Η συνάρτηση $f : \rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής στο $ $, παραγωγίσιμη στο $(1, 2)$ και ισχύουν $f (1) = 1$, $f (2) =2$. Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2 \in (1, 2)$ με $\xi_1 \neq \xi_2$ τέτοια ώστε $\xi_1^2 \xi_2^2 f'(\xi_1) f'(\xi_2)...

Είμαι καινούργιο μέλος και θα ήθελα να σας παρακαλέσω να με βοηθήσετε όσο μπορείτε!!!
Το πρόβλημα είναι:
Ο πατέρας του Νικόλα έκανε τη Δευτέρα με το αυτοκίνητο του 32 χλμ .Την Τρίτη έκανε διπλάσια χλμ από την Τετάρτη. Αν γνωρίζουμε ότι Δευτέρα,...

Εάν $m,\,\,{m}',\,\,n,\,\,{n}'$ είναι φυσικοί αριθμοί και ισχύει η σχέση:

$(m+n)(m+n-1)+2m=({m}'+{n}')({m}'+{n}'-1)+2{m}'$, δείξτε ότι $m={m}'$ και $n={n}'$.

Κέντρα κύκλων Euler .png

Έστω $ABCD$ ένα εγγράψιμο τετράπλευρο. Αν ${{N}_{a}},\,\,{{N}_{b}},\,\,{{N}_{c}}$ και ${{N}_{d}}$ είναι τα κέντρα των κύκλων

Euler των τριγώνων $BCD,\,\,CDA,\,\,DAB$ και $ABC$, αντίστοιχα, αποδείξτε ότι τα δύο...

Το τέταρτο τμήμα.png Το $AD$ είναι ύψος του τριγώνου $ABC$ και το $E$ σημείο της $BC$ , ώστε: $BD=2 , DE=3 , EC=4$ .

Το $LN$ έχει τα άκρα του στις $AB , AC$ και είναι παράλληλο προς την $BC$ . Η $BN$ τέμνει την $AE$ στο $Q$

και η $CL$ τέμνει το...

Μία συνάρτηση $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και υπάρχει $\xi$ τέτοιο ώστε για κάθε $a, \, b \in \mathbb R $ με $a\ne b$ ισχύει

$\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a} \ne f'(\xi) $

α) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης.

β)...

Τρία καλά.png Στο επίπεδο του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , μεταβλητής ακτίνας $r$ , κινείται σημείο $S$ , με : $SA=5 , SB=6$ .

Βρείτε την μέγιστη τιμή του $OS$ , την ακτίνα $r$ καθώς και την $\tan\theta$ , κατά την στιγμή της...

Περίμετρος από εμβαδόν.png $\bigstar$ Το ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος έχει εμβαδόν $45$ και ύψος $6$ .

Επίσης είναι : $BD=2AC$ . Υπολογίστε την περίμετρό του .

Μεσοκάθετη χορδή.png Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο $ABCD$ , προεκτείνουμε την βάση $AB$ κατά τμήματα : $AP=BQ=x$ .

Η μεσοκάθετη της $AD$ ( και της $BC$ ) , τέμνει τον κύκλο που διέρχεται από τα $P , D , C , Q$ , στα σημεία $S , T$ ....

Αμερικάνικο ισοσκελές.png
Το $ABCD$ είναι τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O.$ Τα $E, F$ είναι σημεία των πλευρών $AB, CD$

αντίστοιχα και οι κύκλοι $(ADE), (BCF)$ επανατέμνουν την $EF$ στα $Q, P.$ Να δείξετε ότι $OP=OQ.$

Γεια σας. Μήπως γνωρίζει κανείς την ημερομηνία στην οποία θα διεξαχθεί φέτος ο Θαλής; Ευχαριστώ προκαταβολικά.

Το $K$ είναι στο εσωτερικό παραλληλογράμμου $ABCD$ έτσι ώστε οι γωνίες $\angle KAB, \, \angle KCB$ είναι ίσες. Δείξτε ότι

α) Οι γωνίες $\angle KBA, \, \angle KDA$ είναι ίσες.

β) Οι γωνίες $\angle AKB, \, \angle CKD$ είναι παραπληρωματικές.
.

Εγγεγραμμένο εξάγωνο .png

Το σχήμα δείχνει ένα εξάγωνο ABCDEF με τις κορυφές του σε κύκλο. Είναι επίσης γνωστό ότι οι AB και ED

είναι παράλληλες. Επίσης παράλληλες είναι και οι AF και CD . Αποδείξτε ότι οι FE και BC είναι παράλληλες.

Τρίγωνο να το πιεις στο ποτήρι.png Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος , είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο $(K,2)$ .

Α) Βρείτε το $c$ , ώστε το εμβαδόν ( και η περίμετρος ! ) να είναι $21$ .

Β) Βρείτε το $c$ , ώστε το εμβαδόν του να είναι το ελάχιστο...

Νομίζω κάνεις δεν θα διαφωνήσει ότι το κύριο μέτρο ένδειξης επιστημονικής έρευνας είναι η απονομή διπλωμάτων ευρεσιτεχνίας κάθε χρόνο.
Το γράφημα παρακάτω δείχνει ακριβώς αυτό το πράγμα και νομίζω εκπλήττει ελαχίστους. Η Ασία φαίνεται να οδηγεί τον...

Καλησπέρα σας!
Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left ( \omega \right ).$ Στο εσωτερικό των τμημάτων $AB$, $AC$ παίρνουμε τα σημεία $D$, $E$ αντίστοιχα. Οι παράλληλες από τα σημεία $B$, $C$ προς την ευθεία $DE$ επανατέμνουν τον κύκλο...

Αν $\dfrac {x}{x^2+x+1}=a$, να βρεθεί συναρτήσει του $a$ η τιμή της παράστασης $\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}$.

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να λύναμε ως προς $x$ την δοθείσα και μετά να αντικαταστήσουμε στην δεύτερη την παράσταση που βρήκαμε. Ο τρόπος αυτός,...

Εντυπωσιακή διχοτόμος.png Στο τετράγωνο $ABCD$ , το τεταρτοκύκλιο $(D , \overset{\frown}{AC})$ τέμνει τη διαγώνιο $BD$ στο σημείο $T$ . Η παράλληλη

από το $T$ προς την $AB$ , τέμνει το τεταρτοκύκλιο $(A , \overset{\frown}{BD})$ στο σημείο $S$ . Από...

Με αφορμή αυτό , προτείνω:

Να χαρακτηρισθούν τα τρίγωνα $ABC$ για τα οποία ισχύει η $AB+CH=AC+BH$, όπου $H$ το ορθόκεντρο του $ABC.$

Δύο καμπύλες $\,\,{x^3} - x\,\,\,$ και $\,\,{x^2} - a\,\,\,$ τέμνονται στα σημεία $\,\,S\,\,\,$ και $\,\,P\,\,\,$. Όμως στο$\,\,P\,\,\,$ έχουν κοινή

εφαπτομένη. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από αυτές τις καμπύλες.

Και αυτές συντρέχουν .png

Ας είναι $ABC$ τρίγωνο με έγκεντρο $I$ και ${{I}_{A}}$ το $A-$ παράκεντρο. Ο εγγεγραμμένος

του κύκλος εφάπτεται της $BC$ στο $D$ ενώ $M$ είναι το μέσο της $BC$ και $K$ το

ορθόκεντρο του τριγώνου $I\,B\,C$. Δείξτε ότι...

Βρείτε την τιμή του $a$ για την οποία ελαχιστοποιείται το $\displaystyle\int_{0}^{\pi }{{{\left\{ ax\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right)-\sin x \right\}}^{2}}}dx$.

Βασανιστική έλλειψη.png Το $OABC$ είναι τετράγωνο . Βρείτε την εξίσωση της έλλειψης $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}$ του σχήματος . Υπόδειξη : Μην ασχολείστε !