Η αναζήτηση βρήκε 679 εγγραφές

από raf616
Δευ Ιούλ 03, 2017 4:52 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Περνάει από το μέσο!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 636

Re: Περνάει από το μέσο!

Καλησπέρα Διονύση! Μία απάντηση που νομίζω είναι απλή. Έστω $M$ το μέσο της $TS$. Αρκεί να δειχθεί ότι ανήκει πάνω στη $BC$, δηλαδή στο ριζικό άξονα των κύκλων κέντρου $A$ και κέντρου $O$. Αρκεί, επομένως, να έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους δύο κύκλους. Ισχύει όμως $TM \cdot MS = TM^2 = AM \cdot MD$...
από raf616
Τετ Μάιος 10, 2017 1:03 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 656

Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί την σχέση $f(x+2y) = 2f(x)f(y)$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι σταθερή. Γεια σας κ. Δημήτρη! Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια. Εναλλάσσοντας τα $x, y$ λαμβάνουμε $f(y + 2x) = 2f(y)f(x)$ για κάθε $x, y...
από raf616
Κυρ Φεβ 26, 2017 6:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 865

Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος $n$ για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο $S$ με ακριβώς $n$ στοιχεία τέτοια ώστε (i) Κάθε στοιχείο του $S$ είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016. (ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία $a,b$ του $S$, όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό το...
από raf616
Κυρ Σεπ 25, 2016 3:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Τριγωνομετρικό όριο
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 634

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}}$ Καλησπέρα! Μία προσπάθεια: Είναι: $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac{{1 - \cos x\sqrt {\cos x} \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (\cos x)^{11/...
από raf616
Δευ Αύγ 15, 2016 6:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 355

Re: Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία $\displaystyle{{a_n} = \left[ {n + \sqrt n + \frac{1}{2}} \right]\;,\;n \in N*}$ είναι η ακολουθία των μη τετράγωνων φυσικών αριθμών, δηλαδή $\displaystyle{2,3,5,6,7,8,10,..}$ Καλησπέρα, μια προσπάθεια: Έστω $k^2 \leq n < (k+1)^2$. Έχουμε δύο περιπτώσεις: $\bullet$ $k^...
από raf616
Κυρ Ιουν 12, 2016 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Παραλληλία και μέσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 541

Re: Παραλληλία και μέσο

Γεια σας κ. Νίκο! Είναι γνωστό πως οι $AD, BE, CZ$ συντρέχουν στο σημείο Gergonne(αποδεικνύεται εύκολα με Ceva). Επομένως, η σειρά $(P, D, B, C)$ είναι αρμονική. Τώρα με παράλληλη στην $AD$ παίρνουμε τρία σημεία τομής πάνω στις ευθείες της δέσμης $A(P, D, B, C)$ εκ των οποίων το ένα είναι μέσο του τ...
από raf616
Δευ Ιουν 06, 2016 12:58 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Εύρεση συνάρτησης
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 401

Re: Εύρεση συνάρτησης

Γ' Λυκείου , ως 10/06/2016 Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+ \infty) \rightarrow (- \infty, 0)$ , με $f'(1)= - \frac{1}{2}$ , για την οποία $xf'(x)+1=e^{f(x)}$ Καλησπέρα κ. Λάμπρο! Μία προσπάθεια: Αφού $x > 0$ είναι $f'(x) = \dfrac{e^{f(x)}-1}{x}$ από όπου παίρνουμε ότι η $f'$ είναι παραγωγ...
από raf616
Τρί Μάιος 17, 2016 6:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Κέρασμα-3-
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 521

Re: Κέρασμα-3-

Καλησπέρα!

Είναι (ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c) = 3abc \implies \sqrt{3abc} \leq ab+bc+ca

Άρα a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{3abc} \leq a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2 = 1 και έτσι το ζητούμενο εδείχθη.

Η ισότητα πιάνεται όταν a=b=c = 1/3
από raf616
Τετ Μάιος 04, 2016 3:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια πράξη!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 382

Re: Μια πράξη!

Θεωρούμε την πράξη $\displaystyle{\ominus :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z},}$ $\displaystyle{a\ominus b=\frac{a-b}{\gcd (a,b) }.}$ Να αποδείξετε ότι ακέραιος $\displaystyle{n>1}$ είναι δύναμη πρώτου αν και μόνο αν για όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{m}$ με $\displaystyle{m<n}...
από raf616
Σάβ Απρ 30, 2016 8:49 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2015
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 480

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2015

Καλημέρα! Μία προσπάθεια: Έστω $P(x,y)$ ο ισχυρισμός. Η συνάρτηση δεν είναι η μηδενική και επομένως υπάρχει $a$ τέτοιο ώστε $f(a) \neq 0$. $P(0,a) \implies -f(f(0))f(a) = f(0)f(a) \implies f^2(f(0)) = f^2(0)$. $P(f(0), 0) \implies 0 = f^2(f(0)) \iff f(0) = 0$. Αν τώρα είναι $f(k) = 0$ τότε $P(k,1) \...
από raf616
Πέμ Απρ 28, 2016 10:51 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Απολλώνιο ημικύκλιο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 265

Re: Απολλώνιο ημικύκλιο

Καλημέρα! Μία αντιμετώπιση εκτός φακέλου:

Συμπληρώνουμε τον κύκλο και έστω CT η άλλη εφαπτόμενη από το C. Αν B' \equiv ST \cap DC τότε είναι SB' \perp DC ενώ είναι γνωστό ότι (C, B', E, D) = -1.

Είναι όμως (C, B, E, D) = -1 και άρα B' \equiv B που δίνει το ζητούμενο.
από raf616
Τρί Μαρ 22, 2016 8:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακή ανίσωση...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 746

Re: Συναρτησιακή ανίσωση...

Καλησπέρα σε όλους! Έστω $P(x,y)$ ο ισχυρισμός. Τότε $P(0,a) \implies f(0)=0$. $P(a, a) \implies a+a^2 \geq 1 + a^2 \iff a \geq 1$. $P(-1, -1) \implies f^3(-1) + 1 \leq 0 \iff f(-1) \leq -1 < 0$. $P(a, -1) \implies f(-1)(a-1) \geq 0 \iff a-1 \leq 0$ και άρα $a=1$ που δίνει $f(1)=1$. $\displaystyle{P...
από raf616
Παρ Μαρ 18, 2016 6:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1019

Re: Συναρτησιακή!

Καλησπέρα! Έστω $P(x,y)$ ο ισχυρισμός. Τότε για $P(1, y-1)$ παίρνουμε $f(f(y)) = f^2(1) + y-1$ από όπου η $f$ είναι $1-1$ και επί. Υπάρχει επομένως $a$ τέτοιο ώστε $f(a)=0$. $P(a, 0) \implies f(0) = 0$. Τότε για $P(x,-x)$ παίρνουμε $f^2(x) = x^2, \forall x \in \Bbb{R}$. Ακόμα υπάρχει $b$ τέτοιο ώστε...
από raf616
Τρί Μαρ 08, 2016 5:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μικρές αλλά ίσες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 319

Re: Μικρές αλλά ίσες

Καλησπέρα κ. Θανάση! Πολύ όμορφη άσκηση! Έστω $T, U$ τα μέσα των $AP, AS$ αντιστοίχως. Αρκεί $\angle NMP = \angle NLB$. Όμως $\angle NMP = \angle NMT + \angle TMP = \angle NMT + \angle ASB= \angle NMT + \angle ALB$. Αρκεί επομένως $\angle NLA = \angle NMT$. Θα δείξω ότι τα τρίγωνα $ALN, NTM$ είναι ό...
από raf616
Τρί Μαρ 08, 2016 10:54 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Και όμως είναι!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 364

Re: Και όμως είναι!

2+2^2 = 1+2+3
από raf616
Πέμ Μαρ 03, 2016 8:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Περιττοί και τετράγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 394

Re: Περιττοί και τετράγωνο

Καλησπέρα! Μία προσπάθεια:

Έστω ότι b^2-4ac = k^2 για κάποιο k. Τότε είναι απλό να δούμε ότι k περιττός και άρα αφού και b περιττός, θεωρώντας την εξίσωση \pmod8 έχουμε

1 - 4ac \equiv 1 \pmod8 \implies 8 \mid 4ac \implies 2 \mid ac, άτοπο αφού και οι δύο είναι περιττοί.
από raf616
Τρί Φεβ 23, 2016 5:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Νέα διχοτόμος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 290

Re: Νέα διχοτόμος

Καλησπέρα! Μία προσπάθεια: Έστω $O_1, O_2$ οι κύκλοι και έστω $T$ το δεύτερο σημείο τομής τους. Έστω επίσης $P \equiv OS \cap (O_1)$ και $Q \equiv OS \cap (O_2)$ και τα σημεία τομής της πάνω εφαπτομένης με τους κύκλους τα $K, L$. Ισχύει $\angle OSN = \angle STP$ και $\angle OSM = \angle STQ$. Αρκεί ...
από raf616
Δευ Φεβ 22, 2016 8:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Vojtech Jarnik 1993/3 Category I
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 232

Re: Vojtech Jarnik 1993/3 Category I

Καλησπέρα! Μου φάνηκε απλή:

Η συνθήκη γράφεται 4f^2(x) - 4f(x^2) + 1 \leq 0. Για x=0 παίρνουμε (2f(0)-1)^2 \leq 0 \implies f(0) = 1/2 και όμοια για x=1 παίρνουμε f(1)=1/2, άτοπο αφού η

f είναι 1-1. Άρα, δεν υπάρχει συνάρτηση με τις ζητούμενες ιδιότητες.
από raf616
Δευ Φεβ 22, 2016 6:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 300

Re: Τέλειο τετράγωνο

Καλησπέρα Θανάση! Μία προσπάθεια: Έστω $\displaystyle{(19a + b)^{18} + (a+ b)^{18}+ (a +19b)^{18}} = k^2$. Έστω $S$ το σύνολο των λύσεών της στους ακεραίους και έστω $(a, b, k)$ η λύση με το άθροισμα $|a| + |b| + |k|$ ελάχιστο. Αν ο $19$ δεν διαιρεί κανέναν από τους $a,b$ διακρίνουμε τις εξής περιπτ...
από raf616
Κυρ Φεβ 21, 2016 5:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Αδύνατες διοφαντικές
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 410

Re: Αδύνατες διοφαντικές

(β) Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πρώτοι $p$ και $q$ και θετικός ακέραιος $n$ ώστε $\displaystyle{p^{q−1} − q^{p−1} = 4n^3.}$ Μία προσπάθεια και γι' αυτή, μιας και το θέμα ξεχάστηκε: Αν ένας ήταν άρτιος, θα ήταν και ο άλλος και άρα $p=q=2$ που δε δίνει λύση. Έστω τώρα και οι δύο περιττοί με $p > q$. ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση