ΕΙΚΑΣΙΑ ΜΠΑΡΤΖΟΠΟΥΛΟΥ.
Άρθρο σε Ηλεκτρονική Μορφή, από το Ν. Κυριαζή.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Μετά το τέλος της μελέτης – έρευνας της εικασίας του κ. Α. Μπαρτζόπουλου, που αναρτήθηκε τμηματικά ΕΔΩ , με τα τέσσερα συνημμένα μου...

συνημίχιονο.png Στο τρίγωνο $ABC$ , με $AB=AC$ , η μεσοκάθετος της $AC$ τέμνει την $BC$

σε σημείο $S$ . Αν $BS=\dfrac{BC}{3}$ , μπορείτε να υπολογίσετε το $\cos \hat{A}$ ;

Τρεις μεσοκάθετοι.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , η μεσοκάθετος της $AC$ τέμνει την $BC$ στο $M$ ,

η μεσοκάθετος της $AM$ , τέμνει την $BC$ στο $S$ και την $AC$ στο $T$ και τέλος ,

η μεσοκάθετος της $AS$ , διέρχεται από το $T$ ....

Συνάντηση ανομοίων.png Το ύψος $AD$ , η διχοτόμος $BE$ και η διάμεσος $CM$ , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ ,

( με $\hat{A}=90^{\circ}$ ) , διέρχονται από το ίδιο σημείο $S$ . Υπολογίστε το : $\sin \hat{C}$ .

Ενα βιογραφικό άρθρο για τον Richard Rusczyk δημιουργό του πασίγνωστου μαθηματικού ιστότοπου Art of Problem Solving (ΑοPS). :idea:

Link --->

Αν $\displaystyle{x , y}$ είναι φυσικοί αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) και ο $\displaystyle{z}$ είναι πρώτος διψήφιος αριθμός και αν επί πλέον είναι

$\displaystyle{x + y < 3}$, να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x , y , z}$ αν γνωρίζουμε ότι ο...

Διάμεσος και διχοτόμος.png
Σε τρίγωνο $ABC$ , $AC = 2AB$ . Φέρνω τη διάμεσό του $BM$ και τη διάμεσο $BN$ του $\vartriangle ABM$.

Δείξετε ότι η $BM$ είναι διχοτόμος του $\vartriangle NBC$.

Κι εδώ υπάρχει πληθώρα λύσεων , έγκυρες όλες .

Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = {c^2} + ac.$ Μία γωνία διπλάσια της άλλης.png
Μπορείτε να βρείτε άλλες σχέσεις που ισχύουν σε ένα τρίγωνο όταν $\widehat B = 2\widehat C;$

2022-01-24_11-20-10.jpg Στο παραπάνω σχήμα, υπάρχουν δύο ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα που επικαλύπτονται. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $AST$

Από σταθερό σημείο 12.png Το τμήμα $OD$ είναι σταθερό , ενώ το $OA$ μεταβάλλεται . Κατασκευάζουμε ορθογώνιο $ABCD$

με εμβαδόν $E=d^2$ . Δείξτε ότι η πλευρά $BC$ του ορθογωνίου , διέρχεται από σταθερό σημείο .

Το τρίτο το μεγαλύτερο.png Του ορθογωνίου $QPST$ , οι κορυφές $P , T$ είναι σημεία του κύκλου $(O,r)$ , το $S$ είναι εσωτερικό

σημείο του κύκλου , με $OS=d$ και το $Q$ βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου . Υπολογίστε το $OQ$ .

Πιθανόν να είναι...

Επιλέγουμε τυχαία τρεις αριθμούς από το διάστημα $ $.
Ζητείται η πιθανότητα οι αριθμοί αυτοί να είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου.

Ευθύμης

Εντυπωσιακό τετράπλευρο.png Πέραν της ομορφιάς του , το τετράπλευρο έχει και την ιδιότητα , η περίμετρος

και το εμβαδόν του , να εκφράζονται με τον ίδιο αριθμό . Υπάρχει άραγε ;

Θέματα της εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδας του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το 2021.

1. Έστω $S$ το άθροισμα των πρώτων $10$ όρων αύξουσας αριθμητικής προόδου $a_{1}, a_{2}, \ldots,$ που αποτελείται από ακέραιους αριθμούς. Είναι...

Κάθε ηλικίας.png Τα σημεία $E , F$ κινούνται στις πλευρές $BA , CA$ αντίστοιχα , τριγώνου $ABC , (AB
ώστε : $BE=CF$ . Το σημείο $D$ είναι το μέσο του $BC$ και το $M$ είναι το μέσο του $EF$ .

Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του $BC$ , σχηματίζει...

ΠΡΩΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Δίνονται οι συναρτήσεις $g : [0 , +\infty) \rightarrow \mathbb{R} , x \mapsto \frac{x}{x+1}$ και $f : \mathbb{R} \rightarrow [0, +\infty)$. Υποθέτουμε ότι η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ότι ικανοποιεί τη σχέση:...

Με τρεις διαβήτες.png Ο κύκλος $(O,5)$ είναι σχεδιασμένος . Σας δίνω τρεις διαβήτες με σταθερά ανοίγματα $1 , 2 , 3$

μονάδων μήκους . Μπορείτε να σχεδιάσετε τους : $(K,3) , (Q,1)$ , έτσι ώστε να εφάπτονται

εξωτερικά μεταξύ τους αλλά και...

Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle f(x) = {e^{ - x}}$ στο σημείο $\displaystyle A(a,f(a))$ με $\displaystyle a > 0$ , τέμνει τους άξονες $\displaystyle xx',yy'$ στα σημεία $\displaystyle D,E$ , αντίστοιχα. Φέρουμε και τις...

Μισή ορθή.png
Σε τετράγωνο $ABCD$ και στις πλευρές του $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ θεωρούμε σημεία , $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ έτσι ώστε: $\widehat {AGF} = \widehat {CGD} = 60^\circ $.

Να δείξετε ότι : $\widehat {GCF} = 45^\circ $....

Να βρεθεί ο τύπος της $\displaystyle f$ γνωρίζοντας ότι
$\displaystyle f(x)=2x-2{{\left( \int_{0}^{1}{f(x)dx} \right)}^{2}}$

Δείξτε ότι μπορείτε από την : $\dfrac{3\pi}{2}

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.pdf

Μόλις δημοσιεύτηκαν τα πρακτικά του 11ου Συνεδρίου για την Ανοικτή και εξ Αποστάσεως Εκπαίδευση (26-28 Νοεμβρίου 2021) από το ΕΑΠ και τη σχολή ανθρωπιστικών επιστημών. Δημοσιεύουμε το κείμενο της εργασίας που εκπονήσαμε μαζί με τους Κυριαζή Χρήστο...