α) (Προθέρμανση για το β' ερώτημα). Δείξτε ότι όσο μεγαλώνει ο φυσικός αριθμός $N$, τόσο μικραίνει η διαφορά $\sqrt {N+100} - \sqrt N$.

β) Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός $N$ που ικανοποιεί $\sqrt {N+100} - \sqrt N <1$.

(Ας την αφήσουμε...

Ενδελεχής μελέτη.png Τα σημεία $A' , B'$ είναι οι προβολές των $A(6,2) , B(4,1)$ , σε ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων .

Μελετήστε το άθροισμα : $AA'+BB'$ και την διαφορά : $|AA'-BB'|$ , για τις διάφορες θέσεις της ευθείας .

Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ μία συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $x,\, y$ με $|f(x)-f(y)| \ne 1$.

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας. Νομίζω ότι είναι αρκετά διδακτική άσκηση για τους πρωτόπειρους.)

Για ποιά $a$ η εξίσωση

$2 \sin^7 x = \left ( 1+\sin \pi a \right ) \sin x + a \sin^3 x$

είναι ισοδύναμη με την

$(a-1) \left ( 1+ \cos^2 x \right ) + 2 \sin^6 x = 2\sin^2 x +2 \left (a-1 \right )^3$ ;

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Κρατικού...

Να βρεθούν τα $x,y$ αν $x^2+y^2=1$ και $(3x-4x^3)(3y-4y^3) = -\dfrac {1}{2}$.

(Αν σκεφτείς την πονηριά, θα την λύσεις σε δυο-τρεις γραμμές.)

Έστω τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ με $\angle A=60^{0}$ και οι διχοτόμοι του $AD,BE$. Αν $AD+BD=AE+BE,$να υπολογίσετε τη γωνία $\angle ACB.$

Μισοισοσκελές.png Στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ είναι : $AD=10$ και : $DC=3$ . Στην $AD$ , υπάρχει σημείο $S$

τέτοιο ώστε : $BS=BC$ . Αν : $(BSC)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$ , υπολογίστε το μήκος της βάσης $AB$ .

Εφαπτομένη και αυτή.png
Από σημείο $S$ εκτός κύκλου $(O, R)$ φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα $SA, SB$ και έστω $AC$ μία χορδή του

κύκλου. Η παράλληλη από το $S$ στην $BC$ τέμνει την $AC$ στο $P$ και η $OP$ την $BS$ στο $T.$ Να δείξετε ότι

η $TC$...

Επί της διχοτόμου.png Τα σημεία $E , F$ κινούνται στις πλευρές $BA , CA$ αντίστοιχα , τριγώνου $ABC , (AB
ώστε : $BE=CF$ . Οι κύκλοι $(A , B , F)$ και $(A, C , E)$ τέμνονται στο σημείο $S$ .

Δείξτε ότι η $AS$ είναι η διχοτόμος της γωνίας...

Διάμεσος - διχοτόμος.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , η $AM$ είναι η διάμεσος προς την υποτείνουσα . Στο $MC$ βρίσκεται σημείο $S$

τέτοιο ώστε : $AS=AM$ και $\widehat{MAS}=\widehat{MAB}$ . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\hat{C}$ . Μέσα στον...

Να εξεταστεί αν οι εξισώσεις $2x^6=2x+1, 2x^5=2x+1$ είναι ισοδύναμες στο (-1, 1).

105.png

Καλησπέρα .

Τα χρωματιστά τρίγωνα του σχήματος, είναι ισόπλευρα.
Αν $N\equiv AD\cap EC$, να δείξετε ότι τα σημεία $B, D, N, E$ είναι ομοκυκλικά.

Αν οι μονοψήφιοι αριθμοί $a,b,c$ είναι τέτοιοι ώστε $\overline{abc}\equiv 0(mod9)$, να λύσετε την εξίσωση :
$\overline{cba}=1,75\cdot \overline{abc}$.
Καλή επιτυχία!!

Παραλληλία από μέσα στη διχοτόμο.png
Έστω $P,Q$ τα σημεία επαφής του έγκυκλου $\left( I \right)$ τριγώνου $\vartriangle ABC$ με τις πλευρές του $AB,AC$ αντίστοιχα και ας είναι ${P}',{Q}'$ τα συμμετρικά των $P,Q$ ως προς τα μέσα $M,L$ των $AB,AC$...

Τι μπορεί να είναι αυτό που φαίνεται στην εικόνα... :?:
Δεκτή κάθε προσπάθεια... :P

Χαίρετε!
Έχω επισυνάψει τον ορισμό του λογάριθμου από το σχολικό βιβλίο της Β' Λυκείου. Δεν θα έπρεπε να λέει '' τον οποίο '' και όχι '' στον οποίο και
'' στον α '' και όχι '' τον α '' γιατί νομίζω ότι έτσι όπως είναι διατυπωμένος η βάση γίνεται...

Γωγιά- γωνιά σε ψάχνω.png Με τα σημεία $E,Z$ , τριχοτομώ την πλευρά $BC$ , τετραγώνου $ABCD$ .

Αν οι $AE,DZ$ , τέμνονται στο $S$ , υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\widehat{BSC}$

Ο παρακάτω κώδικας είναι κομμάτι της άσκησης $1.32$ και παράγει τα κουτάκια του Σ - Λ. Όπως βλέπετε στο παραγόμενο αρχείο τα κουτάκια εξέχουν των περιθωρίων. Υπάρχει κάποιος τρόπος να διορθωθεί;

\documentclass {memoir}
\usepackage{amsmath}...

Ισεμβαδικότητα.png Σε σημείο $S$ ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την

προέκταση της $AB$ στο σημείο $T$ . Το $A'$ είναι η προβολή του $A$ στην εφαπτομένη .

Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία προκύπτει :...

Χαιρετώ. Αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος το ωραίο θέμα τούτο
10-8 Ισότητα λόγων.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει ορθόκεντρο το $H$ , ενώ το $F$ είναι σημείο της πλευράς $BC$.

Θεωρούμε ευθεία κάθετη στην $AF$ που τέμνει την $HB$ στο $K$ , την...

Ποιός αριθμός έχει γινόμενο διαιρετών (συμπεριλαμβανομένου τοyυ $1$ και του εαυτού του) ίσο με $10^{450}$;

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας.)

Να βρεθεί το μικρότερο πολλαπλάσιο του $13$ το οποίο έχει ακριβώς $35$ διαιρέτες.

(Παρακαλώ να μην σπεύσει κανείς να γράψει υπόδειξη όπως εδώ ή πλήρη απάντηση κατά παράβαση του κανονισμού όπως εδώ . Είμαστε δάσκαλοι και αυτό που μας ενδιαφέρει...

Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ορθογώνιο με $\displaystyle{\hat A = 90^\circ }$ και $\displaystyle{\hat B = 30^\circ }$.

Κατασκευάζουμε το τετράγωνο $\displaystyle{BCDE}$ και έστω $\displaystyle{Z}$ το κέντρο του.

Να...

Η άσκηση αυτή (περίπου) , ήταν θέμα για τους υποψήφιους Μαθηματικούς Θεσσαλονίκης του 1958 ... Δεν ήταν όλα δύσκολα !

Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $AB$ , τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Γράφω τον περίκυκλο του $MBC$ ,

και φέρω την εφαπτομένη του ,...