Elleipsi.png Με αφορμή την ιδέα του Λάμπρου, έχουμε την παρακάτω αιτιολόγηση και κατασκευή του μεγίστου εγγεγραμμένου τριγώνου στην έλλειψη.... "Προβάλουμε" κάθε σημείο της έλλειψης $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ στον κύκλο $\displaystyle{x^2+y^2=1}$ αντιστοιχώντας το σημείο $\d...

Δείξτε ότι : $\dfrac{\ln3}{\ln e}\cdot\dfrac{1-\ln2}{1+\ln2}<\dfrac{3}{e}\cdot \dfrac{\ln3-\ln2}{\ln3+\ln2}$ Λίγο διαφορετικά από τη λύση του Γιώργου... Οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=\frac{lnx}{x}, \ \ x\geq e, \ \ g(x)=\frac{lnx-ln2}{lnx+ln2}, \ \ x \geq e $ είναι θετικές, η πρώτη γνησίως φθί...

Προφανώς στις θέσεις τοπικών ακροτάτων,( και όχι μόνο), έχουμε παράλληλες εφαπτομένες!

max.png Στην περίπτωση που $\displaystyle{\boxed{AB\leq OS <2r}}$, οπότε το $\displaystyle{T}$ είναι σημείο του μεγάλου τόξου $\displaystyle{AB}$ Αν $\displaystyle{AB=2x}$, τότε $\displaystyle{TM=OM=\sqrt{r^2-x^2}}$. A. $\displaystyle{TM\cdot AB=2x\sqrt{r^2-x^2}\leq x^2+(r^2-x^2)=r^2}$ με την ισότη...

tetr.png Αν $\displaystyle{E}$ το μέσο του $\displaystyle{AB}$, τότε $\displaystyle{NE=16, \ \ LE=21}$ και με τη βοήθεια του νόμου των συνημιτόνων $\displaystyle{LN=19}$ Αν $\displaystyle{LN//AB}$, η γωνία $\displaystyle{L}$ του τριγώνου $\displaystyle{LEN}$ θα είναι $\displaystyle{48^o}$ και με τη...

(Ι) Στην παραπάνω απόδειξη σου δεν χρειαζόμαστε παραγώγους στο τέλος, καθώς η $ln(x(2e-x))<2$ είναι ισοδύναμη προς την $e^{ln(x(2e-x))} <e^2$ και άρα προς την $x(2e-x)<e^2$ και την $0<(e-x)^2.$ :clap2: Πολύ καλό και απλό Γιώργο!.... δεν το είδα, αν και το ανέφερες! [Μπορούμε να το δούμε και ανάποδα...

Αρκεί να δειχθεί ότι είναι φθίνουσα η συνάρτηση $g(x)=xln(2e-x)-(2e-x)lnx$ στο διάστημα $(0,e).$ Η ζητούμενη $g'(x)<0$ για $0<x<e$ προκύπτει από την $ln[x(2e-x)]<2<\dfrac{x}{2e-x}+\dfrac{2e-x}{x},$ με την πρώτη ανισότητα να είναι ισοδύναμη προς την $0<(e-x)^2.$ Γιώργο ευχαριστώ για την απόδειξη.......

Για ποιες τιμές των φυσικών μη μηδενικών $x,y$ ισχύει η ανίσωση $\mid x-y\mid^3>xy$ ( Δεν έχω λύση ) Αν $\displaystyle{x>y}$ τότε $\displaystyle{x=y+k, \ \ k }$ φυσικός. Είναι $\displaystyle{(x-y)^3>xy\Leftrightarrow y^2+ky-k^3<0 \Leftrightarrow 0< y<k\cdot\frac{\sqrt{4k+1}-1}{2}=a}$ Εφόσον $\displ...

Για την συνάρτηση να δειχθεί η ανισότητα

Αν ${\color{blue}x_1},{\color{red}x_2}>0$ και ${\color{blue}x_1}^{\color{red}x_2}={\color{red}x_2}^{\color{blue}x_1}$ να δειχθεί ότι $\frac{{\color{blue}x_1}+{\color{red}x_2}}{2}>e$. Μια ενδεικτική λύση μπορεί κανείς να παρακολουθήσει εδώ https://youtu.be/VtHCYkY-49M Πρόσεχε! Χρειαζόμαστε επιπλέον ...

Αααα! Δεν το πρόσεξα καθόλου Δημήτρη! Νόμιζα ότι είναι το ίδιο τριώνυμο και έκανα copy - paste.

Συγνώμη!.... θα το διορθώσω. Αύριο τώρα.

Καλησπέρα Μικτά κλάσματα στο δημοτικό. Όσον αφορά μικτό κλάσμα σε αποτέλεσμα ακεραιου αριθμού από τέλεια διαίρεση. Πχ 150/15 Αποτέλεσμα 10. Η δασκάλα επιμένει να γράφετε ως 10 0/15 και δε δέχεται το σκέτο 10. Το ερώτημα μου είναι ο μικτος σε ακέραιο αριθμό έχει νόημα; Χρησιμεύει κάπου; Έχει κάποια ...

Να βρεθούν όλες οι ακέραιες τιμές του $\displaystyle{a}$ , ώστε η ανίσωση: $\displaystyle{x^2 -(3a-4)x+2a^2 -3a <5}$ να έχει ακριβώς $\displaystyle{3}$ ακέραιες λύσεις. Το τριώνυμο $\displaystyle{ \color{red}{x^2 -(3a+2)x +2a^2 +5a - 3}}$ έχει ρίζες τις $\displaystyle{ 2a-1, a+3}$, και είναι αρνητι...

Θεωρούμε τον δεκαδικό αριθμό $\displaystyle{a=b,m}$ , όπου $\displaystyle{b}$ ακέραιος μεγαλύτερος του $\displaystyle{4}$ και $\displaystyle{m}$ μονοψήφιος φυσικός αριθμός. Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του $\displaystyle{a}$ , ώστε η ανίσωση: $\displaystyle{ x^2 -(3a+2)x +2a^2 +5a < 3}$ να έχει...

Για τους αριθμούς $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ ισχύει: $a<b<c<d$. Να αποδείξετε ότι: α) $\displaystyle 4\left( a{{b}^{3}}+b{{c}^{3}}+c{{d}^{3}} \right)<{{a}^{4}}+4{{b}^{4}}+4{{c}^{4}}+3{{d}^{4}}$. β) $\displaystyle 4(b{{a}^{3}}+c{{b}^{3}}+d{{c}^{3}})<3{{a}^{4}}+4{{b}^{4}}+4{{c}^{4}}+{{d}^{4}}$. Η συνάρτ...

[/tex] biliard.png Μπάμπη καλησπέρα. Σύμφωνα μ' αυτό που κατάλαβα, η λύση του προβλήματος εύρεσης της γωνίας μπορεί να δοθεί συναρτήσει της θέσης του Μ και των διαστάσεων του ορθογωνίου. Έτσι και σύμφωνα με το σχήμα που παραθέτω, αν $\displaystyle{x-y=m}$ και $\displaystyle{a, b}$ η μικρή και η μεγά...

Ξέχασα (και ζητώ συγνώμη), η λύση πρέπει να δοθεί χωρίς τη χρήση της τεχνολογίας. Ορέστη η λύση μου δεν χρησιμοποιεί τεχνολογία, εκτός αν το Horner θεωρείται τεχνολογία. Το $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}$ το οποίο θέτω $\displaystyle{a}$ προκύπτει αβίαστα από την απλοποίηση $\displaystyle{\f...

Ξέχασα (και ζητώ συγνώμη), η λύση πρέπει να δοθεί χωρίς τη χρήση της τεχνολογίας. Ορέστη η λύση μου δεν χρησιμοποιεί τεχνολογία, εκτός αν το Horner θεωρείται τεχνολογία. Το $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}$ το οποίο θέτω $\displaystyle{a}$ προκύπτει αβίαστα από την απλοποίηση $\displaystyle{\f...

Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle\,\,\,\,\,\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}}+\displaystyle\frac{3\cdot \sqrt[3]{2}}{2}<0$. Αν $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=a}$, η ανίσωση γράφεται: $\displaystyle{x^3+3ax^2-1<0, \ \ x\ne 0}$ Εύκολα τώρα, με τη βοήθεια του Horner, έχουμε: $\displaystyle{(x-a)(x^2+...

Δύο φίλοι, ο Μάνος και ο Δημήτρης, έχουν από ένα σακουλάκι με καραμέλες. Ακολούθησε ο εξής διάλογος: ΔΗΜΗΤΡΗΣ : Μάνο, έχω πολύ περισσότερες από τις δικιές σου. Σου δίνω πρώτα $4$ καραμέλες και ύστερα θα σου τις διπλασιάσω. ΜΑΝΟΣ: Για να δω πόσες έχει ο καθένας μας...Ά!!! έχουμε από ίσες!!! ΔΗΜΗΤΡΗΣ...