Δίνω μια προσέγγιση στο παραπάνω, η οποία πιθανότατα είναι διαφορετική από αυτή που είχε υπόψιν του ο θεματοδότης, αλλά περιέχει αρκετά ενδιαφέροντα ενδιάμεσα βήματα! Λήμμα 1. Το αντίστροφο του Θεωρήματος του Euler.... Euler Theorem.ggb Euler Theorem.png Λήμμα 2. Έστω $ABC$ τρίγωνο και $(I,r)$ o εγ...

Είναι $CE=AC\cdot cos\theta=a\sqrt{2}\left(\dfrac{a-1}{a}\right)=\sqrt{2}(a-1)$ Από το εγγράψιμο $DEBC$ είναι: $BC\cdot DE+ BE \cdot DC=BD \cdot CE \Leftrightarrow DE+BE = \sqrt{2} CE \Leftrightarrow (DE+BE)^2 = (\sqrt{2} CE)^2 \Leftrightarrow $ $\Leftrightarrow DE^2+BE^2+2DE\cdot BE= 2CE^2 \Leftri...

chordi.png Είναι $CE=AC\cdot cos\theta=a\sqrt{2}\left(\dfrac{a-1}{a}\right)=\sqrt{2}(a-1)$ Από το εγγράψιμο $DEBC$ είναι: $BC\cdot DE+ BE \cdot DC=BD \cdot CE \Leftrightarrow DE+BE = \sqrt{2} CE \Leftrightarrow (DE+BE)^2 = (\sqrt{2} CE)^2 \Leftrightarrow $ $\Leftrightarrow DE^2+BE^2+2DE\cdot BE= 2C...

koreatiki.png Έστω $A(a,3a), \ \ B(b,3b)$ και $K,M$ οι προβολές του $A$ στους άξονες. Είναι $\dfrac{OD}{OK}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{5}{2}$. Άρα $\boxed{D\left(\dfrac{5}{2}a,0\right)}$ $\dfrac{OC}{OM}=\dfrac{DC}{AD}=\dfrac{5}{3}$. Άρα $\boxed{C\left(0,5a\right)}$ $OA\cdot OB=OM\cdot OC \Leftrightarrow...

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $k$ , να λυθεί η εξίσωση : $\dfrac{2x^2+3x-k}{2x^2-3x+k}+\dfrac{2x^2-3x+k}{2x^2+3x-k}=\dfrac{2x+3}{2x-3}+\dfrac{2x-3}{2x+3}$ Αν $k=0$ η εξίσωση έχει λύσεις όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός των $0, \pm\dfrac{3}{2}$ Αν $k\ne 0$ Μία προφανής λύση τη...

Αν θέλουμε την απόδειξη, χωρίς το θεώρημα Stewart, το οποίο πολύ εύστοχα χρησιμοποίησε ο Γιώργος παραπάνω, θα μπορούσαμε να κάνουμε χρήση το νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα $SLO, SLK$ για τη γωνία $L$. $cosL=\dfrac{25^2+15^2-SO^2}{2\cdot 25 \cdot 15}=\dfrac{9^2+15^2-SK^2}{2\cdot 9 \cdot 15}$ Από τη...

Έστω $x,y$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $x+y=1$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} \ge 1. $ Για ποιες τιμές των $x$ και $y$ ισχύει η ισότητα; Κάνοντας τις πράξεις, την απαλοιφή των παρονομαστών και τη χρήση της $x+y=1$ προκύπτει $1-4xy\geq 0$ το οποίο είναι ι...

Έγραψα ακριβώς την ίδια λύση με το Μιχάλη.... αφήνω μόνο το σχήμα.

Καλημέρα σε όλους. Μία μακροσκελής απάντηση. Θα χαρώ να δω κάτι συντομότερο. Θέτω $ \displaystyle x + y = a,\;\;xy = b$ , οπότε $ \displaystyle {x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {a^2} - 2b$ το σύστημα γίνεται $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + {b^2} = 41\\ {a^2} - b = 31 ...

zmax.png Από το Θεώρημα Geva βρίσκουμε εύκολα ότι $PT//BC$ και έτσι προκύπτει η ισότητα των $(BPS), (CTS)$. Αν $BC=a$ τότε $PT=ax$ Από την ομοιότητα των τριγώνων $APT, ABC$ και θέτοντας $(ABC)=\epsilon$ έχουμε: $\boxed{(APT)=x^2\epsilon}$ Από την ομοιότητα των τριγώνων $TPS, BCS$ έχουμε: $\boxed{(T...

Ας δώσω την απόδειξη... Αν $T\left(k,e^{\frac{1}{k}\right)$, τότε $AT=2AS \Leftrightarrow \overrightarrow{AT}=-2\overrightarrow{AS} \Leftrightarrow $ $S\left(-\dfrac{k}{2},e^{-\frac{2}{k}\right)$ και $e^{\frac{1}{k}}-1=2\left(1-e^{-\frac{2}{k}\right)... \Leftrightarrow \left(e^{\frac{1}{k}}\right)^2...

Θανάση ακριβώς έτσι είναι.

Αποδεικνύεται σχετικά εύκολα ότι



Μου διαφεύγει όμως το διασκεδαστικό της άσκησης!

Θα το ξανακοιτάξω.

Θα μπορούσαμε να το προσεγγίσουμε και με τον εξής τρόπο: Προφανώς έχουμε ισοσκελές τραπέζιο και αν $BC=b$, τότε οι προβολές των ίσων πλευρών $AB, DC$ πάνω στην μεγάλη βάση θα είναι ίσε με $\dfrac{5}{2}$ Mε τη βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος υπολογίζουμε όλες τις πλευρές και τις διαγώνιες συναρτήσ...

Eystoxa.png Για τον υπολογισμό του μήκους των ίσων με $a$ (κόκκινων) κάθετων τμημάτων και, με τη βοήθεια αυτού, την κατασκευή έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Ξεκινάμε από σημείο $B$ του κύκλου $(O,2)$ 1. Το $BC$ τέμνει τον κύκλο $(O,2)$ σε εσωτερικό σημείο του $P$ 2. Το $BC$, στο σχήμα $BC'$, τέμνει τ...

Στη λύση που έδωσα παραπάνω η παραλληλία $AB//CD$, κατά την μεγιστοποίηση (: συμβαίνει όταν $x=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$), αποδεικνύεται ως εξής: $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{OB}{OD}\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{OB^2}{OD^2}\Leftrightarrow \dfrac{OA\cdot OB}{OD\cdot OC}}=\dfrac{OB^2}{OD^2}\Leftrighta...

Είχα παραλείψει δύο ακμές με αποτέλεσμα να βρω λιγότερες κατά 3 τις διαδρομές. Σύμφωνα με αυτά που περιγράφεις, εφόσον το κατάλαβα σωστά, ο αλγόριθμος έχει την εξής λογική: Ξεκινώντας από το σημείο $A$ όπου αντιστοιχούμε τον αριθμό $1$, σε κάθε επόμενο σημείο αντιστοιχούμε τον αριθμό που προκύπτει π...

elaxisto emvado.png Έστω $E_1=a, \ \ E_2=b$ Είναι $(ABCD)=a+b+\dfrac{OD\cdot AE}{2}+\dfrac{OB\cdot CZ}{2}$ Όμως $AE=\dfrac{2a}{OB}$, $CZ=\dfrac{2b}{OD}$ $(ABCD)=a+b+\dfrac{OD}{OB}\cdot a+\dfrac{OB}{OD}\cdot b$ Αν $\dfrac{OB}{OD}=x$ $(ABCD)=a+b+\dfrac{a}{x}+ b\cdot x= a+b+\sqrt{ab}\left(\dfrac{\sqrt...

diadromes.png Αν $A(0,0)$ θα είναι $B(8,6)$ Για να πάμε από το $A$ στο $B$ ακολουθώντας μια διαδρομή μήκους $14$ θα πρέπει να κινηθούμε "δεξιά" και "πάνω" Έτσι αποκλείουμε όλους τους κόμβους όπου είμαστε αναγκασμένοι να κινηθούμε "αριστερά" και "κάτω" , σημειώνοντάς τους με κόκκινο χρώμα και αρχίζο...

$$ Μπορούμε να συντομεύσουμε κάπως την λύση , μεταφέροντας την γωνία $\theta$ . tanθ.png $TE//SC$ Τα τρίγωνα $BTE, DPC$ είναι ίσα. $tan\theta=\dfrac{a}{x}, \ \ SB=atan\theta, \ \ SA=a(1+tan\theta)$ και $\dfrac{AD}{BT}=\dfrac{SA}{SB}\Leftrightarrow tan\theta=\dfrac{1+tan\theta}{tan\theta} \Leftrighta...

Στο σχήμα (*) τα σημεία $Z,H \in AB$ , ενώ τα $A,E,D$ είναι συνευθειακά όπως και τα $B,E,C$. Τα τμήματα $CA, EZ, DB$ είναι κάθετα στην $AB$. Ι) Αν δοθούν $AZ=HB=4 , ZH=5$ και $EZ=6$ τότε α) Να υπολογιστούν τα μήκη των $EC,ED$ και $HC, HD$ και β) Να εξεταστεί αν τα σημεία $N,E,H$ είναι συνευθειακά ,...