Κατασκευή με σχέδιο.png Κατασκευάστε ορθογώνιο $ABCD$ , στο οποίο να υπάρχουν σημεία $S , T$ των πλευρών του $AB , BC$ αντίστοιχα ,

ώστε το τρίγωνο $STD$ να είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και επιπλέον να είναι : $(ADS)=(SBT)+(TCD)$ .

Έστω $a,b,c$ μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $m,n$ με $m>n$ ώστε $\begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} m^2-n^2, 2mn,...

Ώρα εφαπτομένης 100 (και ημιτόνου 23).png Το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Οι διάμεσοί του $BM , CN$ ,

τέμνονται στο $G$ . Υπολογίστε την : $\tan\widehat{BGC}$ . Αν οι διχοτόμοι των $\hat{B} , \hat{C} $

τέμνουν τις διαμέσους $CN...

Μελετήστε την συνάρτηση : $f(x)=(x-\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}$ , ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

Βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων : $C_{f} , C_{f'}$ .

Καλησπέρα!

Μια ιδιοκατασκευή:

Έστω συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ και κάποια τιμή $x_{0}$. Ξεκινάμε από την τιμή $x_{0}$ και υπολογίζουμε τις τιμές $x_{0}, f(x_{0}),f(f(x_{0})),f(f(f(x_{0}))),...$, σχηματίζοντας άπειρη ακολουθία.

Για κάποιες...

Σε ένα κύκλο στέκονται $73$ παιδιά. Ο κακός Άγιος Βασίλης γυρνάει τον κύκλο με την φορά των δεικτών του ρολογιού και μοιράζει σοκολατάκια. Στην αρχή έδωσε στο πρώτο παιδί ένα σοκολατάκι, ύστερα προσπέρασε ένα παιδί και στο επόμενο έδωσε ένα...

Έστω $a,b,c,d$ θετικοί πραγματική αριθμοί .Αν $a+b+c+d=4$ να αποδειχθεί ότι:$\sqrt{\frac{a}{b+3}}+\sqrt{\frac{b}{c+3}}+\sqrt{\frac{c}{d+3}}+\sqrt{\frac{d}{a+3}}\leq 2$

Υπάρχουν απλές ομάδες τάξης $p(p+1)$ όπου $p$ πρώτος;

Παρακάτω παραθέτω ένα πρόβλημα(ελπίζω να είναι σωστά διατυπωμένο) στο οποίο θα ήθελα να μου δώσετε μια ολοκληρωμένη λύση ή να μου πείτε που θα δω μια ολοκληρωμένη απόδειξη. Επιπλέον, αν υπάρχει κάποια παραλλαγή αυτού του προβλήματος θα ήθελα να την...

Πλευρές τριγώνου με προϋποθέσεις.png
$BD$ είναι η διχοτόμος οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ και $E$ η προβολή του $D$ στην $AB.$ Αν $AE=2, BE=4,$ να

βρείτε την μικρότερη ακέραιη τιμή της πλευράς $BC=a$ που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος. Για...

Παρουσιάζω ένα πρόβλημα της Διαφορικής Γεωμετρίας στο οποίο χρειάζομαι μια βοήθεια.

Πρόβλημα : Ποιες καμπύλες που βρίσκονται σε μια σφαίρα έχουν σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα ;

Δηλαδή ζητάμε καμπύλες $\displaystyle{\gamma : I \subseteq...

Έστω ένας πίνακας $A$ με ακέραια στοιχεία και έστω $\lambda \in (0,1)$ μια ιδιοτιμή του $A$ με ιδιοδιάνυσμα $\mathbf{v}$. Δείξτε ότι τουλάχιστον ένα στοιχείο του $\mathbf{v}$ είναι άρρητο.

Χαιρετώ .
15-4 Λόγου ακεραιότητα.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=90^o$ και $tanB=3$.

Αν $AZ=AB=2BN$ και $ZE \perp BC$ τότε: Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEN \right )}$

Λέτε το παρόν , να δεχθεί.. :)...

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε $f(0)=0$ και παραγωγίσιμη στο $0$. Θέτουμε

$\displaystyle a_n =\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{k}{n^2} \right)$

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim \limits_{n...

Έστω $a \notin \mathbb{Z}$ και $a \neq \frac{1}{2}$. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{\Gamma \left ( a + n \right ) \Gamma \left ( a - n \right )} = \frac{2^{2a-2}}{\Gamma \left ( 2a - 1 \right )} + \frac{1}{\Gamma^2...

Ν.Δ.Ο. $e^{2}< 8$

Με αφορμή την συζήτηση εδώ ... προτείνω:

(Ι) Να δειχθεί ότι $e<\dfrac{87}{32}.$

(II) Να βρεθούν ακόμη καλύτερα ρητά άνω φράγματα του $e$.

Από σήμερα ξεκινάει η EGMO 2021 με διοργανώτρια χώρα την Γεωργία. Όπως ανέφερα πρόσφατα η Ελλάδα είναι η μοναδική χώρα που δεν έστειλε εθνική ομάδα παρά τις φιλότιμες προσπάθειες της Ε.Μ.Ε. Θα ήθελα να ευχηθώ ολόψυχα καλή επιτυχία στις μαθήτριες της...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x)+2xy^2+y^2 f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021.
2η μέρα: Θέματα της 4ης φάσης (τελικής) για την 11η τάξη.

1. Δίνεται ένα άπειρο τετραγωνισμένο επίπεδο. Η δασκάλα και η τάξη που αποτελείται από $30$ μαθητές παίζουν ένα παιχνίδι. Κάνουν κινήσεις με...

καλησπέρα. όταν έχουμε τη δύναμη
(5χ εισ την τριτη) εισ την δευτερη.
ποια ειναι η λυση της 25χ εισ την εκτη ή 5χ εις την εκτη. ευχαριστω

Μέγιστο γινόμενο.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , είναι $AB=8 , AC=6$ . Ευθεία κάθετη στην $AB$ , τέμνει την $AM$ στο $S$ ,

την διάμεσο $CM$ στο $P$ και την $CB$ στο $T$ . Υπολογίστε το $(SP\cdot PT)_{max}$ . Αναζητούνται πολλοί τρόποι !

Καλημέρα σε όλους!
17-4 Διχοτόμος ορθής.png

Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{B}=30^o$ και $\widehat{C}=60^o$. Το $E \in BC$ ώστε $AC+CE=AB$.

Να δείξετε ότι η $AE$ είναι διχοτόμος του τριγώνου.

$48$ ώρες για μαθητές . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(f(x)+y)+f(x+y)=2x+2f(y)}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Έχω ένα θέμα στην ελαχιστοποίηση μιας ποσότητας στο παρακάτω πρόβλημα της απόστασης σημείου από υπόχωρο.

Το πρόβλημα είναι το εξής: Έστω $V$ να είναι ο διανυσματικός χώρος όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές με το μήκος των διανυσμάτων...