζει ένα βυτίο του ενός τόνου σε $\displaystyle{2}$ ώρες και μια δεύτερη σε $\displaystyle{5}$ ώρες.

(α) Σε μία ώρα πόσα κιλά νερό θα πέσουν στο βυτίο, αν ανοιχθούν ταυτόχρονα και οι δύο βρύσες μαζί;

Και σε πόση ώρα θα γεμίσει πλήρως...