Τα μήκη των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι σε αριθμητική πρόοδο
με διαφορά δύο.
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι $\sqrt{105}$ τ.μ.
Να βρείτε το μήκος των πλευρών του τετραπλεύρου.
(Υ.Γ: Ο επώνυμος τύπος είναι εκτός ύλης, μπορεί να...

Τ ο παρακάτω θέμα υπάρχει πάνω από τριάντα χρόνια στο χειρόγραφο αρχείο μου...
Κάπου θα το είδα τότε και είπα να το λύσω και να καθαρογράψω τη λύση...

Να υπολογιστεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle a_{n}=\frac{1!+2!+3!+...+n!}{\left ( 2n...

Μεταφέρω και εδώ την ανάρτηση του κ. Παπασπύρου (καθηγητή ΕΜΠ με συνεχή συνεισφορά στους διαγωνισμούς πληροφορικής στην Ελλάδα) για την φετινή κατάντια.

Κάποια στιγμή λοιπόν, θα έφτανε κι εδώ. Το είχα προτείνει χρόνια τώρα, μεταξύ σοβαρού και...

Σήμερα το πρωί στο γραφείο των καθηγητών, ανάμεσα σε βαθμούς απολυτηρίων και μητρώα, βρήκα λίγο χρόνο να δω μια ανισότητα...
Τη μοιράζομαι μαζί σας, με την ελπίδα να μην έχει συζητηθεί πιο παλιά στο forum...

Σε τρίγωνο $ABC$ ισχύει ότι...

Λογικός λόγος.png Το τραπέζιο $ABCD$ , με $AD \parallel BC$ , είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο και

τα $T , Q , P , S $ , είναι τα σημεία επαφής . Δείξτε ότι : $\dfrac{(QTP)}{(STP)}=\dfrac{BC}{AD}$ .

Η άσκηση είναι μια αναβάθμιση - γενίκευση εκείνης...

Το καφέ πολύγωνο είναι μεγέθυνση του μπλε πολυγώνου. Να βρεθεί ο λόγος μεγέθυνσης. :idea:

Στο επίπεδο τριγώνου $ABC$ δίνονται δύο σημεία $M, N$ ώστε $AM:BM:CM=AN:BN:CN.$

Να δείξετε ότι η ευθεία $MN$ διέρχεται από το περίκεντρο του τριγώνου.

Χαιρετώ μεγάλους και μικρούς !
Δεν το πατάμε..το υπολογίζουμε!.png
Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ . Το $O \in AC$ ώστε $AB=4AO$ και ο κύκλος των $B,O,C$ τέμνει την $AB$ και στο $P$.

Τα $M,E,Z$ είναι τα μέσα των $BC,BP,OC$ αντιστοίχως και το $N \in...

Ισα τμήματα για μιά επαφή.png

Δίδεται κύκλος $\left( O \right)$ κέντρου $O$ , μια χορδή του $BC$ και το μέσο της $M$. Έστω ακόμα ένα σημείο $A$ εσωτερικό του μεγάλου τόξου χορδής $BC$.

Έστω $D$ το άλλο σημείο τομής του κύκλου $\left( O \right)$με...

Ώρα εφαπτομένης 134.png Για ποια τιμή του $a , ( a > 1)$ , προκύπτει : $\tan\widehat{AOB}=-3$ ;

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η γραφική παράσταση της $f(x) = \frac{1}{x}$.

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}
\draw (-0.5, 0 ) -- (3, 0) node {x};
\draw (0, -0.5) -- (0, 3) node {y};
\draw plot (\x, {1/(\x)});
\draw (0, 1) -- (1, 1) --...

Να δώσετε παράδειγμα οξείας γωνίας η οποία

α) δεν κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη αλλά, συγχρόνως,

β) αν κάποιος σας την ζωγραφίσει (εννοείται χρησιμοποιώντας όργανα πέρα από τον κανόνα και διαβήτη) τότε εσείς θα μπορέσετε να την...

Ελαχιστοποίηση απόστασης.png Η γαλάζια δίκλαδη γραμμή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου με

την ιδιότητα : Οι δύο συντεταγμένες τους έχουν ίδιο άθροισμα και γινόμενο .

Ένα τέτοιο σημείο , το $S$ , έχει τετμημένη $9$ . Βρείτε...

Μεγάλες κατασκευές 83.png Η γωνία $\hat{A}$ είναι γνωστή , όπως και το τμήμα $AB$ . Μπορούμε άραγε να εντοπίσουμε

( κατασκευάσουμε ) σημείο $C$ , στην άλλη πλευρά της γωνίας , ώστε : $\widehat{B}=2\hat{C}$ ;

( Για περαιτέρω ενασχόληση με αυτή ) ....

Εντυπωσιακός λόγος.png Το τραπέζιο $ABCD$ του σχήματος είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο $ ( O , 6)$ και τα $S, P , Q , T $

είναι τα σημεία επαφής του κύκλου με τις πλευρές . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(QTP)}{(STP)}$ .

Υψίστης σημασίας.png Σε τετράγωνο $ABCD$ , πλευράς $a$ , σημείο $S$ κινείται επί της $AB$ . Για το σημείο $T$ της $AD$ ,

είναι : $\widehat{TSC}=60^0$ . Βρείτε την υψηλότερη θέση του $T$ και εξετάστε , αν κατά τη στιγμή

της μεγιστοποίησης , οι μοβ...

Το παρακάτω μικρό άρθρο είχε πρωτοεμφανιστεί στην περιοδική έκδοση του «Επιτυχίες της μαθηματικής επιστήμης», σειρά 1, έκδοση 1, 1946 και επανεμφανίστηκε στο περιοδικό «Μαθηματική Εκπαίδευση» σειρά 2, τεύχος 2, 1957 από όπου και το μεταφέρω. Δίνει...

Τόπος ορθοκέντρου.png Οι κορυφές $B , C$ του τριγώνου $ABC$ είναι σταθερές , ενώ η $A$ κινείται σε ευθεία παράλληλη προς την

βάση $BC$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του ορθοκέντρου $H$ του τριγώνου . Εφαρμογή : $c=4 , a= 6$ .

Ώρα εφαπτομένης 133.png $\bigstar$ Το έγκεντρο $E$ , του ισοσκελούς τριγώνου $ABC , (AB=AC)$ ,

διαιρεί το ύψος $AD$ , σε λόγο : $\dfrac{AE}{ED}=3$ . Υπολογίστε την : $\tan\hat{B}$ .

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ που ικανοποιούν την συναρτησιακή σχέση

$f(\arctan x) = (1+x^2)f(x)$ για κάθε $x$.

Χαιρετώ. Με αφορμή ΑΥΤΗ , για ..εμπέδωση.
17-6 Θέση για 45άρα.png

Τα $S,T,N$ είναι σημεία του κύκλου $(O, R)$ με $NT=n$, όπου ισχύει $\dfrac{R}{n}=\sqrt{1+cos\dfrac{\pi }{4}}$.

Να εντοπιστεί το σημείο $E$ της $SN$ ώστε $\widehat{TEN}=\dfrac{\pi...

Καλή Κυριακή σε όλους.

19-6 ..διχοτόμος και χορδής.png

Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=120^o$ και $AD,BE,CZ$ οι (εσωτερικές) διχοτόμοι του.

Αν ο κύκλος των $A,Z,E$ τέμνει την $BC$ στα $M,N$ τότε: Να εξεταστεί αν ισχύει $DM=DN$

Μου...

Από τα μέσα.png Οι κύκλοι $(O) , (K)$ τέμνονται στα σημεία $A , B$ . Το τμήμα $SA$ εφάπτεται του $(K)$ ,

ενώ το τμήμα $PA$ εφάπτεται του $(O)$ . Η $SP$ ξανατέμνει τους κύκλους στα $T , Q$ .

Δείξτε ότι οι $BT , BQ$ , διέρχονται από τα μέσα $M, N...

Εμβαδόν σε έλλειψη.png Η ευθεία : $16x+15y-60=0$ , τέμνει την έλλειψη : $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ , στα σημεία $A , B$ .

Βρείτε - προσεκτικά και με κόπο ! - σημείο $C$ της έλλειψης , τέτοιο ώστε : $(ABC)=\dfrac{32}{5}$ τ. μ.

Παράγωγο τμήμα.png Στο πλευράς $a$ , τετράγωνο $ABCD$ σχεδιάσαμε το τεταρτοκύκλιο $(C , \overset{\frown}{BD} ) $ . Από σημείο $S$ της $AD$ ,

για το οποίο $AS=x$ , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $SP$ του οποίου η προέκταση , τέμνει την ευθεία

$CB$ ,...