Η αναζήτηση βρήκε 3 εγγραφές: 347

Ερώτημα αναζήτησης: 347

Επιστροφή στο “Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο”

από socrates
Δευ Δεκ 26, 2011 1:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2712
Προβολές: 496905

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Επαναφέρω μερικά από τα θέματα που δεν απαντήθηκαν:
socrates έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 294
Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους n τέτοιους ώστε: \displaystyle{d\in \Bbb{N}, \ d|n \implies d+1|n+1.}
socrates έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 344
Ο πρώτος όρος μιας ακολουθίας αριθμών είναι 2 και ο δεύτερος 6. Κάθε επόμενος όρος προκύπτει ως ο λόγος του τελευταίου προς τον προτελευταίο.
Να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων 2011 όρων της ακολουθίας.
socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 347
Μας δίνονται 13 ακέραια βάρη. Γνωρίζουμε ότι αφαιρώντας οποιοδήποτε βάρος, μπορούμε να χωρίζουμε τα υπόλοιπα 12 σε δύο ομάδες των έξι με το ίδιο βάρος.
Να δείξετε ότι όλα τα βάρη είναι ίσα.
Γενίκευση: viewtopic.php?f=59&t=21087
socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 348
Έχουμε δυο σακούλια με κόκκινους και μπλε βόλους, έναν τουλάχιστον από κάθε χρώμα σε κάθε σακούλι.
Υποθέτουμε ότι αν διαλέξουμε στην τύχη ένα από τα σακούλια και έπειτα έναν βόλο από αυτό, η πιθανότητα να είναι κόκκινος είναι ίση με την αντίστοιχη πιθανότητα αν βάλουμε όλους τους βόλους σε ένα σακούλι και διαλέξουμε ένα βόλο.
Αν το πρώτο σακούλι περιέχει 7 βόλους και το δεύτερο 5 κόκκινους βόλους, να βρείτε πόσους βόλους περιέχει συνολικά το δεύτερο σακούλι.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 352: Να βρεθεί ο αριθμός των ζευγών (m,n) θετικών ακεραίων που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 1000 και τέτοιοι ώστε:

\frac{m}{n+1}<\sqrt{2}<\frac{m+1}{n}
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 358 :Θεωρούμε το σύνολο A=\left\{1,2,3,...,100 \right\} καθώς και τα υποσύνολα αυτού :

B=\left\{b_{1},b_{2},...,b_{50} \right\}, όπου b_{1}<b_{2}<...<b_{50} και

C=\left\{c_{1},c_{2},...,c_{50} \right\}, όπου c_{1}>c_{2}>...>c_{50}

Να αποδειχθεί ότι :

\left|b_{1}-c_{1} \right|+\left|b_{2}-c_{2} \right|+...+\left|b_{50}-c_{50} \right|=2500


ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα σύνολα B,C είναι ξένα μεταξύ τους {Ευχαριστώ τον Παύλο για ην επισήμανση}
vzf έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 359 :
Για κάθε m,x,y,N,k \in \mathbb{Z} και k \neq 0 να δείξετε ότι: \displaystyle N x^2 + k = y^2 \implies N \left({\frac{mx + y}{k}}\right)^2 + \frac{m^2 - N}{k} = \left({\frac{my + Nx}{k}}\right)^2.
ΑΣΚΗΣΗ 360 :
Να λύσετε την ανισότητα για θετικά x:~
\displaystyle{x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})\leq 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}}.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 363: Τα γράμματα της λέξης ΘΑΛΗΣ μπορούν να μετατεθούν με όλους τους δυνατούς τρόπους για να κάνουν 120 διαφορετικές λέξεις. Αν οι λέξεις αυτές γραφούν με αλφαβητική σειρά (όπως στα λεξικά), ποιο θα είναι το τελευταίο γράμμα της 111ης λέξης;
sokratis lyras έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 367
Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:
9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y
Την είδαμε εδώ: viewtopic.php?p=103576#p103576
sokratis lyras έγραψε:AΣΚΗΣΗ 368
Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδόν της επιφάνειας ενός ορθογωνίου κουτιού με όγκο V>1000 και με μήκη πλευρών ακέραιοι αριθμοί.
dimitris.ligonis έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 370

για a,b,c θετικούς πραγματικούς, με abc=1 και a^3>36 να δειχθεί ότι:

\frac{a^2}{3}+b^2+c^2\geq ab+bc+ac
από socrates
Κυρ Δεκ 04, 2011 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2712
Προβολές: 496905

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 346
Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους a,b για τους οποίους ο αριθμός (ab)^2 - 4(a + b) είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Υπόδειξη-λύση:
Παρατηρούμε ότι (ab)^2 - 4(a + b)<(ab)^2 οπότε (ab)^2 - 4(a + b)\leq (ab-1)^2 .
Όμως, η εξίσωση (ab)^2 - 4(a + b) = (ab-1)^2 είναι αδύνατη γιατί τα δύο μέλη έχουν διαφορετική αρτιότητα.
Άρα, (ab)^2 - 4(a + b)\leq (ab-2)^2 δηλαδή (a-1)(b-1)\leq 2.
Αν a,b\geq 3 έχουμε άτοπο. Άρα κάποιος, π.χ. ο a είναι 1\leq a\leq 2 που σημαίνει a=1,2.
Προκύπτουν δυο εξισώσεις (λύνονται π.χ. με συμπλήρωση τετραγώνου.)
socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 347
Μας δίνονται 13 ακέραια βάρη. Γνωρίζουμε ότι αφαιρώντας οποιοδήποτε βάρος, μπορούμε να χωρίζουμε τα υπόλοιπα 12 σε δύο ομάδες των έξι με το ίδιο βάρος.
Να δείξετε ότι όλα τα βάρη είναι ίσα.
Υπόδειξη-λύση:
Έστω x_1,x_,...,x_{13} τα βάρη. Θεωρούμε την ακολουθία y_i=S-13x_{i} όπου S το άθροισμά τους.
Τότε T=\sum y_i=0 και 2|T-y_i δηλαδή 2|y_i για κάθε i.
Διαιρούμε όλα τα y_i με το 2 και αναγόμαστε στο ίδιο πρόβλημα.
Δηλαδή διαιρούμε με το 2 άπειρες φορές, που σημαίνει y_i=0 για κάθε i.
από socrates
Κυρ Νοέμ 27, 2011 6:37 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2712
Προβολές: 496905

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 328:
Είναι δυνατό να βρεθούν 100 ευθείες στο επίπεδο που να έχουν ακριβώς 1998 σημεία τομής; Εξηγείστε την απάντησή σας.
viewtopic.php?p=103503#p103503

ΑΣΚΗΣΗ 344
Ο πρώτος όρος μιας ακολουθίας αριθμών είναι 2 και ο δεύτερος 6. Κάθε επόμενος όρος προκύπτει ως ο λόγος του τελευταίου προς τον προτελευταίο.
Να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων 2011 όρων της ακολουθίας.

ΑΣΚΗΣΗ 345
Σε ένα συνέδριο συμμετέχουν 2011 άτομα και υπάρχουν 4020 (αμοιβαίες) γνωριμίες.
Να δείξετε ότι κάποιος από τους συνέδρους γνωρίζει το πολύ 3 άλλους συνέδρους.

ΑΣΚΗΣΗ 346
Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους a,b για τους οποίους ο αριθμός (ab)^2 - 4(a + b) είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

ΑΣΚΗΣΗ 347
Μας δίνονται 13 ακέραια βάρη. Γνωρίζουμε ότι αφαιρώντας οποιοδήποτε βάρος, μπορούμε να χωρίζουμε τα υπόλοιπα 12 σε δύο ομάδες των έξι με το ίδιο βάρος.
Να δείξετε ότι όλα τα βάρη είναι ίσα.

ΑΣΚΗΣΗ 348
Έχουμε δυο σακούλια με κόκκινους και μπλε βόλους, έναν τουλάχιστον από κάθε χρώμα σε κάθε σακούλι.
Υποθέτουμε ότι αν διαλέξουμε στην τύχη ένα από τα σακούλια και έπειτα έναν βόλο από αυτό, η πιθανότητα να είναι κόκκινος είναι ίση με την αντίστοιχη πιθανότητα αν βάλουμε όλους τους βόλους σε ένα σακούλι και διαλέξουμε ένα βόλο.
Αν το πρώτο σακούλι περιέχει 7 βόλους και το δεύτερο 5 κόκκινους βόλους, να βρείτε πόσους βόλους περιέχει συνολικά το δεύτερο σακούλι.

Επιστροφή στο “Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο”