Καλημέρα σε όλους!
17-4 Διχοτόμος ορθής.png

Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{B}=30^o$ και $\widehat{C}=60^o$. Το $E \in BC$ ώστε $AC+CE=AB$.

Να δείξετε ότι η $AE$ είναι διχοτόμος του τριγώνου.

$48$ ώρες για μαθητές . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Δυσαναλογία.png Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ , θεωρούμε σημεία $S , T$ , ώστε : $\overset{\frown}{ST}=\dfrac{2}{3}\overset{\frown}{BS}$ . Ονομάζουμε $S' , T' $

τις προβολές των $S , T$ στην $AB$ . Μπορούμε να επιλέξουμε τα $S , T$ έτσι , ώστε :...

Σας επισυνάπτω ένα δίωρο διαγώνισμα που έβαλα σήμερα στον κύκλο.
Προσπάθησα να καλύψω κατά το δυνατό την ενότητα, βάζοντας ''τίμια κατά την γνώμη μου θέματα, αποφεύγοντας τις πονηριές και τις παγίδες.

Σας το καταθέτω για κρίση αλλά και για ...χρήση!

Τοξικός λόγος.png Στο τεταρτοκύκλιο $O\overset\frown{AB}$ , θεωρούμε τα διαδοχικά και ίσα τόξα $\overset\frown{AS}$ και $\overset\frown{ST}$ και ονομάζουμε

$S' , T' $ , τις προβολές των $S , T$ στην $OA$ . Αν $\dfrac{SS'}{TT'}=\dfrac{3}{5}$ ,...

Ξεφύλλιζα το βιβλίο '' ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ '' του Νίκου Κισκύρα και πιο συγκεκριμένα το ''Επιπεδομετρία Βιβλίο Τέταρτον-Βιβλίο Πέμπτον''. Μέσα στον πλούτο των άλυτων θεμάτων, το μάτι μου έπεσε στην πρόταση 1550β στη σελίδα 400. Κάτι...

Κατασκευή από έγκεντρο.png
Το ορθογώνιο $KLMN$ έχει κέντρο $I$ και είναι χωρισμένο σε $8$ ίσα τετράγωνα. Με τη βοήθεια μόνο του κανόνα

(αβαθμολόγητου χάρακα), να κατασκευάσετε τρίγωνο που να έχει έγκεντρο το $I.$ (Κανένα τμήμα των ευθειών που...

Εμβαδόν τραπεζίου.png Οι πλευρές του ορθογωνίου τραπεζίου $ABCD$ , εφάπτονται στον γαλάζιο κύκλο . Υπολογίστε

το εμβαδόν του , συναρτήσει της μεγάλης βάσης του , $AD=a$ . ( Είναι ακόμη : $BC=\dfrac{3a}{5}$ ) .

Χαιρετώ .
15-4 Λόγου ακεραιότητα.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=90^o$ και $tanB=3$.

Αν $AZ=AB=2BN$ και $ZE \perp BC$ τότε: Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEN \right )}$

Λέτε το παρόν , να δεχθεί.. :)...

Μέγιστη προβολή.png Η κάθετη πλευρά $AC=b$ , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ είναι σταθερή , εν αντιθέσει με την $AB$ ,

η οποία μεταβάλλεται . Φέροντας το ύψος $AD$ και την διχοτόμο $AE$ σχηματίζεται το τμήμα $DE=x$ ,

του οποίου την προβολή $D'E'$...

νδό: $\exists a,b,c \epsilon (0,\pi /2)$ ώστε $3sin(b)sin(c)+2sin(a)sin(c)=5sin(a)sin(b)$ με $a\neq b$

κάποια υπόδειξη εδώ; ΘΜΤ ή ΘΕΤ; για ποια συνάρτηση;

'Εχω ένα πολυώνυμο με συντελεστές p, q, r, s, t οι οποίοι δύναται να ανήκουν στους πραγματικούς ή στους μιγαδικούς αριθμούς.

Πώς μπορώ να αναφέρω με συμβολισμό την παραπάνω φράση; Είναι σωστό να γράψω {p ... t} ανήκουν R, C ?

Τετραγωνίσματα.png
Το $ABCD$ είναι τετράγωνο, τα $E, F$ είναι τα συμμετρικά του $C$ ως προς $B, D$ αντίστοιχα και $H$ είναι

η προβολή του $B$ στην $DE.$ Να δείξετε ότι η $FH$ εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου.

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ n & 1 & 2 & \cdots & n - 1\\ n - 1 & n & 1 & \cdots & n - 2\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\2 & 3 & 4 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

Δείξτε ότι...

Ο μαθητής Λυκείου Κωνσταντίνος Μαρκόπουλος έγινε δεκτός στο Πανεπιστήμιο του Yale με υποτροφία.Έχει διακρίσεις σε Μαθηματικούς διαγωνισμούς και είναι ο αρχηγός της ομάδας ρομποτικής VeloCT. :clap2:

Με αφορμή αυτήν Μήκος προβολής.png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC(AB=AC)$ και $M$ το μέσο της $BC.$ Γράφω μεταβλητό κύκλο που διέρχεται από

τα σημεία $A, M$ και τέμνει τις $AB, AC$ στα $E, F$ αντίστοιχα. Να βρείτε το μήκος $ST$ της προβολής του...

Τετραγωνία.png $\bigstar$ Στο τετράγωνο $ABCD$ το μπλε τόξο είναι τεταρτοκύκλιο κέντρου $C$ . Αν

το τμήμα $ST$ εφάπτεται του τόξου , υπολογίστε την πλευρά του τετραγώνου .

Έστω $\Sigma$ το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-z^2=1$ και το δίχωνο υπερβολοειδές $\frac{x^2}{4\alpha^2}+\frac{y^2}{4\beta^2}-z^2=-1, \quad \alpha>0,\,\beta>0$.
Να βρεθεί ο όγκος του...

Σταθερό μήκος..png
Δύο κύκλοι με κέντρα $K, O$ τέμνονται στα $A$ και $B,$ ενώ ο κύκλος $(K)$ διέρχεται από το $O.$ Από τυχόν σημείο $P$ του

$(K)$ φέρνουμε τις $PA, PB$ που επανατέμνουν τον $(O)$ στα $E, F.$ Να δείξετε ότι το μήκος του $EF$ είναι...

Έστω $\lambda >0$ και η συνάρτηση $f(x)=\left | \ln \left ( \lambda x+1 \right )-x \right |$. Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$, τότε:

i. Να αποδείξετε ότι $\lambda =1$.

ii. Να αποδείξετε ότι $f(x)=x-\ln \left ( x+1 \right...

Κύκλοι τριγώνου.png Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο : $x^2+y^2=25$ και περιγεγραμμένο

στον κύκλο $(K , 2)$ . Υπολογίστε την απόσταση $OK$ των δύο κέντρων . Το $B$ είναι το σημείο $(-5 , 0)$ .

Λόγος χωρίς τιμές.png
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με κάθετες πλευρές $b, c$ και $(I, r)$ ο εγγεγραμμένος του κύκλος.

α) Να κατασκευάσετε κύκλο $(\omega)$ που να διέρχεται από τα σημεία $B, C$ και να εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου $(I).$

β)...

Τριχοτομεί τη διάμεσο.png
Ο έγκυκλος τριγώνου $ABC$ με $BC=10$ τριχοτομεί τη διάμεσο $AM.$ Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

$f(x,y)=\sqrt(\mid(x)\mid+\mid(y)\mid-4)$

πώς βρίσκεται το πεδίο ορισμού σε αυτήν;
συνήθως βγαίνει δακτύλιος, κύκλος κτλ.
Εδώ με τα απόλυτα, πώς το δουλεύουμε;