Έστω τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ με $\angle A=60^{0}$ και οι διχοτόμοι του $AD,BE$. Αν $AD+BD=AE+BE,$να υπολογίσετε τη γωνία $\angle ACB.$

Ποιός αριθμός έχει γινόμενο διαιρετών (συμπεριλαμβανομένου τοyυ $1$ και του εαυτού του) ίσο με $10^{450}$;

(Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας.)

Παραλληλία από μεσοκάθετες.png
Έστω $D,E$ σημεία των πλευρών $AB,AC$ αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ ώστε: $AD=AE$. Αν $P,Q$ είναι τα σημεία τομής των μεσοκαθέτων των $BD,CE$ με τα τόξα $AB,AC$ του περίκυκλου $\left( O \right)$ του τριγώνου...

Λόγος εμβαδών - λόγος τετραγώνων.png
Δύο κύκλοι $\displaystyle{
\left( O \right),\left( K \right)
}$ τέμνονται στα σημεία $\displaystyle{
A,B
}$ . Η εφαπτόμενη στο σημείο $\displaystyle{
A
}$ στον κύκλο $\displaystyle{
\left( O \right)
}$ τέμνει...

Διαφορά και λόγος εμβαδών.png
Με διάμετρο την πλευρά $BC=a$ τετραγώνου $ABCD$ γράφω ημικύκλιο εκτός του τετραγώνου και θεωρώ σημείο του $E$ ώστε

$E\widehat CB=30^\circ.$ Αν η $DE$ τέμνει την $BC$ στο $F,$ να υπολογίσετε την διαφορά $(BDF)-(CEF)$...

Ισεμβαδικότητα.png Σε σημείο $S$ ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την

προέκταση της $AB$ στο σημείο $T$ . Το $A'$ είναι η προβολή του $A$ στην εφαπτομένη .

Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία προκύπτει :...

Να βρεθεί χωρίς χρήση παραγώγων το μέγιστο της $\displaystyle{ \dfrac {x^4-x^2}{x^6+2x^3-1} ,\,\,\, x\ge 1}$.

Ο παρακάτω κώδικας είναι κομμάτι της άσκησης $1.32$ και παράγει τα κουτάκια του Σ - Λ. Όπως βλέπετε στο παραγόμενο αρχείο τα κουτάκια εξέχουν των περιθωρίων. Υπάρχει κάποιος τρόπος να διορθωθεί;

\documentclass {memoir}
\usepackage{amsmath}...

Να βρεθεί το μικρότερο πολλαπλάσιο του $13$ το οποίο έχει ακριβώς $35$ διαιρέτες.

(Παρακαλώ να μην σπεύσει κανείς να γράψει υπόδειξη όπως εδώ ή πλήρη απάντηση κατά παράβαση του κανονισμού όπως εδώ . Είμαστε δάσκαλοι και αυτό που μας ενδιαφέρει...

Ένα μεγάλο ΕΥΓΕ στους μαθητές μας για την διάκρισή τους στην πρόσφατη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Βλέπε εδώ από όπου αντιγράφω.

...................................... Total Rank Award
..................................... Abs. Rel.
Prodromos...

Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η γωνία $\pi ^2$ ακτίνια;

Ομοίως αλλά για γωνία $45$ ακτίνια.

(Κάνει για όσους έχουν ακούσει τι θα πει ακτίνιο. Δεν θυμάμαι σε ποια τάξη το πρωτοακούν οι μαθητές μας.
Ως άσκηση είναι πολύ απλή αλλά την τοποθετώ για...

Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός $N$ τέτοιος ώστε ο $1,316N$ είναι φυσικός;

(Κάνει για Γυμνάσιο)

Να υπολογιστεί η τιμή της ρίζας $\sqrt{12345678987654321}$.

findx.png Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε τη γωνία $x$. Υπάρχουν λύσεις και για μικρότερο φάκελο!

Τριπλότοπος.png Η κορυφή $A$ του τριγώνου $ABC$ κινείται στην ευθεία $y=6$ , ενώ οι $B , C$ στην : $y=0$ .

Θεωρούμε σημεία $D , E$ των $AB , AC$ αντίστοιχα , ώστε : $BD=\dfrac{AB}{4}$ και $CE=\dfrac{AC}{3}$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου...

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle \sqrt{\frac{2^{43} + 4^{21} + 8^{13}}{4^{19} + 2^{35}}}$.

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ με περίκεντρο $O$. Θεωρούμε ευθεία που διέρχεται από το $A$ και τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου $BOC$ στα σημεία $D,E$ (το $D$ στο εσωτερικό του $ABC$), έτσι ώστε $\angle DCB=15^{0}.$
Αν $M,N$ τα μέσα των $CD,CE$...

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του $\triangle{ABC}$ εφάπτεται των πλευρών $BC$, $CA$, $AB$ στα σημεία $D$, $E$, $F$, αντίστοιχα.
Θεωρούμε σημείο $P$ στην ευθεία $EF$ τέτοιο ώστε $AP \parallel BC$, και η $AD$ τέμνει για δεύτερη φορά τον εγγεγραμμένο
κύκλο...

Καλή Κυριακή σε όλους.
Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG
Στο σχήμα είναι $\widehat{AOB}=90^{0}$ και $3OB=2OA$ . Το $E \in AB$ ώστε $3\left ( BOE \right )= 10\left ( AOE \right )$.

Να βρεθεί η $\widehat{OEB}$ . Ευχαριστώ Γιώργος.

Δεκτές όλες οι λύσεις...

33.png

Καλησπέρα .

Στο παραπάνω σχήμα το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο, ενώ τα τρίγωνα $AED, CFD$ ισόπλευρα.
Αν $Q\equiv AE\cap FC$ και $PQ=8\sqrt{3}$, να βρείτε το μήκος του τμήματος $x=DL$.

Χωρίς τριγωνομετρία.png
Να δείξετε χωρίς χρήση τριγωνομετρίας ότι, $AC = BD$

Χαίρετε !
Για την ισότητα των λόγων.png
Δίνεται το τετράγωνο $ABCD$ και $P \in AB$ ώστε να είναι $\dfrac{AB}{AP}=3$.

Το ημικύκλιο διαμέτρου $DP$ τέμνει την $AC$ στο $E\not\equiv A$. Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{AC}{EC}$

Ας επιτεθούμε στην άσκηση...

Χαιρετώ. Αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος το ωραίο θέμα τούτο
10-8 Ισότητα λόγων.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει ορθόκεντρο το $H$ , ενώ το $F$ είναι σημείο της πλευράς $BC$.

Θεωρούμε ευθεία κάθετη στην $AF$ που τέμνει την $HB$ στο $K$ , την...

Έστω $n \geq 2$. Να υπολογιστεί ο $\displaystyle{d_n:=\gcd \left\{\binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \dots , \binom{n}{n-1}\right\}}$.

Θα μπορούσε και σχολική.png
$AD, BE, CF$ είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ και $P$ είναι ένα από τα σημεία τομής της

$EF$ με τον περίκυκλο του τριγώνου. Αν οι $BP, DF$ τένμνονται στο $Q$ να δείξετε ότι $AP=AQ.$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για...