Το 2016 μια ομάδα ανθρώπων υποστηριζόμενη από την ηγεσία του Υπουργείου πραγματοποίησε μια στροφή των θεμάτων ώστε να είναι πιο ουσιαστικά και επικεντρωμένα στο σχολικό βιβλίο. Οι άνθρωποι που βοήθησαν σε αυτή την σπουδαία αλλαγή είναι αρκετοί. Τους περισσότερους δεν θα τους μάθει το ευρύ κοινό ποτ...

Δεν ήξερα ότι ένας βαθμολογητής μπορεί να αγνοήσει της οδηγίες της ΚΕΕ. Στο Α4β, είμαι της άποψης ότι πρέπει να αγνοηθεί, αλλά από όλους. Ειδικά για μαθητές που βρίσκονται στο 90+ μπορεί να κοστίσει. Δεν είναι να καταφεύγει κόσμος και ντουνιάς τώρα στο ΣΤΕ. Κατά τα άλλα, είχαμε καιρό να δούμε ωραία...

Από την $f'(x)=ln(x(x-2)+2)+\dfrac{x(x-2)}{x(x-2)+2}$ και την $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}-2\right)=x(x-2)\leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$ προκύπτει η $\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}\right)$. Ωραία! Και γω κινήθηκα παρόμο...

Μία παρατήρηση στις λύσεις των θεμάτων: Δεν γράφουμε "για $x>1$ είναι $\lim_{x\to1^+}f(x)$...." Το $\lim_{x\to1^+}{f(x)$ προφανώς δηλώνει ότι $x>1$. θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση για την ορθότητα στην απόδειξη στο Δ2 ότι η συνάρτηση είναι πάνω από την εφαπτομένη της στο [1,2]. Θεώρησα την συνάρτηση $...

Συγχαρητήρια στην επιτροπή για τα θέματα. Το θέμα Α.: ακριβώς έτσι πρέπει να είναι ένα θέμα που εξετάζει την συγκεκριμένη θεωρία στην οποία διαγωνίζονται οι υποψήφιοι. Τα υπόλοιπα έχουν δύσκολα σημεία, δεν έχουν την πολυπλοκότητα των θεμάτων προηγούμενων χρόνων, προσφέροντας στον καλό μαθητή την ευκ...

Αλέξανδρε, για το Δ3 ii , μια άλλη λύση είναι με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα $\left[\lambda, \lambda +\frac{1}{2}\riaght]$ για το Δ4, φτάνει να παρατηρήσουμε ότι $f^{\prime}(x)\geq-1$ με το ίσον να ισχύει μόνο στο $1$ και $g^{\prime}(x)\leq-1$ με το ίσον να ισχύει μόνο στο $0.$. Έτσι, οι γραφικ...

Πιο κοντά στα σχολικά μαθηματικά: Ισχύουν οι παρακάτω, (γνωστές), προτάσεις 1. Αν $\displaystyle{f^{\prime}(x)\ne 0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}}$ τότε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ 2. Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και $1-1$ στο $\mathbb{R}$ τότε είναι ...

δηλαδή με ένα τέτοιο ΘΕΜΑ Γ ένας μαθητής Καλός θα έπερνε 5/25???... Ένας πολύ καλός μαθητής όμως; :roll: Θα έβρισκε τον τύπο της συνάρτησης :P και θα απαντούσε εύκολα σ' όλα τα ερωτήματα! Είναι $f(x)=\sqrt[3]{\frac{x^3}{2}+\sqrt{\frac{27x^6+4}{4\cdot27}}}+\sqrt[3]{\frac{x^3}{2}-\sqrt{\frac{27x^6+4}...

Με τον συνάδελφο Δημήτρη Κρινή καθήσαμε στο διάλειμμα που είδαμε το μήνυμα και όπως περίπου με την παραπάνω απόδειξη, όπως τώρα το βλέπω, κάναμε την εξής σκέψη : - Έστω ότι το $f(x_0)$ είναι τοπικό μέγιστο. - Αν υπάρχει $x_1<x_0$ ώστε $f(x_1)>f(x_0)$ τότε η συνάρτηση ως συνεχής στο $[x_1,x_0]$ παρο...

Η λύση μου : α. Έστω ότι υπάρχει $x_{0}\in \mathbb{R}^{* }$ με $f(x_{0})=0$ τότε έχουμε $f^{3}(x_{0})+x_{0}\cdot f(x_{0})-1=0\Rightarrow 0^{3}+x_{0}\cdot 0-1=0\Rightarrow -1=0$ άτοπο β. Έστω$x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}^{*}$ με$f(x_{1})=f(x_{2})$ τότε έχουμε $f^{3}(x_{1})=f^{3}(x_{2})\Rightarrow1-x_{1...

Δίνεται συνάρτηση$f:\mathbb{R}^{\ast }\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει : $f^{3}(x)+xf(x)-1=0\textup{ },\forall x\in\mathbb{R}^{\ast }$ α. Να αποδείξετε ότι $f(x)\neq 0 \textup{ }, \forall x\in \mathbb{R}^{\ast }$ (Άτοπο -ok) β.Να αποδείξετε ότι ειναι 1-1 ( ok ) και να βρείτε την αντιστρ...

Δίνεται συνάρτηση$f:\mathbb{R}^{\ast }\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει : $f^{3}(x)+xf(x)-1=0\textup{ },\forall x\in\mathbb{R}^{\ast }$ α. Να αποδείξετε ότι $f(x)\neq 0 \textup{ }, \forall x\in \mathbb{R}^{\ast }$ (Άτοπο -ok) β.Να αποδείξετε ότι ειναι 1-1 ( ok ) και να βρείτε την αντιστρ...

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\ \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(f(x))=x-1 , \forall x\in \mathbb{R}$ Να δείξετε οτι α. είναι 1-1 β. έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ α. Έστω $x_{1},x_{2} \in \mathbb{R}$ με $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow f(f(x_{1}))=f(f(x_{2})) \Rightarrow x_{1}-1=x_{2...

με το αντιπαράδειγμα, έχουμε την πρώτη γραμμή του πίνακα. Επομένως ο ισχυρισμός δεν ισχύει. Εκεί μέσα υπάρχει το "πάντα". Ή αλλιώς σε κάθε περίπτωση. Όχι! Το "πάντα", που εννοούμε στην πρόταση, προκύπτει μόνο από την "(σιωπηρή) σύμβαση" που αναφέρει ο Demetres στην πολύ κατατοπιστική του ανάρτηση. ...

Οι προτάσεις στα μαθηματικά πρέπει να διατυπώνονται με ακρίβεια και να μπορούν να χαρακτηριστούν μόνο Αληθείς ή μόνο Ψευδείς. Από ποιο τμήμα της Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta _{1}$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta _{2}$ με $\Delta _{1}\bigcap{\Delta 2}=\varnothi...

Σωστό. Παράδειγμα η συνάρτηση και

$\forall x\in \mathbb{R}, \exists n \in\mathbb{Z}$ έτσι ώστε $n\leq x < n+1$ Απόδειξη Το Ν δεν είναι άνω φραγμένο,άρα υπάρχουν $n_1,n_2$ στους φυσικούς έτσι ώστε $n_1>x , n_2>-x$. Θέτουμε Α={$n \in\mathbb{N} : n-n_2>x$. To Α δεν είναι κενό αφού $n_1+n_2 \in A$. To Α έχει ελάχιστο στοιχείο, έστω $n_...

Καλημέρα. Δεν ξέρω αν έχει ξανασυζητηθεί. Για την ερώτηση κατανόησης 11, σελίδα 357 του σχολικού, με $f(x)=2x, 0\leq x\leq 1$ και $f(x)=2, x>1$, πως βρίσκω την $F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$; Με τον τρόπο που παρουσιάσθηκε παραπάνω, προκύπτει ότι $F(x) = x^2 + c_1$, για κάθε $x \in [0,1)$ και $F(x) = ...

Καλημέρα. Δεν ξέρω αν έχει ξανασυζητηθεί. Για την ερώτηση κατανόησης 11, σελίδα 357 του σχολικού, με $f(x)=2x, 0\leq x\leq 1$ και $f(x)=2, x>1$, πως βρίσκω την $F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$; Αφού εξετάσουμε τη συνέχεια της $f$ στο $1$ βρίσκουμε την $F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$ ως εξής: Για $0\leq x\le...

Καλησπέρα.Η αντιπαραγώγιση αυτού πως γίνεται? $2f'(x) -f(x)^2 = 1$ Πρέπει να χρησιμοποιήσεις την αρχική της $\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}}$ που είναι η $\displaystyle{tan^{-1}(x)}$ Θα προκύψει η $\displaystyle{f(x)=tan\left(\frac{x}{2}+c\right)$ Να σημειώσω ότι: Χρειάζονται κάποιοι περιορισμοί γι...