Έστω μια κοίλη συνάρτηση $f$ ορισμένη στους πραγματικούς και δύο διάφορα σημεία $A$, $B$ κάτω από την γραφική της παράσταση $\mathcal{C}_f$. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία $AB$ τέμνει την $\mathcal{C}_f$.

ΥΓ Θεωρώ εξαιρετικά πιθανον να την έχουμε...

Ελάχιστο με ελάχιστη προσπάθεια.png $\bigstar$ Το σημείο $B$ είναι σταθερό , το $S$ κινείται στην πάνω ημιευθεία και το $C$ στην κάτω ,

ώστε : $\widehat{BAC}=90^\circ$ . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου $ABC$ .

Ομοιότητες και διαφορές.png Η κόκκινη παραβολή και ο δεξιός κλάδος της γαλάζιας υπερβολής , έχουν μοναδικό κοινό

σημείο το $O(0,0)$ . Αν η παραβολή είναι η : $y^2=8 x$ , ποια μπορεί να είναι η υπερβολή ;

Διάμετροι και εφαπτόμενες.png $\bigstar$ Τα τμήματα $AS , BT$ εφάπτονται στα δύο ημικύκλια . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{BT}$

Έστω $x,y, z$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x}{x+y}} + \sqrt{\frac{y}{y+z}} + \sqrt{\frac{z}{z+x}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}}$

Έλαβα την ακόλουθη ανακοίνωση/πρόσκληση

Με χαρά σας αποστέλλω την πρόσκληση για τον 5ο Διαγωνισμό Γρίφων
Μαθηματικών και Λογικής για μαθητές Γυμνασίων και Λυκείων
που διοργανώνει η Εκπαιδευτική Αναγέννηση
το Σάββατο 18 Μαρτίου 2023 και ώρες 09:30...

ΘΕΜΑ 1
Θεωρούμε τετράγωνο $ABCD.$ Έστω $P$ σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου $ABCD$ που βρίσκεται στο κυρτογώνιο τόξο $AB$ (διαφορετικό από τα $A$ και $B$). Έστω $M$ το σημείο τομής της $DP$ με τη διαγώνιο $AC$ και $N$ το σημείο...

ΘΕΜΑ 1
Στις κάθετες πλευρές $CA$ και $CB$ ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ επιλέγονται τα σημεία $D$ και $E$ , αντίστοιχα, έτσι ώστε $CD=CE$. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία $D$ και $C$ στην ευθεία $AE$ τέμνουν την...

2023.03.11.FB11971 mathematica.jpg
Οι διάμετροι $AB=2R, BC=2r$ δυο ημικυκλίων είναι διαδοχικά τμήματα επί ευθείας.

Στο ημικύκλιο $AB$, φέρω την εφαπτόμενη $CZ$ και την εφαπτόμενη στο $A$ που τέμνονται στο $M$

Στο ημικύκλιο $BC$, φέρω την...

Προσέγγιση.png Βρείτε την ελάχιστη απόσταση $ST$ , μεταξύ των δύο παραβολών του σχήματος .

2022.018.FB9437 lemma 230 mathematica.jpg

Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος δείξτε ότι ισχύει :

$p+q+r+s\geq4$

Καλημέρα,

πριν κάνα 2 βδομάδες στις εξετάσεις έπεσε η εξής άσκηση:
να αποδέιξετε ότι 35 το διαιρεί ( $38^{12}-34^4$)

και έκανα το εξής μκδ(35,38)=μκδ(35,34) =1 οπόπτε παίρνω την πρόταση του Όυλερ.
φ(35) = φ(5*7)=φ(5)φ(7) λόγω 5,7 πρώτοι, οπότε...

GEOMETRIA225=FB2977.jpg
Εστω ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$.

Βρείτε (γεωμετρικά ει δυνατόν), σημείο $E$ στον περίκυκλο του $ABC$ και σημείο $D$ στον κύκλο με διάμετρο $AC$,

τέτοια ώστε $BE=ED=DC$

Να δειχθεί ότι, σε κάθε τρίγωνο του οποίου οι γωνίες αποτελούν αριθμητική

πρόοδο, το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου ισαπέχει από το κέντρο του

περιγεγραμμένου κύκλου και από το ορθόκεντρό του.

Είναι δυνατόν να καλύψουμε σκακιέρα $100 \times 100$ με ίσο αριθμό ορθογωνίων $2\times 4$ και $1\times 8;$
(Τα σχήματα μπορούν να περιστραφούν)

α) Βρείτε το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης : $f(x)=e^x\ell n \dfrac{1}{x} $ .

β) Δείξτε ότι : $\ell n x > \dfrac{x-1}{e^{x-1}} , \forall x>1$ .

γ) Προαιρετικό : Ισχύει η παραπάνω ανισότητα για άλλες τιμές του $x$ ;

Ισότητα μέσω παραλληλογράμμου.png
Σκαληνό τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega).$ Η εφαπτομένη του κύκλου στο $A$ τέμνει την $BC$ στο $D$ και

η διάμεσος $AM$ τέμνει τον $(\omega)$ στο $N.$ Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο $ADMK.$ Να...

Καλημέρα σε όλους και καλώς σας βρήκα!

Θα ήθλεα τη βόηθειά σας στο παρακάτω, καθώς δεν μπορώ να βρω τι μου διαφεύγει.

Για συνάρτηση $f:\left \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη και κοίλη, με $\displaystyle{f '(0) = 0}$ (και $\displaystyle{f(x) >...

LXXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
12 Μαρτίου 2023 $\bullet $ 10η τάξη

Πρόβλημα 1. Για τους τέσσερεις ακέραιους αριθμούς $a,b,c,d$ είναι γνωστό, ότι ισχύει

$a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1$.

Να αποδείξετε, ότι η απόλυτη τιμή κάποιων δυο εξ αυτών...

2023.03.01.FB11866.jpg mathematica.png

Ας είναι τρίγωνο $ABC$, $M$ το μέσον της $BC$ και $D$ το ίχνος της εσωτερικής διχοτόμου της $\hat{A}$.

Ο κύκλος $(AMD)$ τέμνει τις $AB, AC$ στα σημεία $E, Z$ αντίστοιχα.

α. δείξτε ότι ο λόγος των εμβαδών...

Ισοδυναμία ανίσων.png Με αφορμή την άσκηση του $Sakis 1963$ , αυτή : Στο τρίγωνο $ABC$ , ο κύκλος τον

οποίον ορίζουν η κορυφή $A$ , το ίχνος της διχοτόμου $AD$ και το μέσο $M$ της $BC$ τέμνει

τις πλευρές $AB , AC$ στα σημεία $E , Z$ αντίστοιχα ....

Δίδεται τρίγωνο $ABC$ με $\widehat {BAC} > 90^\circ $. Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία $M$ της πλευράς $BC$ για τα οποία , $M{A^2} = MB \cdot MC$.

Κάθε είδους λύση δεκτή .

Στο επίπεδο $\alpha$ δίνεται ένα τραπέζιο $ABCD$ με $AB=CD=AD=2$ και $\angle ABC = \angle BCD = \dfrac{\pi}{3}$. Να βρείτε την τιμή του εσωτερικού γινομένου $\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{DQ}$, όπου $P,Q$ δυο σημεία του επιπέδου $\alpha$...

Δίνεται μια υπερβολή $C$, οι εστίες της $F(c,0)$ και $F^{\prime}(-c,0)$ καθώς και ένα σημείο $A$ του άξονα των $y$ . Έστω $P$ το σημείο τομής της υπερβολής $C$ με το τμήμα $AF$ και $P^{\prime}$ το σημείο τομής της υπερβολής $C$ με το τμήμα...