Από τα μαθητικά μου χρόνια θυμάμαι την παρακάτω άσκηση:

$\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$, διαφορετικοί ανά δύο, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{\log a}{b-c}=\frac{\log b}{c-a}=\frac{\log c}{a-b}\implies...

Πώς θα μεταφράζατε τα παρακάτω:

monotone converge theorem
pentagonal number theorem
contour

Τρίτο τμήμα (τος).png Το $CD$ εφάπτεται στο ημικύκλιο και : $ED \parallel AB$ . Υπολογίστε το : $\dfrac{AS}{SB}$

Ωσ γνωστών, από την ύλη της Γεωμετρίας Α Λυκείου:
Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει.

Αν έχουμε δύο ευθείες παράλληλες και άλλη μία ανάμεσά...

Ίσα τμήματα με πολλούς τρόπους.png Το ύψος $AD$ του τριγώνου $ABC$ ισούται με τη βάση $BC=a$ , ενώ είναι : $BD=\dfrac{a}{3}$ .

Η μεσοκάθετος της $BC$ τέμνει την $AC$ στο σημείο $S$ και την προέκταση της $BA$ στο $T$ .

Εξετάστε αν ισχύει :...

Ελλειπτικό εμβαδόν.png Στο άκρο $B$ του μεγάλου άξονα της έλλειψης , φέραμε κάθετη . Η εφαπτομένη

σε σημείο $S$ του πρώτου τεταρτημορίου , τέμνει την κάθετη στο σημείο $P$ και

τον άξονα $x'x$ , στο $T$ . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του...

Αν και το παρακάτω θέμα είναι από πρόσφατο διαγωνισμό, είναι πολύ ευκολότερο από ασκήσεις που καλείται να αντιμετωπίσει ο υποψήφιος της Γ' Λυκείου:

Ας είναι $\displaystyle{f: \to }$ παραγωγίσιμη συνάρτηση, με $\displaystyle{|f'(x)|\ne 1}$ για κάθε...

Ποιος αριθμός ακολουθεί στη σειρά $\displaystyle 1,2,3,5,5,8,9,8,13,13,11,18,17,14,..;$

Ισχύει ότι αν $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ τότε $\displaystyle{rank(I_n-BA)=rank(I_n-AB)}$;

Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα γεωμετρία. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.

23. Έστω $P$ σημείο...

Μεγάλες κατασκευές 81.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με κάθετες πλευρές : $AB=8 , AC=6$ , να εγγραφούν

δύο ίσοι και τρισεφαπτόμενοι κύκλοι , όπως φαίνεται στο παρατιθέμενο σχήμα .

Μια συνέντευξη του Στέφανου Αρετάκη καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο με αρκετές διακρίσεις. :!:

Και εδώ μια βίντεο - συνέντευξη του.

Να δειχθεί ότι αν $A,B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ τότε $\displaystyle{n-rank(A)=rank(I_n-BA)-rank(A(I_n-BA))}$

Δεν έχω λύση ακόμη.

Παρατηρούμε ότι $ker(A)\subseteq Im(I_n-BA)$ άρα $n-rank(A)\leq rank(I_n-BA)$

Επιπλέον $Im(A(I_n-BA))...

Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{\substack{n =1 \\ n \neq m}}^{\infty} \frac{1}{m^2-n^2}}$.

Βρείτε τον επόμενο όρο της ακολουθίας : $1 , 3 , 3 , 12 , 20 , ....$

Μονοκοντυλιά.png Οι παλιότεροι ίσως την θυμούνται : Σχεδιάστε μονοκοντυλιά αποτελούμενη από

τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα , η οποία να διέρχεται και από τα εννιά σημεία .

Αν την ξέρετε , αφήστε τη να την χαρούν οι άλλοι ...

Θέματα της (τύπου εισαγωγικών εξετάσεων) ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2022.

1. Οι γωνίες $\alpha $ και $\beta$ ικανοποιούν τις εξισώσεις

$\sin (2\alpha +2\beta)= -\dfrac{1}{\sqrt{5}} , \quad \sin (2\alpha...

Μεγιστοποίηση του φούξια.png Στην πλευρά $AD$ του τετραγώνου $ABCD$ κινείται σημείο $S$ . Επί της $BS$ θεωρούμε

σημείο $P$ , τέτοιο ώστε : $SP=SA$ . Η $AP$ προεκτεινόμενη , τέμνει την πλευρά $BD$

στο σημείο $T$ . Για ποια θέση του $S$...

Χαιρετώ. Η βάση και αφορμή για το παρόν γίνεται εύκολα φανερή...

24-5 Αναζήτηση λόγου(1).png
Στο τετράπλευρο $ABCD$ του σχήματος τα $K,L,M$ είναι τα μέσα των $AD,BC,CD$ αντιστοίχως,

ενώ οι $DA,CB$ είναι κάθετες μεταξύ τους. Φέρω $MH \perp KL$...

Ώρα εφαπτομένης 132.png Τα σημεία $M , N $ είναι τα μέσα των πλευρών $BC , DE$ αντίστοιχα ,

του κανονικού εξαγώνου $A B C D E F$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Εμβαδόν τετραπλεύρου 1.png
Σε τετράπλευρο $ABCD$ με $AD=BC=2a,$ οι ευθείες $DA, CB$ τέμνονται κάθετα, ενώ οι κύκλοι με διαμέτρους

$AD, BC$ εφάπτονται εξωτερικά. Aν $\displaystyle \frac{{AB}}{{CD}} = k,$ να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου...

Από την εορτάζουσα, Κέρκυρα , λόγω της επετείου της ένωσης των Επτανήσων με την Ελλάδα , εύχομαι Χρόνια Πολλά στις εορτάζουσες και εορτάζοντες
του :logo: .

Στέλνω τις ευχές μου στους φίλους: Κώστα Ζυγούρη, Κωσταντίνο Βήττα, Κώστα Δόρτσιο, Κώστα...

Καλησπέρα! Παρακάτω παραθέτω μια άσκηση που μου κίνησε το ενδιαφέρον. Είναι από ασκήσεις προετοιμασίας για Seemous συγκεκριμένα το έτος 2014. Αν έχει ξανασυζητηθεί, παρακαλώ τους συντονιστές να διαγράψουν την παρούσα ανάρτηση.

Να βρεθούν όλες οι...

Υπολογίσατε το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{\ell=\lim_{n \rightarrow +\infty} \left }$

Το παραπάνω όριο είναι αρκετά ζόρικο. Περισσότερα όταν απαντηθεί.

Μετά από καιρό λόγω υποχρεώσεων βρίσκω λίγο χρόνο να γράψω κάτι στην παρέα μας (που κατά καιρούς βέβαια παρακολουθώ...)
Δεν ξέρω αν είναι το κατάλληλο μέρος για συζήτηση αλλά παρόλα αυτά προτείνω μια καταγραφή κωδικών κληρώσεων στην τράπεζα θεμάτων...