Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{\substack{n =1 \\ n \neq m}}^{\infty} \frac{1}{m^2-n^2}}$.

91.png

Το τετράπλευρο $ABCD$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο και το $T$ σημείο επαφής.
Να βρεθεί η εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ .

Επίσης να απαντηθούν τα ερωτήματα:
$1)$Γιατί λέμε Ηνωμένο Βασίλειο και όχι Ενωμένο Βασίλειο.
$2)$Γιατί λέμε...

Αν $a+a^2+a^3+a^4+5a^5=b+b^2+b^3+b^4+b^5+b^6+5b^7=4,$

να συγκρίνετε τους πραγματικούς αριθμούς $a,b.$

24 ώρες για μαθητές.

Ένα θέμα γεωμετρίας που μπήκε φέτος στις εξετάσεις για το Πανεπιστήμιο στην Βρετανία παίδεψε τους μαθητές όπως μας πληροφορεί η τοπική εφημερίδα του Μάντσεστερ.

Η εκφώνηση

Όσο πιο μακριά γίνεται.png Σημείο $S$ κινείται στην πλευρά $AB$ , του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ . Η μεσοκάθετος

του $CS$ , τέμνει την $BC$ στο $T$ . Για ποια θέση του $S$ , μεγιστοποιείται το τμήμα $BT$ ;

Από την εορτάζουσα, Κέρκυρα , λόγω της επετείου της ένωσης των Επτανήσων με την Ελλάδα , εύχομαι Χρόνια Πολλά στις εορτάζουσες και εορτάζοντες
του :logo: .

Στέλνω τις ευχές μου στους φίλους: Κώστα Ζυγούρη, Κωσταντίνο Βήττα, Κώστα Δόρτσιο, Κώστα...

Αριθμητική πρόοδος.png Στον κύκλο $(O , 5)$ να σχεδιαστεί χορδή $AB=9$ , της οποίας η απόσταση $NS$

από τον βόρειο πόλο $N$του κύκλου , να ισούται με $7$ .

Θέλω να σας καταθέσω κάποια μαθηματικά μου ερωτήματα σχετικά με τις εξισώσεις στα οποία θα επιθυμούσα να μου δώσετε τις προσωπικές σας απαντήσεις. Θα με βοηθούσε πολύ η κατάθεση των όποιων σκέψεων σας στο να χαράξω τα επόμενα βήματα στη μαθηματική...

Εμβαδόν τριγώνου.png $\bigstar$ Από την αρχή των αξόνων φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα $OA$ και $OB$ , προς τον κύκλο με εξίσωση :

$(x-7)^2+(y-1)^2=5$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $OAB$ . Σκεφθείτε και άλλον τρόπο !

Καλημέρα, απ' ότι είχα δει είχε συζητηθεί και παλαιότερα, αλλά θέτω το ερώτημα ξανά για να καταλάβω τι ακριβώς γίνεται.
Αν έχουμε την συναρτησιακη $ e^{2f(x)} - 2xe^{f(x)}-1 =0 $ και για την $f$ ισχύει $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(0)=0$...

Χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα αυτής της άσκησης (ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο) αποδείξτε την παρακάτω πρόταση:

Αν $D, E, Z$ είναι οι προβολές του σημείου Lemoine $L$ τριγώνου $ABC$ στις πλευρές του, τότε το $L$ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου...

Ένα σημείο $D$ βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$. Αν τα τρίγωνα $ABD, \, BCD,\, CAD$ έχουν ίσα εμβαδά, τότε το $D$ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου $ABC$.

Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για να παιδιά μας.

Εντός και τα αυτά μήκη.png $\bigstar$ Στο επίπεδο του - διαστάσεων $a \times b , ( a>b )$ - ορθογωνίου $ABCD$ , εντοπίστε σημείο $S$ ,

το οποίο να ισαπέχει από τις κορυφές του $C , D$ και την πλευρά του $AB$ . Για ποια σχέση των $a, b$

το σημείο...

Βρείτε τον επόμενο όρο της ακολουθίας : $1 , 3 , 3 , 12 , 20 , ....$

Εμβαδόν τετραπλεύρου 1.png
Σε τετράπλευρο $ABCD$ με $AD=BC=2a,$ οι ευθείες $DA, CB$ τέμνονται κάθετα, ενώ οι κύκλοι με διαμέτρους

$AD, BC$ εφάπτονται εξωτερικά. Aν $\displaystyle \frac{{AB}}{{CD}} = k,$ να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου...

Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος $k$ , τέτοιος ώστε , η λύση της εξίσωσης :

$2^{x+k}=3^x$ , να βρίσκεται στο διάστημα : $ $ ;

Διαθέτετε αρκετά αποθέματα υπομονής ; Ναι ; Ξεκινάμε :

Ελαχιστοποίηση τμήματος.png Το ορθογώνιο $ABCD$ έχει σταθερή βάση $AB=a$ , αλλά μεταβλητό ύψος $AD=x$ . Στη διαγώνιο $BD$

θεωρούμε σημεία $E , Z$ , ώστε : $BZ=a$ και : $DE=x$ . Οι προεκτάσεις...

Απίθανη συνευθειακότητα.png Η σταθερή βάση $BC$ του τριγώνου $ABC$ φαίνεται από την κινητή κορυφή $A$ , υπό γωνία

$\hat{A}=60^{\circ}$ . Η διχοτόμος της $\hat{B}$ , τέμνει τον κύκλο στο σημείο $M$ . Φέρω και το ύψος $BD$ .

Να δειχθεί ότι το τμήμα...

Καλημέρα.
19-5 Σχέσεις γωνιών ..χάριν λόγου..png
Δίνεται το τρίγωνο $ABC$ με $2\widehat{A}=3\widehat{B}$ και $\widehat{C}> 4\widehat{B}$ ενώ το $N \in AB$ ώστε $\widehat{BCN}=2\widehat{B}$.

Θεωρούμε την διχοτόμο $CE$ και το $Z$ στην προέκταση...

Η ημερίδα τελεί υπό την αιγίδα της Α.Ε. της Προέδρου της Δημοκρατίας κ. Κατερίνας Σακελλαροπούλου και θα πραγματοποιηθεί το Σάββατο 21 Μαΐου με ώρα έναρξης 10.30 π.μ. στην Αίθουσα Τελετών του Πανεπιστημίου Αθηνών (κεντρικό κτίριο, στάση μετρό...

Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.png Σε κύκλο ακτίνας $r$ , εγγράφουμε τρίγωνο $ABC$ , με $BC=2AB$ . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν

αυτού του τριγώνου . Για ευκολία θεωρήστε ότι : $r=1$ . Επιτρεπτή η χρήση λογισμικού στο τέλος .

To παρακάτω θέμα δεν το έχω δει κάπου, απλά προέκυψε ως συμπέρασμα από
την προσπάθεια που έκανα για τη λύση ενός θέματος.
Δεν το προτείνω για τη δυσκολία του - δεν είναι δύσκολο άλλωστε - αλλά για να
αναδείξω το σημείο Lemoine, για να αναδείξω ένα...

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να παραθέσω την λύση μου πάνω σε μια άσκηση στην μελέτη κυρτότητας και να μου πείτε αν κάπου έχω κάνει λάθος.
Έχουμε, $f(x)=\left\{\begin{matrix}
2x^{2}+1 &,x\leq 0 & \\
-2x^{2}+1 &,x>0 &
\end{matrix}\right.$
η οποία ειναι...

Ελαχιστοποίηση κιτρίνου.png Το σημείο $T$ βρίσκεται στην προέκταση της βάσης $CB$ του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$

με : $TB=BC=a$ . Σημείο $S$ κινείται επί της $AC$ και η $TS$ τέμνει την $AB$ στο $P$ .

Για ποια θέση του $S$ ελαχιστοποιείται το...