Σταθερό και δυσμελέτητο.png Οι σταθεροί κύκλοι $( O , R)$ και $( K ,r)$ εφάπτονται εξωτερικά στο $A$ . Μεταβλητός κύκλος $(Q ,\rho )$

εφάπτεται εξωτερικά στους δύο άλλους στα σημεία $B , C$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι προεκτάσεις

των $OK , BC$ ,...

Έστω $P$ τυχαίο σημείο του περιγεγγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ με κέντρο το σημείο $O$ και η ευθεία $PA$ τέμνει την ευθεία $BC$ στο σημείο $D$. Η ευθεία $DO$ τέμνει τα τμήματα $AB$ και $AC$ στα σημεία $E$ και $F$ αντίστοιχα. Το σημείο $G$...

shape.png Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μέτρο της γωνίας $x$.

Από ξένο τόπο.png Στην ακτίνα $OB$ , ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ , θεωρούμε σημείο $S$ , με $OS=d $ .

Σημείο $P$ κινείται στο τόξο . Η κάθετη του $SP$ στο άκρο $P$ , ξανατέμνει το ημικύκλιο στο $T$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του εγκέντρου $E$...

Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή της παράστασης $|11^m-5^n|$, όπου $m,n $ μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί;

885.png

Τα σημεία $K, L$ του σχήματος είναι κέντρα των κύκλων που αντιστοιχούν
και τα σημεία $B, C, D$ συνευθειακά. Αν τα $A, B, C$ είναι σημεία επαφής
να δείξετε ότι $\varphi =2\theta$ .

Μετά από περιπετειώδη συζήτηση κατέληξα στο εξής θεώρημα, ενδεχομένως ... πρωτοεμφανιζόμενο:

Σε πλήρες τετράπλευρο $ABEGDO,$ όπου $A$ και $O$ οι τομές των $BD, GE$ και $BE, GD,$ η διατέμνουσα $OFC,$ όπου $F$ το μέσον της $GE$ και $C$ η τομή της...

Ένα (εκτενές) άρθρο για την ζωή του Γάλλου Επισκόπου François de Foix de Candalle και την εργασία του πάνω στο έργο του Ευκλείδη.

ΥΓ...Κατεβαίνει και σαν pdf :idea:

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $x,y$ για τους οποίους ισχύουν:
$\bullet\ 0 2\cdot\varepsilon\varphi\dfrac{y}{2}$

Για κάθε $\nu\in\mathbb{N}^*$ μας δίνουν έναν πραγματικό αριθμό $a_\nu$

Γνωρίζουμε ότι:
$\bullet$ Όλοι οι αριθμοί $a_\nu$ είναι μικρότεροι του $2025$
$\bullet$ $a_\nu
Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός...

Με τα ψηφία $1,\,2,\,3,\,4,\, 5,\,6,\,7,\,8,\,9$, χρησιμοποιώντας από μία φορά το καθένα, φτιάχνουμε τρεις τριψήφιους αριθμούς. Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει ο μεγαλύτερος από τους τρεις αριθμούς;

(Κάνει για μικρές τάξεις...

Στον πίνακα είναι γραμμένοι $5$ διαφορετικοί αριθμοί. Κάποιους από αυτούς τους πολλαπλασιάζω επί $2$ ενώ τους υπόλοιπους τους πολλαπλασιάζω επί $3$. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από διαφορετικά γινόμενα που μπορώ να πάρω;

Λόγος και διαφορά.png Στο τετράγωνο του σχήματος , υπολογίστε : α) Τον λόγο : $DS : ST$ , β) Την διαφορά : $CP - PQ$

Σας προτείνω το πρώτο θέμα της 21ης Ινδικής Ολυμπιάδας
που έγινε το 2006.

Οι πλευρές $a,b,c$ ενός μη ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο.
Έστω $I, O$ το έγκεντρο και το περίκεντρο
του τριγώνου $ABC.$

a. Αποδείξτε ότι το $IO$...

Η παρακάτω υπολογιστική προσέγγιση απόστασης εντός ενός δευτερολέπτου είναι από το βιβλίο «Θεωρητικής Εκπαίδευσης Οδηγών Αυτοκινήτων» Σελίδα 79 παράγραφος 6.4

«Για να υπολογίσετε κατά προσέγγιση την απόσταση που διανύσατε σε ένα δευτερόλεπτο...

Δίδεται στον χώρο ευθύγραμμο τμήμα $BC$ και γωνία $\theta.$

Σημείο $A$ κινείται στον χώρο, ώστε $\angle BAC=\theta.$ Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων $A$ κατά τη στιγμή που η παράσταση

$mAB+nAC$ παίρνει την μέγιστη τιμή της, όπου $m,n$...

Με αφορμή αυτό

Για οποιοδήποτε σώμα $\mathbb{F}$ ορίζεται ο τελεστής $\Phi\colon \mathbb{F} \to \mathbb{F}^\mathbb{F}$

από τον δακτύλιο των πολυωνύμων με συντελεστές από το σώμα $\mathbb{F}$ στο σύνολο των συναρτήσεων με πεδίο ορισμού και πεδίο...

Γνήσιο κλάσμα.png Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{E'}{E}$ στο παρατιθέμενο σχήμα . ( Ε μβαδά )

shape.png Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την ακτίνα $R$ του κύκλου.

Δύο τετραψήφιοι αριθμοί περιέχουν ακριβώς τα ίδια ψηφία. Ποια είναι είναι η μεγαλύτερη δυνατή διαφορά που μπορεί να έχουν;

(Κάνει και για μικρές τάξεις του Δημοτικού)

Ενδιαφέρουσα γωνία.png Οι διχοτόμοι $AD$ και $BE$ , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , τέμνονται στο σημείο $S$ .

Αν : $SD=SE$ , υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\widehat{CED}$ .

Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός $(3158365824517)^2$;