Εγκεντρικότητες.png Στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , είναι : $AD=AB=2BC$ και τα σημεία $E , F$

είναι τα έγκεντρα των τριγώνων $ABC , ACD$ αντίστοιχα . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AF}{CE}$ .

Δίνεται τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ με $\widehat{C}=50^{0}$ και ένα σημείο $D$ επί της πλευράς $BC,$ τέτοιο ώστε $BD=AC.$ Αν $\widehat {CAD}=15^{0},$ να υπολογίσετε τη γωνία $\widehat{ABC}.$
Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας.

Απαντήσεις Γραμμικής_watermark.pdf Καλησπέρα σας,
Στην προσπάθεια μου να προετοιμαστώ για το μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας προσπάθησα να λύσω τα παλιά θέματα της εξεταστικής. Φυσικά είχα κάποιες απορίες αναφορικά με τα θέματα και επειδή η...

Ορθότοπος.png Η πλευρά $AB =a$ , του παραλληλογράμμου $ABCD$ είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος ,

ενώ η $AD=b$ , μόνο κατά μέγεθος . ( Εφαρμογή : $AB=6 , AD =4$ )

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής $S$ , των διχοτόμων των γωνιών...

Μου προέκυψε καθώς προσπαθούσα να χωρέσω τρία ψωμάκια σε σχετικά μικρό πιάτο:

Να υπολογισθεί το μέγιστο δυνατόν συνολικό εμβαδόν τριών ίσων ορθογωνίων (μη αλληλοεπικαλυπτόμενων) συμμετρικά τοποθετημένων (όπως στο σχήμα) εντός κύκλου ακτίνας $R$....

Να βρείτε όλες τις τιμές των παραμέτρων $a,b$, για τις οποίες μεταξύ των ριζών της εξίσωσης

$\left ( a^2+2ab -b^2 -7\right )^2 -(2a^2-5ab +b^2+1) \left ( x-7 \right) 5^{x} + \tan^2 x =0$

υπάρχουν δυο διαφορετικές με ίση απόλυτη τιμή.

Πηγή:...

Εαν $\displaystyle a=4^{-2}$ βρείτε το $\displaystyle a^{a}$

Δείξτε τις πράξεις σας. :mrgreen:

Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f,g: \Bbb{R}\to \Bbb{R}$ για τις οποίες ισχύει $g(f(x))+f(x)=x,$ για κάθε $x\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής.

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες!
Παραθέτω μια δική μου άσκηση, ελπίζω να είναι στον σωστό φάκελο...

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\triangle{AB\Gamma}$, με $AB

Τουλάχιστον.png Η απόσταση δύο παραλλήλων είναι $d$ . Το $O$ είναι σταθερό σημείο της κάτω ευθείας .

Το τμήμα $AMB$ είναι κάθετο προς τις ευθείες , τέτοιο ώστε : $OB=\lambda d , \lambda >0$ .

Το $S$ είναι σημείο της μεσοπαράλληλης τέτοιο ώστε :...

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$, ο περίκυκλός του $(O,R)$ και ο έγκυκλός του $(I,r).$ Αν η $AI$ τέμνει τον κύκλο $(O,R)$ στο σημείο $D,$ να αποδείξετε ότι $AI\cdot ID=2Rr.$

Καλησπέρα, θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε τη διαφορά μεταξύ των προτάσεων: έστω τυχαίο σημείο $x_o\epsilon\mathbb{R}$ και έστω αυθαίρετο σημείο $ x_o\epsilon\mathbb{R} $ ;
Σας ευχαριστώ

Να βρεθεί χωρίς χρήση παραγώγων το μέγιστο της $\displaystyle{ \dfrac {x^4-x^2}{x^6+2x^3-1} ,\,\,\, x\ge 1}$.

Μεγαλομανία.png Δύο ίσοι κύκλοι , σταθερής ακτίνας $r$ , εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο $A$ και ( εφάπτονται ) εσωτερικά

σε μεγαλύτερο κύκλο , μεταβλητής ακτίνας $R$ , στα σημεία $B , C$ . Υπολογίστε το μέγιστο του : $(ABC)$ .

Επιστροφή στην κανονικότητα.png Ένα κανονικό εξάγωνο και δύο τετράγωνα . Υπολογίστε - και μάλιστα με πολλούς τρόπους - την γωνία $\theta$ .

Να λύσετε την ανίσωση

$\dfrac{5}{6-3\sqrt{6-x-x^2}} - \dfrac{1}{x+1} > \dfrac{1}{1+|x+1|}$ .

Χρόνια πολλά στην Μαρία , στην Δέσποινα , στον Παναγιώτη.
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21.png
Έστω τα εφαπτόμενα τμήματα $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ κύκλου $\left( \Omega \right)$. Τυχαία τέμνουσα δια του $S$ συναντά, στα $C\,\,\kappa...

Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ μία συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $x,\, y$ με $|f(x)-f(y)| \ne 1$.

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας. Νομίζω ότι είναι αρκετά διδακτική άσκηση για τους πρωτόπειρους.)

Θα μπορούσε κάποιος να μου εξηγήσει την ανισότητα του αρχιμήδη χωρίς τον συμβολισμό Σ????

Αν $m,n\in \mathbb{N}},$ τότε να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle1^m+2^m+3^m+...+(n-1)^m<\frac{n^{m+1}}{m+1}<1^m+2^m+3^m+...+n^m.$

Ένας μαθητής είχε πέντε ευθύγραμμα τμήματα με μήκη $a
Παρακαλώ...

Να συγκριθούν τα κλάσματα

$\displaystyle{\dfrac {\overline {A4B1}}{\overline {9B3A}}}$ και $\displaystyle{ \dfrac {\overline {98AB}}{\overline {AB71}}\,\,\,\,}$.

Ως συνήθως το $ \overline {XYZW}$ συμβολίζει τον τετραψήφιο αριθμό με ψηφία $X,\,...

Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η γωνία $\pi ^2$ ακτίνια;

Ομοίως αλλά για γωνία $45$ ακτίνια.

(Κάνει για όσους έχουν ακούσει τι θα πει ακτίνιο. Δεν θυμάμαι σε ποια τάξη το πρωτοακούν οι μαθητές μας.
Ως άσκηση είναι πολύ απλή αλλά την τοποθετώ για...

Να βρεθούν τα $x,y$ αν $x^2+y^2=1$ και $(3x-4x^3)(3y-4y^3) = -\dfrac {1}{2}$.

(Αν σκεφτείς την πονηριά, θα την λύσεις σε δυο-τρεις γραμμές.)

Να βρείτε όλες τις τιμές του φυσικού αριθμού $n,$ που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός $\sqrt{n}+\sqrt{49n+80}$ να είναι φυσικός.