Μπορεί να υπάρχει κάποιο λάθος σε εργασία του ωστόσο αυτό δεν μηδενίζει την τεράστια προσφορά του σε καμία περίπτωση. Οι υπεύθυνοι του μαθητικού περιοδικού Ευκλείδης Β της ΕΜΕ έχουν την υποχρέωση να δημοσιεύσουν την επιστολή του κυρίου Μαρίνη Λογικά τα βρίσκω τα παραπάνω αλλά αυτό... Οι υπεύθυνοι τ...

Χρήστο συμφωνώ με αυτά που γράφεις καθώς και με αυτό... Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα τότε είναι και αμφιμονοσήμαντη σε αυτό. Το βιβλίο ας μην το λέει "φωναχτά" είναι όμως τόσο προφανές που δεν χρειάζεται να "διυλίζουμε των κώνωπα". Από την εμπειρία μου ποτέ δεν έχει τεθεί ...

Χορδή 1.png Μια απόδειξη με στοιχειώδεις προτάσεις: Δείχνουμε πρώτα ότι το σημείο τομής του κύκλου με διάμετρο την $DE$ και της $BC$ είναι το μέσο Μ της $BC$. Αυτό συμβαίνει γιατί $EM\perp MD$ και το τρίγωνο $BEC$ είναι ισοσκελές αφού οι γωνίες της $BC$ είναι ίσες. Κατόπιν με τη βοήθεια των εγγράψι...

diamesos.png Μια λύση με τριγωνομετρία... Στο τρίγωνο $DAM$, από νόμο συνημιτόνων: $\ \ x^2=2-2cos(90+\omega)=2(1+sin\omega) \ \ \bf{(1)}$ άρα $x=2sin\left(45+\frac{\omega}{2}\right) \ \ \bf{(2)}$ Στο τρίγωνο $CDM$, από νόμο ημιτόνων: $\frac{sin30}{x}=\frac{sin\left(45-\frac{3\omega}{2}\right)}{1}$...

Προφανώς αναφέρεσαι στο πως πρέπει να απαντούν οι μαθητές κατά την επίλυση μιας άσκησης. Όταν ζητάμε από μαθητή να λύσει μία άσκηση, σε κάποιο διαγώνισμα, θέλουμε να ελέγξουμε διάφορα πράγματα όπως: αν έχει κατανοήσει το θεωρητικό υπόβαθρο της άσκησης, δηλαδή τους ορισμούς και τα θεωρήματα με τη χρή...

Θεωρούμε την εξίσωση $\displaystyle{x^3-3x-p=0}$ και ορίζουμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(p)=\begin{cases}\textrm {\gr το γινόμενο της μικρότερης και της μεγαλύτερης ρίζας, αν η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες,} \\ \\ \textrm{\gr το τετράγωνο της ρίζας, αν η εξίσωση έχει μία μόνο πραγματική ...

Για ποιους φυσικούς αριθμούς $n$ ισχύει ότι: $\frac{1}{3}>sin\left ( \frac{\pi}{n} \right )>\frac{1}{4}$ ; Μια, μάλλον δύσκολη λύση... Χρησιμοποιούμε την ανισότητα $sinx<x, \ \ x \in \left(0,\frac{\pi}{2} \right)$, τις ταυτότητες $cos2x=1-2sin^2x, \ \ \ sin3x=3sinx-4sin^3x$ και τη μονοτονία του $si...

KARKAR έγραψε: ↑

Δευ Δεκ 09, 2019 1:42 pm

Αλλά μήπως υπάρχουν και άλλες τιμές του θετικού ;

Θανάση, οι πράξεις σου είναι σωστές - η λύση εφαρμόζει το λήμμα, άρα αυτό δεν γίνεται!

Στην παραπάνω υπόθεση αρκεί τα δύο όρια να είναι αμφότερα θετικά ... Ναι ... πολύ σωστή η παρατήρηση του Γιώργου, και η οποία οδηγεί σ' ένα πιο ολοκληρωμένο λήμμα για τις ανάγκες του προβλήματος που θέτει ο Θανάσης. Δεν χρειάζεται να είναι ίσα τα όρια: $\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x)), \ \ \ ...

Λήμμα : Αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ , με την $f$ κυρτή την $g$ κοίλη και : $\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-g(x))=+\infty$ , τότε αν οι γραφικές τους έχουν μοναδικό κοινό σημείο , αυτό θα είναι σημείο επαφής , δηλαδή οι δύο καμπ...

Αρχίζει να διαμορφώνεται η εικασία , μην τυχόν το μοναδικό κοινό σημείο κυρτής και κοίλης είναι και σημείο επαφής . Το αντιπαράδειγμα των $f(x)=e^x$ και $g(x)=2-e^x$ καταρρίπτει την εικασία . Μήπως λοιπόν μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνη την ( μεγάλη ) κλάση συναρτήσεων , για τις οποίες η εικασία ισχ...

Χαίρετε, μια απορία η οποία μάλλον λύνεται εύκολα αλλά δυστυχώς δεν πάει το μυαλό μου. Δίνεται $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ (Ημικύκλιο) Μπορείτε σας παρακαλώ να μου εξηγήσετε σύμφωνα με ποιες μετατοπίσεις βασικών συναρτήσεων προκύπτει η χάραξη της. Εύκολο: με τη μετατόπιση του τμήματος της παραβολής $y=4-x^...

$f(x)=x^{3},g(x)=-x$ Σταύρο, Δεν καταλαβαίνω... τι θέλεις να πεις; Η $f$ έχει γνησίως αύξουσα παράγωγο . Η $g$ έχει γνησίως φθίνουσα παράγωγο. Η $f(x)=g(x)$ έχει μοναδική ρίζα το $0$ και δεν εφάπτονται εκεί. Αν δεν μου ξεφεύγει κάτι απαντάω στο ερώτημα σου. Αν κατάλαβα καλά... εννοείς ότι: οι συναρ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Πέμ Δεκ 05, 2019 10:29 am

Σταύρο,
Δεν καταλαβαίνω... τι θέλεις να πεις;

Έχουμε δηλαδή το πρόβλημα: Αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$, έτσι ώστε η $f^{\prime}$ να είναι γνησίως αύξουσα, και η $g^{\prime}$ γνησίως φθίνουσα τότε: α. Οι γραφικές τους παραστάσεις μπορούν να έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. β. Στην περίπτωση που οι γραφικές τους παρ...

Για να έχουν μόνο ένα , πρέπει και αρκεί να υπάρχει $x$ ( εδώ θετικό ) για το οποίο να ισχύουν : $f(x)=g(x)$ και : $f'(x)=g'(x)$ . γιατί; δηλαδή γιατί πρέπει να "εφάπτονται" στο σημείο; Έχουμε δηλαδή το πρόβλημα: Αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$, έτσι ώστε η $f^{\prime}$...

Για να μην μπερδευόμαστε!...όταν έλεγα ότι είναι καλή άσκηση είχα υπόψιν μου αυτό: Βρείτε θετικό αριθμό $a$ , για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : $f(x)=\dfrac{x^3}{a}$ και : $g(x)=-x^2+ax-15$ , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο . Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακρ...

Ωραία άσκηση!

Αν πάρουμε , τότε και παίρνοντας όριο με , βρίσκουμε ότι .... Μπάμπη καλημέρα. Το είχα σκεφτεί και έτσι, αλλά έχεις το πρόβλημα με το ίσον : προκύπτει $f(x)\leq l_b \leq l_g \leq f(y)$. Για αυτό ακριβώς πήραμε και τα άλλα σημεία : για να κρατήσουμε το γνήσιο ! :).Το όριο δεν θα χαλάσει όλα τα γνήσι...

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑

Σάβ Νοέμ 30, 2019 10:25 pm

Αν πάρουμε , τότε και παίρνοντας όριο με , βρίσκουμε ότι ....

Μπάμπη καλημέρα.
Το είχα σκεφτεί και έτσι, αλλά έχεις το πρόβλημα με το ίσον: προκύπτει .