(Κάνει και για Junior).

Σε ένα σχολείο υπάρχουν $100$ μαθητές και $50$ θρανία στα οποία μπορούν να κάτσουν δύο μαθητές την φορά. Οι μαθητές αποφάσισαν κάθε μέρα να κάθονται όπου θέλουν γιατί ο στάχος τους είναι, αργά ή γρήγορα, ο καθένας να κάτσει...

Η διαφορά κάνει τη διαφορά.png Εύκολα θα βρείτε το άθροισμα : $E'+E$ των δύο εμβαδών στο παρατιθέμενο σχήμα .

Αρκετά δυσκολότερα , θα βρείτε την διαφορά : $E'-E$ .

Μεγιστοποίηση για νέους.png Στη βάση $OC$ του τριγώνου $AOC$ κινείται σημείο $S$ , από το οποίο φέρουμε το κάθετο προς αυτή ,

τμήμα $SP$ . Η παράλληλη από το $P$ προς την πλευρά $OC$ , τέμνει την $AB$ στο σημείο $T$ .

Υπολογίστε το μέγιστο...

Τρομακτική ισότητα.png Κύκλος διερχόμενος από τις κορυφές $B , D$ του παραλληλογράμμου $ABCD$ τέμνει τις πλευρές $AB , AD$

στα σημεία $S , P$ αντίστοιχα . Σχεδιάζουμε δεύτερο κύκλο , ίσο με τον πρώτο , ο οποίος διερχόμενος επίσης

από τις κορυφές...

Τετράεδρο .png

Δίνεται τετράεδρο $ABCD\,\,\,$ του οποίου οι κορυφές $ABC\,\,\,$ παραμένουν σταθερές,

ενώ η κορυφή $D\,\,\,$ μεταβάλλεται έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι σχέσεις:...

To παρακάτω θέμα βρέθηκε ψάχνοντας...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του.
Έστω $D,E,F$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$
με τις πλευρές $BC,CA,AB$ αντίστοιχα.
Η $AD$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο...

Δύσκολο ορθογώνιο.png Το $M$ είναι το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου $AOB$ . Μπορούμε να εντοπίσουμε σημείο $S$ στην κάθετη της $AB$

στο άκρο $A$ ή ( και) σημείο $T$ του τόξου τέτοια ώστε : $\widehat{SOT}=90^0$ και τα $S , M , T$ να είναι συνευθειακά ;

Το παρακάτω θέμα είναι δικής μου κατασκευής, όχι πρωτότυπο. Το σκέφτηκα για να δώσω ένα θέμα Στερεομετρίας προσιτό σε μαθητές Β' Λυκείου που ενδιαφέρονται για τη Γεωμετρία.

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $a=5, b=6,c=7.$
To $O $ είναι σημείο στο χώρο που...

Ευλογημένη τεταγμένη.png Υπολογίστε την τεταγμένη του ίχνους $D$ , της διχοτόμου $AD$ ,

αν η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{ADB}$ , διέρχεται από το σημείο $S$ .

Άθροισμα ορθογωνίων.png Από εσωτερικό σημείο $S$ του κύκλου $(O ,r) $ διέρχονται δύο ( μεταβλητές ) κάθετες χορδές $AB$

και $CD$ . Υπολογίστε το μέγιστο άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων : $ASD$ και : $CSB$ .

Συγγραμμικά σημεία.png

Σημείο $P$ βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$. Έστω $\left\{ D \right\}=AP\cap BC$,

$\left\{ E \right\}=BP\cap CA\,\,\,$ και $\left\{ F \right\}=CP\cap AB\,\,\,$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου

$EFD\,\,\,$...

Δυσάρεστοι υπολογισμοί.png Στο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB=5 , AC=7$ , φέραμε τις διαμέσους :$AM$ και : $BN$ .

Ας υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς $BC$ , αν διαπιστώσουμε ότι : $\widehat{ABN}=\widehat{CAM}$ .

Οι αριθμοί $x , y$ είναι θετικοί και διαφορετικοί μεταξύ τους . Γνωρίζουμε ότι : $\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{x+y}$ .

Υπάρχει , όμως , περίπτωση να είναι : $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ ; Αν απαντήσετε ναι , δώστε ένα παράδειγμα .

Δύο σε ένα..png
Δύο ίσα ορθογώνια $ADEZ, DKLM$ με πλευρές $5$ και $3$ είναι εγγεγραμμένα σε ορθογώνιο

τρίγωνο $ABC,$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $ABC.$

Να δειχθεί ότι ο κύβος του $\underbrace{999\,\cdots \,9}_{n}$ βρίσκεται γράφοντας $n-1\,\,\,$ εννέα, μετά τον $7$,

έπειτα $n-1\,\,\,$ μηδενικά , κατόπιν τον $2\,\,\,$ και τέλος $n\,\,\,$ εννέα.

Εαν επιλεγεί τυχαία ένα γράμμα απο τις λέξεις ΑΙΤΙΑ και ΑΙΤΙΑΤΟ ποια η πιθανότητα να είναι το ίδιο ...?

Ωραία τα λες.png Ο κύκλος $(K,r)$ εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου $(O ,R)$ στο σημείο $S$. Η $SO$ τέμνει τον μικρό κύκλο

και στο σημείο $T$ . Η εφαπτομένη του $(K)$ στο $T$ , τέμνει τον $(O)$ στα $P , Q$ , ενώ η άλλη εφαπτομένη

από το $P$ προς...

Ευχάριστοι υπολογισμοί.png Ο κύκλος $(K , 3)$ έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο $(O ,4)$ και τον τέμνει στα σημεία $A$ και $B$ .

Η εφαπτομένη του $(O)$ στο $A$ , τέμνει τον $(K)$ στο $S$ . Υπολογίστε το $\cos\theta$ και το τμήμα $SB$ .

Της ακολουθίας $49,\,\,4489,\,\,444889,\,\,\ldots $ κάθε όρος σχηματίζεται αν παρεμβάλουμε

το $48$ στο μέσο των ψηφίων του προηγούμενου όρου. Να βρεθεί ο γενικός όρος της

ακολουθίας ως συνάρτηση της τάξης του, να δειχθεί ότι οι όροι της...

έστω $\displaystyle{f}$ μια συνάρτηση με συνεχή 2η παράγωγο,
$\displaystyle{a και το πλήθος των σημείων τομής των $\displaystyle{AB,C_f}$ στο $\displaystyle{(a,b) }$είναι $\displaystyle{n}$

Ζητώ ΣΥΓΝΩΜΗ!...

Υπερβολικός λόγος.png Στη μια πλευρά γωνίας $\widehat{O}$ , θεωρούμε σημεία $A , B$ και στην άλλη σημεία $C , D$ , ώστε : $OA=CD=a$

και : $ AB=OC=b , a \neq b$ . Οι $AD , BC$ τέμνονται στο σημείο $S$ .Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(CDS)}{(SAB)}$

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\,\ldots \,,{{a}_{k}}$ που το άθροισμά τους όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει έναν

πενταψήφιο αριθμό ο οποίοςδιαιρείται από το $54$. Δηλαδή ${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\,\cdots \,+{{a}_{k}}...