Η συνάρτηση $f(x)$ είναι ορισμένη στους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς και λαμβάνει τιμές στους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς. Να βρείτε την τιμή $f(2024)$, αν είναι γνωστό ότι για κάθε μη μηδενικό φυσικό αριθμό $n$ ικανοποιούνται $f(n+1) > f(n)$...

Να λυθεί στους πραγματικούς

$\displaystyle 256^y = \frac{1}{y}$

Ο Geoffrey Hinton εφηύρε τον αλγόριθμο της οπισθοδιάδοσης; Όχι ακριβώς. Παρόλο που ο Hinton έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην προώθηση της χρήσης του στις νευρωνικές δικτυώσεις τη δεκαετία του 1980, ο ίδιος ο αλγόριθμος προϋπήρχε κατά δεκαετίες—και το...

Καρτεσιανή κατασκευή.png $\bigstar$ Σχεδιάστε την - μη κατακόρυφη - χορδή $AB$ του κύκλου : $x^2+y^2=25$ ,

η οποία διέρχεται από το σημείο $S(-3 , 2 )$ και έχει μήκος $(AB)=8$ .

Ο καινούργιος σκακιστικός πεσσός γύπας μπορεί να κινείται είτε κατά ένα κελί αριστερά, είτε κατά δυο κελιά δεξιά και ένα προς τα πάνω, είτε κατά δυο κελιά προς τα πάνω και ένα δεξιά. Όλες οι δυνατές κινήσεις ενός γύπα, που βρίσκεται στο κελί...

Επικίνδυνη επαφή.png Σε κύκλο $(O,r)$ είναι προ - σχεδιασμένες οι διαδοχικές χορδές : $AB=3,2$ και : $BC=4$ .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο $B$ τέμνει την παράλληλη από το $C$ προς την $AB$ στο σημείο $S$ .

α) Υπολογίστε το τμήμα $CS$ ... β) Αν...

Μια μη παράλληλη μια βάση και μια διαγώνιος.png Οι πλευρές του τριγώνου $ABC$ είναι γνωστές . Συμπληρώστε το τραπέζιο $ABCD$

με κατάλληλη βάση $AD=x$ , έτσι ώστε ο λόγος $\dfrac{DB}{DC}$ , να ισούται με : $\dfrac{3}{2}$ .

Δίνεται επίπεδο στο οποίο έχει οριστεί ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ και δυο μη μηδενικά διανύσματα αυτού $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Συμβολίζουμε επίσης με $\theta$ τη γωνία που...

Μετρική για προπόνηση.png
$AD, BE$ είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου $ABC.$ Ο κύκλος διαμέτρου $DE$ επανατέμνει τις $BC, AC$

στα σημεία $K, L.$ Αν $AB=25, AD=20, AE=7,$ να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος $KL.$

48 ώρες μόνο για μαθητές.

Υψόκεντρο.png Ο κύκλος $(O)$ διέρχεται από τα ίχνη των υψών $AM , BD , CE$ του ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ .

Ποια ιδιότητα του τριγώνου , μας εξασφαλίζει ότι τα σημεία $E , O , D$ είναι συνευθειακά ;

Να βρεθεί το πλήθος των ψηφίων και στη συνέχεια το άθροισμα των ψηφίων αυτών του αριθμού:

$\displaystyle{A=(111)(\underset{100}{\underbrace{11...1}}) }$

Αφορμή η άσκηση:

Μια σειρά διαλέξεων πάνω στην Θεωρία Μέτρου ( στα Αγγλικά )...

===>

Η σειρά στηρίζεται στο βιβλίο Introduction to measure and integration by S. J. Taylor published by Cambridge University

Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,x$ με $a>b$

Να αποδειχθεί χωρίς χρήση παραγώγων η ανισότητα:

$b x^a - a x^b \ge b-a$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Εμπνευσμένο από εδώ:

Να βρεθούν όλες οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης $sin(xy'(x)-y(x))=e^y'(x)$

Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού

$3 \cdot \underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}} ^3 +2 \cdot \underset{100}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +\underset{100}{\underbrace{55 \ldots 5}}^2 +\underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}}$.

Ενάμισυ.png Στο ισοσκελές τρίγωνο $ABC , (AB=AC) $ , φέραμε τα ύψη $AD$

και $CE$ . Αν : $\dfrac{(AEC)}{(ADC)}=\dfrac{3}{2}$ , υπολογίστε την $\tan\hat{B}$ .

Πολυλογία.png Στο ορθογώνιο $ABCD , (a>b)$ , επιλέξτε σημείο $S$ της $BC$ και σημείο $T$ της $CD$ , τέτοια ώστε

τα τρία γωνιακά ορθογώνια τρίγωνα να είναι ισεμβαδικά . Υπολογίστε τώρα τον λόγο : $\dfrac{(TAS)}{(ABCD)}$ .

Επιπλέον υπολογίστε τον...

Μεσοπαράλληλη β' τύπου.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ η κάθετη πλευρά $AB=c$ είναι σταθερή , αντίθετα με την $AC$ η οποία μεταβάλλεται .

Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των $AB , BC$ στα σημεία $S , P$ αντίστοιχα . Ονομάζουμε $N , M $ τα μέσα...

Το παρακάτω θέμα είναι εύκολο, το θέτω μόνο και μόνο για
να στρέψω την προσοχή στην αδικημένη Στερεομετρία...

Σε τετράεδρο $ABCD$ διαλέγουμε τα σημεία $A',B',C',D'$επί των ακμών $AB,BC,CD,DA$
αντιστοίχως, έτσι ώστε...

Δυνατή κατασκευή.png Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , στο οποίο αν η διχοτόμος $BD$ και η διάμεσος $CM$

τέμνονται στο σημείο $S$ , να προκύπτει ότι τα τμήματα $AS $ και $MD$ , είναι κάθετα μεταξύ τους .

1) Πόσοι φυσικοί αριθμοί μικρότεροι του 10000 και πολλαπλάσια του 4 μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας τα ψηφία 0,1,2,3,5

2) Να βρείτε το άθροισμα όλων των ακεραίων που είναι μεγαλύτεροι του 10000 και μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας τα...

Η κρυφή γοητεία
της ξεχασμένης
μεθόδου των τριών.

για την 6η δημοτικού

Ρ.Μπόρης
3/12/2024

1 Λίγο καιρό πριν έπεσε στα χέρια μου ένα φυλλάδιο με προβλήματα για την 6η δημοτικού που αφορούσε «τας εισιτηρίους εξετάσεις προτύπων γυμνασίων...

Έστω $p$ πρώτος με $p \geq 7$. Να δειχθεί ότι ο $\frac{1}{p}$ δεν έχει πεπερασμένη δεκαδική αναπαράσταση.

Με αφορμή παλιές και καινούργιες συζητήσεις εδώ και εδώ ... προτείνω την εξής 'ανοικτή παραλλαγή':

Να βρεθούν η ακτίνα και το κέντρο του 'δισεφαπτόμενου' κόκκινου κύκλου, θεωρώντας γνωστά τα κέντρα και τις ακτίνες των μαύρων κύκλων και τα σημεία...

Φέτος είναι η 12η χρονιά που διοργανώνεται ο European Mathematical Cup, ένας διαγωνισμός που απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου.
Ο διαγωνισμός οργανώνεται σε 2 επίπεδα (Juniors, Seniors) με επίπεδο θεμάτων μάλλον λίγο υψηλότερου των...