Δίνεται το σύστημα : $\begin{matrix}
x+y+z & =3\\
x^2+y^2+z^2 &=45 \\
x^3+y^3+z^3 &=69
\end{matrix}$

Ή λύστε το ή υπολογίστε το : $xyz$ (χωρίς να το λύσετε ) !

Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης : $\dfrac{4x^4-37x^2y^2+9y^4}{2x^2+5xy-3y^2}$ , για : $x=868 , y=289$ .

Εγγράψιμα από παραλληλία.png
Σε τετράπλευρο $ABCD$ οι διχοτόμοι των γωνιών $A\widehat BD, A\widehat CD$ τέμνουν τις διαγώνιες $AC, BD$ στα

$S, T$ αντίστοιχα. Αν $ST//AD,$ να δείξετε ότι τα τετράπλευρα $ABCD, SBCT$ είναι εγγράψιμα.

edit:...

Ότι σας έρθει στο μυαλό.png Σας δίνω την πρώτη ύλη ( το σχήμα ) . Σκεφθείτε πως θα το αξιοποιήσετε , παράγοντας μια ενδιαφέρουσα άσκηση :mrgreen:

Από τον τόμο Ι του απειροστικού λογισμού των Νεγρεπόντη - Γιωτόπουλου - Γιαννακούλια και το κεφάλαιο του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αντιγράφω μια άσκηση:

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ συνεχής , 1-1 συνάρτηση με $f(2x-f(x))=x , \ \forall x \in...

Σταθερό τμήμα.png Το σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου $AOB$ είναι ομόκεντρο με το μεταβλητό αλλά μεγαλύτερο , διαμέτρου $QOS$ .

Από το σημείο $S$ φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $SP$ και την διχοτόμο της γωνίας $\widehat {QSP}$ , η οποία τέμνει

το μεγάλο...

Τμήμα και εμβαδόν.png Στο τρίγωνο $ABC$ , με : $\hat{C}=2\hat{B}$ , φέρουμε το ύψος $AD$ και την διάμεσο $AM$ .

α) Δείξτε ότι : $MD=\dfrac{b}{2}$ .

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει - μόνο - των πλευρών $a , b$ .

Πόσες κλειδαριές πρέπει να ανοίξουμε για να φύγει η ασφάλεια...?

Μας εξασφαλίζει κάτι η ύπαρξη τόσων πολλών κλειδαριών...?

Δύσκολη διχοτόμηση.png Από σημείο $S$ εξωτερικό του τριγώνου $ABC$ να αχθεί ευθεία , η οποία να τέμνει τις πλευρές του $AB , AC$,

σε σημεία $P , T $ αντίστοιχα , έτσι ώστε το τρίγωνο $APT$ να είναι ισεμβαδικό με το τετράπλευρο $PTCB$ .

Σημείωση :...

Λύστε ως προς $x$ την εξίσωση : $x^2+y^2-4x-\dfrac{7}{2}y+\dfrac{5}{2}xy+3=0$ .

Λύστε την ίδια εξίσωση με παραγοντοποίηση του πρώτου μέλους .

Ίσες και κάθετες.png Σημείο $S$ απέχει από το κέντρο του κύκλου $(O, r)$ , απόσταση $OS=3r$ . Φέρω το εφαπτόμενο

τμήμα $SP$ και τέμνουσα $SAB$ . Η κάθετη από το $P$ προς την $AB$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $T$ .

Πως πρέπει να αχθεί η $SAB$ ,...

Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης : $f(x)=2\sqrt{x+24}-\sqrt{x-24}$ , με όποιον τρόπο θέλετε .

2008_2.PNG 2008_3.PNG

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^4}{(2x-3)^3} , x>\dfrac{3}{2}$ . Υπολογίστε

την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αλλά χωρίς χρήση παραγώγων .

Η περιέργεια οδηγεί στην γνώση.png Βλέπετε ένα τετράγωνο και ένα τεταρτοκύκλιο . Δείξτε ότι υπάρχει θέση του $P$ επί της $CD$ ,

ώστε : $ST=TP$ . Μπορούμε να βρούμε αυτή τη θέση ; (Κατασκευαστικά ή υπολογιστικά) .

2012_1.PNG
2012_2.PNG

Έχουμε ένα απλό ρολόι τοίχου.

Η ώρα είναι 12:00 και ο ωροδείκτης ταυτίζεται με τον λεπτοδείκτη (έστω ότι δεν υπάρχει δεύτερο-λεπτοδείκτης).

Τι ώρα θα ξανα ταυτιστούν οι δείκτες;

Μπορείτε σας παρακαλώ να μου εξηγήσετε αυτή την άσκηση, γιατί δεν καταλαβαίνω; Ας πούμε, πως γίνεται η προβολή ενός διανύσματος κάθετου σε ένα επίπεδο να έχει συνιστώσα σε αυτό το επίπεδο; Δεν αναμένεται να είναι μηδενική αυτή η συνιστώσα; Που έχω...

Ωδή στην ισότητα.png Στην πλευρά $DC$ του - $a \times b$ - ορθογωνίου $ABCD$ , βρίσκεται σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $DS=k , k<\dfrac{a}{2}$ .

Να αχθεί ευθεία διερχόμενη από το $B$ , η οποία να τέμνει τις $AC , AS , AD$ κατά σειρά , στα σημεία $P ,...

Καλό μεσημέρι σε όλα τα μέλη του :logo: με μια εξίσωση :
Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών η εξίσωση :$(x^3/2+x+1)^3+x^3/2+3 = 0$