Να δώσω λίγο πιο απλά, (ίσως), τη λύση του Μιχάλη... 1) Από θεωρία η $f$ είναι γνήσια μονότονη. Θα δείξουμε ότι είναι γνήσια αύξουσα. Αν όχι, θα ήταν γνήσια φθίνουσα. Έστω λοιπόν $a>b$ οπότε $f(a) < f(b)$. Αλλά τότε $2a-f(a) > 2b-f(b) $ (άμεσο) και άρα από το γνήσια φθίνουσα θα είχαμε $a=f(2a-f(a))...

Ενδιαφέρον έχει και το αντίστροφο - σαν ξεχωριστή άσκηση.

Αν , τότε

kathetes.png Οι σημειωμένες στο σχήμα γωνίες είναι ίσες, αφού είναι οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές. Άρα $OS=ST $ και έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο $QOT$ η $OS$ θα είναι διάμεσος. Για τον υπολογισμό του μήκους της αρκεί να βρούμε το μήκος της υποτείνουσας $QT$. Από τις μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια ...

Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=ab\dfrac{\int_{0}^{x}{f(t)}dt}{x}, \ \ x\in (0, +\infty)}$ τότε $\displaystyle{g'(x)=ab\dfrac{xf(x)-\int_{0}^{x}{f(t)}dt}{x^2}=ab\dfrac{f(x)-f(\xi)}{x}>0}$, με $\displaystyle{\xi \in (0,x)}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\int_{0}^{x}{f(t)}dt=(x-0)f(\xi)}$ Ά...

eidos.png Φέρνουμε το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου και τη διάμεσο του $OST$. Από τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο $OAB$ έχουμε: $AD=6,4, BD=3.6, OD=4.8$ Έστω $MD=x$ Καθώς τα $ S,T$ κινούνται προς τα $A,B$ έχουμε τις περιπτώσεις: Αν το $M$ κινείται στο $DA$ θα φτάσει μέχρι το μέσο του $AT$, όταν τ...

problem.png Έστω ευθύγραμμο τμήμα $AB$ σταθερού μήκους $a$ και οι κάθετες στα άκρα του ημιευθείες $Ax, By$. Τα σημεία $C,D$ κινούνται στις ημιευθείες $By, Ax$ αντίστοιχα, έτσι ώστε: $AC\perp BD$. Α. Να δείξετε ότι οι αποστάσεις $DA, AB, CB$, με αυτή τη σειρά, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδ...

Έστω $AD=d$ , $a>0$ η διαφορά της προόδου και $\phi, x$ οι γωνίες $ADB, DAC$. Είναι $CD=d-a, \ \ AB= d+a$, $\tan{\phi}=1+\dfrac{d}{a}$, $\tan{x}=1-\dfrac{d}{a}$ Εφόσον $d-a>0$, θα πρέπει $t=\dfrac{d}{a} \in (1,+\infty)$ $\tan{\omega}=\tan{(\phi+x)}=...=2t^2, \ \ t \in (1,+\infty)$ Εφόσον $\tan{\omeg...

Μιχάλη καλημέρα. Θα μπορούσαμε να αποφύγουμε τις πολλές πράξεις ως εξής:

Έστω





Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι το μέγιστο της συνάρτησης προκύπτει για και το μέγιστο εμβαδόν είναι

Ένας βεδουίνος είναι χαμένος σε μία έρημο κυρτού σχήματος με έκταση $4000 \,km^2$. Μπορεί να περπατήσει $10\, km $ την ημέρα και έχει νερό για $18$ μέρες, δηλαδή μπορεί να διανύσει απόσταση το πολύ $180\, km$. Δεν έχει χάρτη. Φοβάται να περπατήσει $180\, km $ σε ευθεία γραμμή γιατί μπορεί να μην βγ...

Λήμμα. Έστω συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα $\Delta$. Αν $a,b,c \in \Delta$ με $a<b<c$ τότε: $\boxed{\dfrac{f(b)-f(c)}{b-c}>\dfrac{f(a)-f(c)}{a-c}}$ Απόδειξη. Έστω η συνάρτηση $g$ με $g(x)=\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}, \ \ x<c$ Είναι $g'(x)=\dfrac{f'(x)(x-c)-f(x)+f(c)}{(x-c)^2}=\dfrac{f...

pol.is.2.png Στην περίπτωση που $BD=\dfrac{BC}{3}$ βρίσκουμε τη σχέση του "ύψους" $s$ με το ύψος του τριγώνου $h$ ως εξής: Από την ομοιότητα των τριγώνων $DHZ, DCE$ έχουμε ότι $DH =\dfrac{DC}{3}=\dfrac{2BC}{9}$ οπότε $BH=\dfrac{BC}{9}$ Από την ομοιότητα των τριγώνων $BHS, BCA$ με λόγο $\dfrac{1}{9}...

Το σκέφτηκα λίγο διαφορετικά από το Μιχάλη, στην περίπτωση που $D, E$ τυχαία σημεία των $BC, AC$ και $DM=\dfrac{DE}{3}$. Αν προεκτείνουμε κατά $DZ=DM$ και από το $Z$ φέρουμε παράλληλη στην $AC$, αυτή τέμνει την $AB$ στο $S$. Φέρνουμε τώρα την $SM $ η οποία τέμνει την $AC$ στο $T$. Από την ισότητα τω...

Λόγω συμμετρίας οι γωνίες με το ίδιο χρώμα και το ίδιο γράμμα είναι ίσες.

Εύκολα τώρα έχουμε, (φέρνοντας τις εφαπτόμενες στο σημείο ), ότι

$\displaystyle{ME=MD=\dfrac{BC}{2}}$, $\displaystyle{D,O,E}$ συνευθειακά αν και μόνο αν $\displaystyle{\triangle{DME}$ ορθογώνιο, (και ισοσκελές). Είναι $\displaystyle{\Hat{MDC}+\Hat{MDE}+\Hat{EDA}=180^o\Leftrightarrow \hat{C}+45^o+\hat{C}=180\Leftrightarrow \hat{C}=67,5^o\Leftrightarrow \boxed{\hat...

Δίνεται επίπεδο στο οποίο έχει οριστεί ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ και δυο μη μηδενικά διανύσματα αυτού $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Συμβολίζουμε επίσης με $\theta$ τη γωνία που διαγράφει το διάνυσμα $\overrightarrow{a}$ περιστρεφόμ...

Έστω : $x+\dfrac{1}x=a$ , $a \geq 3$ , θετικός ακέραιος . Να εξετασθεί αν αληθεύει ο ισχυρισμός , ότι ο αριθμός : $x^n+\dfrac{1}{x^n} , n\in \mathbb{N}$ , είναι επίσης θετικός ακέραιος . Τι συμβαίνει στις περιπτώσεις : $a=2$ , ή : $a=1$ ; Έστω : $x+\dfrac{1}{x}=a$ , $a \geq 3$ , θετικός ακέραιος. Θ...

Να βρεθούν τα ζεύγη θετικών $(x , y)$ , για τους οποίους ισχύει : $x^2+\dfrac{1}{x^2}=y $ ... και : $x^6+\dfrac{1}{x^6}=6y$ $x^6+\dfrac{1}{x^6}=6y\Leftrightarrow \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^3-3\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)=6y\Leftrightarrow y^3=9y \Leftrightarrow \boxed{y=3}$ $x^2+\dfrac{1}{x...

Σύμφωνα με την παρακάτω πρόταση, η απάντηση στο ζητούμενο της άσκησης είναι ότι, ο γ.τ. του έκκεντρου $\displaystyle{Ε}$ του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ είναι η έλλειψη με εξίσωση $\displaystyle{\boxed{x^2+4y^2=9}}$, εκτός των κορυφών της $\displaystyle{B, C}$. Πρόταση . Έστω η έλλειψη με εστίες $...

Για $k$ θετικό αριθμό δίνεται η συνάρτηση $f(x)$ με τύπο $f(x)=\left ( k-|x|\right)e^{-x}$. Έστω $g(k)$ η ελάχιστη τιμή του $F(0)$ για όλες τις συναρτήσεις $F(x)$, που είναι παραγωγίσιμες σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και ικανοποιούν την ακόλουθη συνθήκη: Για όλους τους πραγματικούς αριθ...

Έστω $f(x)$ συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και $g(x)$ συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, που δίνεται από την σχέση $g(x)=f^{\prime}\left (2x\right)\sin \pi x +x$. Η $g(x)$ έχει αντίστροφη συνάρτηση $g^{-1}\left(x\right)$...