Η αναζήτηση βρήκε 3 εγγραφές: 454

Αναζήτησης ερώτημα: 454

από matha
Δευ Απρ 30, 2012 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 236746

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

socrates έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 454
Αν a,b,c>0 με \displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} ,} να δείξετε ότι

\frac{a}{bc(b+c)}+\frac{b}{ca(c+a)}+\frac{c}{ab(a+b)}\ge\frac{3}{2}
Με το μετασχηματισμό \displaystyle{a\to \frac{1}{x},b\to \frac{1}{y},c\to \frac{1}{z},}

λύνουμε το ισοδύναμο πρόβλημα:

Αν \displaystyle{x,y,z>0} με \displaystyle{x+y+z\geq \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y},} (1)

τότε

\displaystyle{\frac{(yz)^2}{x(y+z)}+\frac{(zx)^2}{y(z+x)}+\frac{(xy)^2}{z(x+y)}\geq \frac{3}{2}.}

Λόγω της (1) και της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ είναι άμεσο ότι

\displaystyle{x+y+z\geq 3} (2).

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ακόμα

\displaystyle{x+y+z\geq \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}=\frac{x^2}{zx}+\frac{y^2}{xy}+\frac{z^2}{yz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx},}

άρα

\displaystyle{xy+yz+zx\geq x+y+z,} οπότε λόγω της (1) είναι και \displaystyle{xy+yz+zx\geq 3.} (3)

Τώρα, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε

\displaystyle{\frac{(yz)^2}{x(y+z)}+\frac{(zx)^2}{y(z+x)}+\frac{(xy)^2}{z(x+y)}\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)}=\frac{xy+yz+zx}{2}\geq \frac{3}{2},} λόγω της (3).
από sokratis lyras
Δευ Απρ 30, 2012 7:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 236746

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

socrates έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 454
Αν a,b,c>0 με \displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} ,} να δείξετε ότι

\frac{a}{bc(b+c)}+\frac{b}{ca(c+a)}+\frac{c}{ab(a+b)}\ge\frac{3}{2}
Έχω ένα λάθος.Επανέρχομαι και ευχαριστώ κ.Θανάση.
από socrates
Δευ Απρ 30, 2012 6:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 236746

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

ΑΣΚΗΣΗ 453
Αν n>1 ακέραιος και p πρώτος, τέτοιοι ώστε n\mid p-1 και p\mid n^{3}-1 , να δείξετε ότι ο αριθμός 4p-3 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

ΑΣΚΗΣΗ 454
Αν a,b,c>0 με \displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} ,} να δείξετε ότι

\frac{a}{bc(b+c)}+\frac{b}{ca(c+a)}+\frac{c}{ab(a+b)}\ge\frac{3}{2}

ΑΣΚΗΣΗ 455
Βρείτε το ελάχιστο της παράστασης

\displaystyle{ \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}} ,}

όπου a,b>0 με a+b=1.

ΑΣΚΗΣΗ 456
Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης \displaystyle{ x^{2010}-2006=4y^{2009}+4y^{2008}+2007y. }

Επιστροφή σε “Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο”