Καλησπέρα Διονύση! Μία απάντηση που νομίζω είναι απλή. Έστω $M$ το μέσο της $TS$. Αρκεί να δειχθεί ότι ανήκει πάνω στη $BC$, δηλαδή στο ριζικό άξονα των κύκλων κέντρου $A$ και κέντρου $O$. Αρκεί, επομένως, να έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους δύο κύκλους. Ισχύει όμως $TM \cdot MS = TM^2 = AM \cdot MD$...

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί την σχέση $f(x+2y) = 2f(x)f(y)$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι σταθερή. Γεια σας κ. Δημήτρη! Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια. Εναλλάσσοντας τα $x, y$ λαμβάνουμε $f(y + 2x) = 2f(y)f(x)$ για κάθε $x, y...

ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος $n$ για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο $S$ με ακριβώς $n$ στοιχεία τέτοια ώστε (i) Κάθε στοιχείο του $S$ είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016. (ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία $a,b$ του $S$, όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό το...

Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}}$ Καλησπέρα! Μία προσπάθεια: Είναι: $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (\cos x)^{11/...

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία $\displaystyle{{a_n} = \left[ {n + \sqrt n + \frac{1}{2}} \right]\;,\;n \in N*}$ είναι η ακολουθία των μη τετράγωνων φυσικών αριθμών, δηλαδή $\displaystyle{2,3,5,6,7,8,10,..}$ Καλησπέρα, μια προσπάθεια: Έστω $k^2 \leq n < (k+1)^2$. Έχουμε δύο περιπτώσεις: $\bullet$ $k^...

Γεια σας κ. Νίκο! Είναι γνωστό πως οι $AD, BE, CZ$ συντρέχουν στο σημείο Gergonne(αποδεικνύεται εύκολα με Ceva). Επομένως, η σειρά $(P, D, B, C)$ είναι αρμονική. Τώρα με παράλληλη στην $AD$ παίρνουμε τρία σημεία τομής πάνω στις ευθείες της δέσμης $A(P, D, B, C)$ εκ των οποίων το ένα είναι μέσο του τ...

Γ' Λυκείου , ως 10/06/2016 Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+ \infty) \rightarrow (- \infty, 0)$ , με $f'(1)= - \frac{1}{2}$ , για την οποία $xf'(x)+1=e^{f(x)}$ Καλησπέρα κ. Λάμπρο! Μία προσπάθεια: Αφού $x > 0$ είναι $f'(x) = \dfrac{e^{f(x)}-1}{x}$ από όπου παίρνουμε ότι η $f'$ είναι παραγωγ...

Καλησπέρα!

Είναι

Άρα και έτσι το ζητούμενο εδείχθη.

Η ισότητα πιάνεται όταν

Θεωρούμε την πράξη $\displaystyle{\ominus :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z},}$ $\displaystyle{a\ominus b=\frac{a-b}{\gcd (a,b) }.}$ Να αποδείξετε ότι ακέραιος $\displaystyle{n>1}$ είναι δύναμη πρώτου αν και μόνο αν για όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{m}$ με $\displaystyle{m<n}...

Καλημέρα! Μία προσπάθεια: Έστω $P(x,y)$ ο ισχυρισμός. Η συνάρτηση δεν είναι η μηδενική και επομένως υπάρχει $a$ τέτοιο ώστε $f(a) \neq 0$. $P(0,a) \implies -f(f(0))f(a) = f(0)f(a) \implies f^2(f(0)) = f^2(0)$. $P(f(0), 0) \implies 0 = f^2(f(0)) \iff f(0) = 0$. Αν τώρα είναι $f(k) = 0$ τότε $P(k,1) \...

Καλημέρα! Μία αντιμετώπιση εκτός φακέλου:

Συμπληρώνουμε τον κύκλο και έστω η άλλη εφαπτόμενη από το . Αν τότε είναι ενώ είναι γνωστό ότι .

Είναι όμως και άρα που δίνει το ζητούμενο.

Καλησπέρα σε όλους! Έστω $P(x,y)$ ο ισχυρισμός. Τότε $P(0,a) \implies f(0)=0$. $P(a, a) \implies a+a^2 \geq 1 + a^2 \iff a \geq 1$. $P(-1, -1) \implies f^3(-1) + 1 \leq 0 \iff f(-1) \leq -1 < 0$. $P(a, -1) \implies f(-1)(a-1) \geq 0 \iff a-1 \leq 0$ και άρα $a=1$ που δίνει $f(1)=1$. $\displaystyle{P...

Καλησπέρα! Έστω $P(x,y)$ ο ισχυρισμός. Τότε για $P(1, y-1)$ παίρνουμε $f(f(y)) = f^2(1) + y-1$ από όπου η $f$ είναι $1-1$ και επί. Υπάρχει επομένως $a$ τέτοιο ώστε $f(a)=0$. $P(a, 0) \implies f(0) = 0$. Τότε για $P(x,-x)$ παίρνουμε $f^2(x) = x^2, \forall x \in \Bbb{R}$. Ακόμα υπάρχει $b$ τέτοιο ώστε...

Καλησπέρα κ. Θανάση! Πολύ όμορφη άσκηση! Έστω $T, U$ τα μέσα των $AP, AS$ αντιστοίχως. Αρκεί $\angle NMP = \angle NLB$. Όμως $\angle NMP = \angle NMT + \angle TMP = \angle NMT + \angle ASB= \angle NMT + \angle ALB$. Αρκεί επομένως $\angle NLA = \angle NMT$. Θα δείξω ότι τα τρίγωνα $ALN, NTM$ είναι ό...

Καλησπέρα! Μία προσπάθεια:

Έστω ότι για κάποιο . Τότε είναι απλό να δούμε ότι περιττός και άρα αφού και περιττός, θεωρώντας την εξίσωση έχουμε

, άτοπο αφού και οι δύο είναι περιττοί.

Καλησπέρα! Μία προσπάθεια: Έστω $O_1, O_2$ οι κύκλοι και έστω $T$ το δεύτερο σημείο τομής τους. Έστω επίσης $P \equiv OS \cap (O_1)$ και $Q \equiv OS \cap (O_2)$ και τα σημεία τομής της πάνω εφαπτομένης με τους κύκλους τα $K, L$. Ισχύει $\angle OSN = \angle STP$ και $\angle OSM = \angle STQ$. Αρκεί ...

Καλησπέρα! Μου φάνηκε απλή:

Η συνθήκη γράφεται . Για παίρνουμε και όμοια για παίρνουμε , άτοπο αφού η

είναι . Άρα, δεν υπάρχει συνάρτηση με τις ζητούμενες ιδιότητες.

Καλησπέρα Θανάση! Μία προσπάθεια: Έστω $\displaystyle{(19a + b)^{18} + (a+ b)^{18}+ (a +19b)^{18}} = k^2$. Έστω $S$ το σύνολο των λύσεών της στους ακεραίους και έστω $(a, b, k)$ η λύση με το άθροισμα $|a| + |b| + |k|$ ελάχιστο. Αν ο $19$ δεν διαιρεί κανέναν από τους $a,b$ διακρίνουμε τις εξής περιπτ...

(β) Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πρώτοι $p$ και $q$ και θετικός ακέραιος $n$ ώστε $\displaystyle{p^{q−1} − q^{p−1} = 4n^3.}$ Μία προσπάθεια και γι' αυτή, μιας και το θέμα ξεχάστηκε: Αν ένας ήταν άρτιος, θα ήταν και ο άλλος και άρα $p=q=2$ που δε δίνει λύση. Έστω τώρα και οι δύο περιττοί με $p > q$. ...