Καλημέρα!

Στο λήμμα της Wikipedia για την ακολουθία Fibonacci καταγράφεται η παρακάτω ισότητα:

$\sum_{k=0}^{\infty }\dfrac{1}{F_{2k+1}+1}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

Μπορείτε να υπολογίσετε τη δίδυμη σειρά:

$\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{F_{2k+1}-1}$ ;

Επιδίωξη παραλληλίας.png Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB=8$ και σε σημείο του $S$ , εφάπτεται κύκλος $(K,3)$ .

Για ποια θέση του $S$ , οι εφαπτόμενες $AT , BP$ , είναι παράλληλες μεταξύ τους ;

Χρόνια πολλά με υγεία σε όσους γιορτάζουν σήμερα.

Ειδικά στον διαχειριστή του :logo: Κ. Γρηγόρη Κωστάκο .

Λόγος να σου πετύχει.png Από την κορυφή $C$ , του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου $ABCD$ ,

φέρουμε $CS \perp BD$ . Αν $\widehat{ASD}=45^\circ$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ .

Να δείξετε ότι ο αριθμός $\alpha$ είναι πολλαπλάσιο του $5$.

$\alpha = 91^{2}+92^{2}+93^{2}+...+99^{2}$

Κοινή χορδή και διχοτόμος.png

Σε τυχαίο τρίγωνο $ABC$ οι κύκλοι : $\left( {B,BA} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {C,CA} \right)$ τέμνουν το κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ στα $S,T$.

Δείξετε ότι η κοινή χορδή $AK$ των δύο πρώτων κύκλων ,...

Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b}$. Αν ο $\displaystyle{a}$ ελαττωθεί κατά $\displaystyle{7}$ και ο $\displaystyle{b}$ αυξηθεί κατά $\displaystyle{8}$, τότε προκύπτουν
δύο νέοι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023
Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 19 Νοεμβρίου 2022

1. Η διαφορά των ριζών του δευτεροβάθμιου τριώνυμου $P$ είναι $4$ και η διαφορά των ριζών του τριώνυμου $P+6$, $8$. Με τι μπορεί να ισούται η...

Ομοιότητα τριγώνων – Μήκος τόξου .png

Παραπάνω φαίνεται το σχέδιο ενός σταδίου. Τα δύο κυκλικά του τμήματα

αποτελούνται από ημικύκλια με κέντρο Α και ακτίνες R και ρ ($R>\rho $).

Επίσης ο λόγος των μηκών των ημικυκλίων είναι...

Ο μισός και ο ολόκληρος.png Σημείο $T$ κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{ATB}$ ,

τέμνει την $AB$ στο $S$ , ενώ η μεσοκάθετος του $SB$ τέμνει την $TB$ στο $K$ .

α) Δείξτε ότι ο κύκλος $(K , KB)$ διέρχεται και...

Το πολυώνυμο : $P(x)=27x^4-90x^2-20x+48$ , δεν έχει ακέραιες ρίζες .

Χρησιμοποιήστε άλλες αλγεβρικές γνώσεις για να βρείτε τις τέσσερις ρίζες του .

Ημίτονο κατά την ελαχιστοποίηση.png Η πλευρά $AD$ του ορθογωνίου $ABCD$ είναι σταθερή με μέσο το $M$ , ενώ η $AB$ μεταβάλλεται .

Ονομάζω $B' , D'$ τις προβολές των $B , D$ στο τμήμα $CM$ και $N$ το μέσο του τμήματος $B'D'$ .

Βρείτε το :...

Απλή μεγιστοποίηση.png Στις πλευρές $BC , CD$ του παραλληλογράμμου $ABCD , (AB>BC)$ , θεωρούμε σημεία $S , T$ ,

ώστε : $CS=CT$ . Για ποια θέση του $S$ , μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου $TABS$ ;

O γιος ενός Τούρκου μαθητή του Καραθεοδωρή, μαθηματικός και ο ίδιος και πρώην πρόεδρος του Πανεπιστημίου Sabanci της Πόλης, γράφει για τον μεγάλο μαθηματικό εδώ . [Ανακάλυψη του Ανδρέα Χατζηπολάκη, δείτε και εδώ .]

$\displaystyle{\bigstar}$ Σε μια εκδρομή ήταν άνδρες, γυναίκες και παιδιά.
Οι άνδρες ήταν το $\displaystyle{20\%}$ του συνόλου , οι γυναίκες $\displaystyle{12}$ περισσότερες από τα παιδιά και τα παιδιά 10 περισσότερα από τους άνδρες.
Πόσοι ήταν οι...

Τόπος στην ομίχλη.png Τα σημεία $N , S$ είναι σταθερά σημεία του άξονα $y'y$ , συμμετρικά ως προς το $O$ . Σημείο $P$

κινείται στον $x'x$ . Συμπληρώνω το ορθογώνιο $OPQS$ . Από το $S$ , φέρω κάθετη προς

την $QO$ , η οποία τέμνει την $QN$ στο $E$...

Πυθαγόρειο - κύκλος .png

Στο παραπάνω σχήμα όλα τα μικρά τετράγωνα είναι ίσα μεταξύ τους, ενώ ο

κύκλος έχει ακτίνα $\sqrt{5}$ και οι ευθείες που περνούν από το κέντρο του Ο είναι

κάθετες μεταξύ τους.

(α) Να δειχθεί ότι η πλευρά κάθε μικρού...

Στον αγαπητή φίλο, συντονιστή του :logo: Μίλτο Παπαγρηγοράκη εύχομαι καλή συνέχεια στα νέα του καθήκοντα ως Σχολικός Σύμβουλος στο Νομό Χανίων.

Να βρεθούν οι ηλικίες δύο ατόμων, αν γνωρίζουμε ότι πριν 4 χρόνια η ηλικία του

πρώτου ήταν διπλάσια από την ηλικία του δεύτερου, ενώ μετά από 6 χρόνια η ηλικία

του δεύτερου θα ισούται με τα $\,\,\,\displaystyle\frac{2}{3}\,\,\,$ της ηλικίας του...

Οι αριθμοί ${{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}},\,\,{{a}_{3}},\,\,\ldots ,\,\,{{a}_{n}}$ προκύπτουν από τους ${{a}_{0}}=0,\,\,{{a}_{1}}=1$ και της αναδρομικής σχέσης

${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}$ για $n\ge 2$. Να δειχθεί ότι η $\displaystyle\sqrt...

Αν ο $\displaystyle{k}$ είναι θετικός ακέραιος διάφορος του $\displaystyle{7}$, και το σύστημα:

$\displaystyle{2x^2 -2xy^2 +k+4y=1}$

$\displaystyle{y^4 -2kx +ky^2 -8y =0}$

έχει μόνο ακέραιες λύσεις, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x=y}$...

Μεγιστοποίηση διαγωνίου.png Οι πλευρές $AB , AD$ , του κυρτού τετραπλεύρου $ABCD$ , είναι ίσες και κάθετες μεταξύ τους . Επίσης :

$BC=5$ και : $CD=3$ . Υπολογίστε την πλευρά $a$ , για την οποία μεγιστοποιείται η διαγώνιος $AC$ .

Εμβαδόν μικτόγραμμου τριγώνου.png

Το $\,\,\,ABCD\,\,\,$ είναι ορθογώνιο με $\,\,\,AB=1\,m\,\,\,$ και $\,\,\,BC=2\,m\,\,\,$. Το $\,\,\,M\,\,\,$ είναι μέσον

του ημικυκλίου με διάμετρο την $\,\,\,AD\,\,\,$ και $\,\,\,ME\bot BC\,\,\,$. Να...

Παράγωγο τμήμα.png Οι κύκλοι $(B ,BA)$ και $(C , CA)$ , τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου $ABC$

στα σημεία $S , T$ αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $ST$ .