Να λυθεί η ΔΕ

$\displaytype y'''=y''\cdot y'$

Έστω περιττή, γνησίως μονότονη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, με $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$. Αν το σημείο $A(-1,3)$ ανήκει στην γραφική της $f$
Α) Να δείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα.
Β) Να λυθεί η ανίσωση $f^2(x)+3f(x) \leq 0$
Γ)...

Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός $N$ ο οποίος έχει τις ιδιότητες α) ο $2N$ είναι τέλειο τετράγωνο και, συγχρόνως, β) ο $3N$ είναι τέλειος κύβος;

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC,\; AB < AC$, θεωρούμε τη διάμεσο $AM\; (M\in BC)$ και το ύψος $BH\; (H\in AC)$.
Έστω ότι οι εφαπτομένες του κύκλου $(ABC)$, στα σημεία $A$ και $B$, τέμνονται στο σημείο $T$.
Ο κύκλος $(BMT)$ τέμνει για δεύτερη φορά τον...

Ένας διψήφιος αριθμός $ \overline {AB}$ έχει $8$ διαιρέτες. Πόσους διαιρέτες έχει ο $ \overline {ABAB}$ ;

Να λύσετε την ανίσωση

$| 66f(x)-90| \leq 24$,

αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση $3f(x)+x=4$ έχει δυο ρίζες, το άθροισμα των οποίων είναι ίσο με $\dfrac{-2}{11}$ και η συνάρτηση $f(x)$ έχει την μορφή

$f(x)=\dfrac{1}{2^c} \left ( |x|^a +...

Να λύσετε την εξίσωση

$x\sqrt{x}\left ( 2-\sqrt{3} \right)+8\left( \sqrt{3}-\sqrt{x} \right)+3\sqrt{3} \left( \sqrt{x}-2 \right)=0$.

Τύπος ορθογωνίου.png Να βρεθεί ο τύπος ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , στο οποίο το τμήμα που συνδέει το έγκεντρο με το βαρύκεντρο

είναι παράλληλο προς την κάθετη πλευρά $AB=c$ και να υπολογισθεί το τμήμα $IG$ , συναρτήσει του $c$ .

Υπολογιστικό κάλλος.png Η $AM$ είναι η διάμεσος προς την υποτείνουσα , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , με : $AB=6 , AC= 8$ .

Στην προέκταση της $MA$ , θεωρούμε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $BS=8$ . Η προέκταση της πλευράς $BA$ ,

τέμνει την $CS$ στο...

Έχουμε πέντε ευθύγραμμα τμήματα με μήκη $a Ποια...

Γράφουμε σε αύξουσα σειρά όλους τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι έχουν άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του $5$. Η αρχή της σειράς αυτής είναι βέβαια $5, \, 14, \, 19, \, 23, \, 28, \, ... $, και λοιπά.

Ποια είναι η μικρότερη δυνατή διαφορά που μπορεί...

Ημικανονικό εξάγωνο.png Στο εγγεγραμμένο εξάγωνο $A B C D E F$ είναι : $AB=AF , CB=CD , ED=EF$ .

Η $BE$ , τέμνει την $ AD$ , στο σημείο $S $ . Δείξτε ότι : α) $AC \perp BE$ και : β ) $ES=ED$ .

Χωρίς να είμαι σίγουρος ότι είναι ο σωστός φάκελος ...

Να δειχθεί ότι $\min \left\{ \sqrt {n}, \sqrt {m} \right\} \leq \sqrt {3}$.

shape.png Στο παραλληλόγραμμο $ABCD$, του παραπάνω σχήματος, δίνονται $(NEZD) = 7\,{m^2}$, τα σημεία $M,N$ που είναι τα μέσα των πλευρών $CD,AD$ αντίστοιχα και ζητείται το $(BMZ) = S$.

Ο Ελληνοκύπριος Ντέμης Χασάμπης τιμήθηκε με το βραβείο Νόμπελ Χημείας 2024 για το έργο του πάνω στις πρωτεΐνες.

Συγχαρητήρια.

Χαρακτηρισμός θέματος : $Quickie$ !

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\sqrt{x-7-2\sqrt{x-17}}$

Επίσης βρείτε και μια διαφορετική αλλά ακέραια τιμή της $f$ .

Λόγοι λόγων.png Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ , φέραμε την διάμεσο $CM$ . Ασφαλώς , δεν θα δυσκολευτείτε

να δείξετε ότι : $\dfrac{\tan\phi}{\tan\theta}=\dfrac{2}{3}$ . Προσπαθήστε τώρα να βρείτε σημείο $S$ της $CM$ , τέτοιο ώστε :...

'Εχουμε τρεις καρτές που έχουν γραμμένο από έναν αριθμό σε κάθε πλευρά τους. Όλοι μαζί οι (έξι) αριθμοί είναι οι $1,2,3,4,5,6$. Βάζοντας τις κάρτες την μία δίπλα στην άλλη μπορώ να φτιάξω τους αριθμούς $135$ και $234$ αλλά δεν μπορώ να φτιάξω τον...

Δύσκολο να μοιάσουν.png Το $M$ είναι το μέσο της πλευράς $AC$ , τριγώνου $ABC$ . Να αχθεί ευθεία διερχόμενη από το $M$

και τέμνουσα τις ευθείες $BA$ και $BC$ στα σημεία $S$ και $T$ αντίστοιχα , έτσι ώστε τα τρίγωνα :

$SAM $ και $ CTM$ , να είναι...

Σταθερότητα σημείου.png

Δίδονται ένας, σταθερός κατά θέση και μέγεθος κύκλος $\Omega $, κι ένα σταθερό ευθύγραμμο τμήμα $AB$, κατά θέσει και μέγεθος .

Σημείο $S$ διαγράφει τον κύκλο που τέμνει τις $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ στα...

όξινο οξυγώνιο.png Σας δίνω την πλευρά $BC = a$ . Εσείς πρέπει να βρείτε ένα σημείο $A$ , ώστε στο δημιουργούμενο τρίγωνο $ABC$

να ισχύει η ισότητα : $\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{b^2+c^2}{a^2}$ . Ισχυρή υπόδειξη : η γωνία $\hat{A}$ , θα πρέπει να είναι...

Επιτρέψτε μου να σας πληροφορήσω για την εγκεκριμένη πλέον εργασία μου στο 39ο Συνέδριο. Το αξιοσημείωτο είναι ότι το βασικό Γεωμετρικό πρόβλημα το διαμόρφωσα εδώ στο mathematica , όπου: ο Άριστος Μαθηματικός Dr Ιάσων Κωνσταντόπουλος το επέλυσε εδώ...

Διχοτόμος παράγει διάμασο.png Η $AD$ είναι διχοτόμος στο τρίγωνο $ABC$ . Στην προέκταση του $DA$ θεωρούμε τυχόν σημείο $A'$ .

Στις ευθείες $AB$ και $AC$ , εντοπίστε σημεία $B' , C' $ , αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $DB'=DC'$ .

Μια μέρα σε μια επίσκεψη στο γραφείο ενός φίλου γιατρού είδα στο γραφείο
του ένα περίεργο σημειωματάριο, αυτό που φαίνεται στην ακόλουθη φωτογραφία!

7.png

Με προκάλεσε και όταν πήγα στο σπίτι το έκανα σε ψηφιακή μορφή, όπως αυτό
φαίνεται στο...